Численные методы при моделировании технологических машин и оборудования

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ 
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН
И ОБОРУДОВАНИЯ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области технологии продуктов 
питания и пищевой инженерии в качестве учебного 
пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению подготовки дипломированного специалиста 260600 «Пищевая инженерия» и направлениям подготовки: 260100 «Продукты 
питания из растительного сырья», 260200 «Продукты 
питания животного происхождения» уровня бакалавриата и уровня магистратуры

Санкт-Петербург
ГИОРД
2014

УДК 532.5:681.3.06
ББК Л11-1с116я73-5
 
Ч67

Авторы: 
Г. В. Алексеев, Б. А. Вороненко,
 
М. В. Гончаров, И. И. Холявин

Рецензенты: директор ООО «ПРОТЕИН ПЛЮС»,
 
д. т. н., профессор В. Н. Красильников;

 
заведующий кафедрой техники мясных
 
и молочных производств ИХБТ НИУ ИТМО, 
 
д. т. н., профессор В. А. Арет;

 
профессор кафедры информационных
 
технологий и высшей математики ГИЭФПТ,
 
д. т. н., профессор Л. И. Фридман

Ч67 
 
Численные методы при моделировании технологических машин и оборудования : учеб. пособие / Г. В. Алексеев, Б. А. Вороненко, М. В. Гончаров [и др]. —
СПб. : ГИОРД, 2014. — 200 с. : ил.

ISBN 978-5-98879-177-5

В кратком, но достаточном объеме изложены основные теоретические сведения важнейших разделов курса и приведены методические рекомендации по численному исследованию теоретических и эмпирических моделей технологических 
машин и оборудования с помощью пакетов программ Mathcad и Excel. 
Для организации самостоятельной работы и вычислительного практикума 
студентов издание комплектуется компакт-диском с MathCAD-программами 
для решения задач численного моделирования.
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся 
по программам бакалавров и магистров «Машины и агрегаты пищевой промышленности» и «Процессы и аппараты пищевых производств». Компоновка учебного пособия позволяет использовать его как студентам заочной формы обучения, 
так и студентам дневного отделения для индивидуальной работы, а также при 
дистанционной форме обучения. Оно может быть полезно для студентов, аспирантов и преподавателей других пищевых направлений, а также специалистов, 
занимающихся проблемами создания бытовой техники.

УДК 532.5:681.3.06
ББК Л11-1с116я73-5

ISBN 978-5-98879-177-5 
© ООО «Издательство „ГИОРД“», 2014

Оглавление

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Общие сведения о содержании работ по созданию
 
технологических машин и оборудования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1. Общая методология работ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Характерные особенности современной науки  . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Наука как система знаний  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Методы исследования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Последовательность выполнения НИР. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Методы обоснования тем научных исследований . . . . . . . . . . . . . . 18
Выбор темы научно-исследовательской работы  . . . . . . . . . . . . . . . 20
Технико-экономическое обоснование на проведение НИР  . . . . . 21

1.2. Общие подходы к моделированию объекта разработок. . . . . . . . . . . 23

2. Численные методы исследования теоретических моделей
 
разрабатываемых объектов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1. Требования теории приближенных вычислений. . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Абсолютная и относительная погрешности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Погрешность округленного числа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Погрешности арифметических действий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Погрешности элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Способ границ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Обратная задача теории погрешностей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Контрольные вопросы по п. 2.1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Задания по п. 2.1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2. Методы численного решения скалярных уравнений . . . . . . . . . . . . . 46
Метод хорд  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Метод касательных  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Метод простой итерации  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Контрольные вопросы по п. 2.2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Задания по п. 2.2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3. Численные методы решения систем нелинейных уравнений. . . . . . 60
Метод Ньютона  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Оглавление

6

Контрольные вопросы по п. 2.3  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Задания по п. 2.3  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4. Возможности численного интегрирования  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Метод прямоугольников  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Метод Симпсона  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Метод трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Метод Монте-Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Контрольные вопросы по п. 2.4  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Задания по п. 2.4  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5. Численное решение обыкновенных дифференциальных
 
уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Метод Пикара. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Метод Эйлера и его модификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Метод Рунге-Кутты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Метод Адамса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Контрольные вопросы по п. 2.5  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Задания по п. 2.5  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3. Численные методы исследования эмпирических моделей
 
технологических машин и оборудования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1. Численные методы исследования однофакторных
 
эмпирических моделей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.1. Оценка неизвестных параметров закона распределения  . . . 89
Задания по п. 3.1.1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1.2. Составление выборочного уравнения прямой линии
 
регрессии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Выборочное уравнение регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Отыскание параметров линейных уравнений регрессии. . . . . . 97
Задания по п. 3.1.2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.1.3. Использование критерия согласия Пирсона  . . . . . . . . . . . . 105
Задания по п. 3.1.3  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2. Численные методы исследования многофакторных
 
эмпирических моделей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2.1. Основные понятия о планировании эксперимента  . . . . . . 111
Полный факторный эксперимент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Матрица планирования полного факторного эксперимента. . 113
Дробный факторный эксперимент  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Проведение эксперимента на объекте  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Проверка воспроизводимости эксперимента  . . . . . . . . . . . . . . 119
Получение оценок коэффициентов модели. . . . . . . . . . . . . . . . 119

Оглавление

Проверка значимости коэффициентов модели. . . . . . . . . . . . . 120
Проверка адекватности математической модели  . . . . . . . . . . . 121
Интерпретация модели  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Продолжение аппроксимирующего эксперимента  . . . . . . . . . 122
3.2.2. Особенности обработки данных при наблюдении
 
(пассивном эксперименте)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Понятие о методе наименьших квадратов  . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Построение системы показателей (факторов).
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции
в пакете прикладных программ Excel  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Выбор вида модели и оценка ее параметров  . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.3. Возможности поиска оптимальных решений моделей
 
разрабатываемых объектов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.1. Общие сведения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.2. Решение задачи линейной оптимизации средствами
 
Excel и Mathcad  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Задания по п. 3.3  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4. Общие возможности численной оптимизации решений
 
математических моделей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.1. Краткие сведения из теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.2. Порядок выполнения анализа с помощью ЭВМ. . . . . . . . . . . . . . . . 170

Контрольные задания по гл. 4  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Приложения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Приложение 1. Варианты выборок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Таблица П1. Варианты выборок  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Таблица П2. Варианты выборок Х  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Таблица П3. Варианты выборок Y  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Приложение 2. Транспортные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Приложение 2А.Транспортная задача по критерию времени  . . . 197
Приложение 2Б. Транспортная задача с осложнениями. . . . . . . . 198
Приложение 2В. Транспортная задача по критерию стоимости. . . 198

Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Предисловие

Цель учебного пособия — научить студентов, обучающихся по специальностям и направлениям, связанным с подготовкой к решению 
задач пищевой инженерии, самостоятельно исследовать проблемы, 
препятствующие дальнейшему совершенствованию производства технологических машин и оборудования, в первую очередь предназначенных для пищевых производств, и выбирать пути для их разрешения.
Студенты, изучившие теоретический материал и выполнившие соответствующие задания, в частности должны:
• знать методы и средства численного анализа теоретических и эмпирических моделей реальных машин и технологического оборудования;
• знать методы и средства обеспечения оптимального конструирования машиностроительной продукции и новейшие технологии 
конструирования технических устройств;
• уметь строить план оптимизационной задачи для моделирования процесса пищевого производства при определении условий 
его реализации с точки зрения новейших технологий или выбора оптимальной конструкции для соответствующего аппарата 
или технического устройства;
• иметь навык по использованию компьютерной техники для реализации оптимальных режимов процессов и параметров конструкций оборудования для пищевых производств.
Учебное пособие базируется на естественно-научной и инженерной 
подготовке студентов и требует хорошего владения такими дисциплинами, изучаемыми в университете, как высшая математика (разделы: 
теория вероятности и математическая статистика), теория механизмов 
и машин (в полном объеме), гидравлика (в полном объеме), инженерная графика (в полном объеме) и «Информатика» (разделы: операционная система Windows, численные методы вычислений и пакет прикладных программ Mathcad).

Предисловие

При изучении изложенного материала требуется проведение достаточно большого объема вычислительных работ, поэтому необходимо предусмотреть проведение практических занятий с применением 
компьютерной техники.
Настоящее учебное пособие предназначено для более глубокой 
проработки отдельных разделов соответствующих теоретических 
курсов и для помощи при самостоятельном выполнении студентом 
индивидуальных заданий, в том числе с использованием персонального компьютера.

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СОДЕРЖАНИИ РАБОТ
ПО СОЗДАНИЮ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
МАШИН И ОБОРУДОВАНИЯ

1.1. Общая методология работ

Создание новых конкурентоспособных образцов технологических 
машин и оборудования невозможно без привлечения современных 
научных знаний.
Наука — это непрерывно развивающаяся система знаний об объективных законах природы, общества и мышления, которая создается 
и превращается в непосредственную практическую силу общества 
в результате специальной деятельности людей и учреждений.
Одна из главных функций науки и ее целей — познание объективного мира. Наука создана для непосредственного выявления существенных сторон всех явлений природы, общества и мышления. 
Прогресс общества в значительной мере зависит от развития науки — 
в этом ее активная роль. Наука — двигатель научно-технического прогресса (НТП). Именно она определяет его темпы развития.

Характерные особенности современной науки

1. Бурное, лавинообразное развитие. За последние 30 лет новых 
знаний получено до 75 % от объема знаний, накопленных человечеством за всю его историю. Количество вновь добываемых знаний прямо 
пропорционально уже известным, т. е. характеристики научной деятельности растут со временем по экспоненциальному закону. Через 
каждые 10…15 лет все показатели удваиваются.
2. Лавинообразное развитие науки обусловлено и систематическим появлением (созданием) новых ее видов, направлений, проблем. 
Дерево науки. Слияние ветвей. Появление наук на стыке двух, трех