Математический анализ. Элементы теории вероятностей и математической статистики

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего образования 

«Оренбургский государственный университет» 

 
 

О.Н. Казакова, Г.В. Теплякова, Т.А. Фомина 

 
 
 
 
 
 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 

 
 

Практикум 

 
 
 
 

Рекомендовано ученым советом федерального государственного бюджетного 
образовательного 
учреждения 
высшего 
образования 
«Оренбургский 

государственный университет» для обучающихся по образовательным программам 
высшего образования по направлениям подготовки 15.03.02 Технологические 
машины и оборудование, 18.03.01 Химическая технология, 18.03.02 Энерго- и 
ресурсосберегающие 
процессы 
в 
химической 
технологии, 
нефтехимии 
и 

биотехнологии, 19.03.02 Продукты питания из растительного сырья, 19.03.03 
Продукты питания животного происхождения, 19.03.04 Технология продукции и 
организация общественного питания, 35.03.08 Водные биоресурсы и аквакультура 

 
 
 
 
 
 
 
 

Оренбург 

2021 

 

 

 

УДК 51 (075.8) 
ББК  22.1 я 73 

    К 14 

 
 

Рецензент – кандидат технических наук, доцент А.Н. Колобов  

 

 
 

 

К 14

Казакова, О.Н. 
Математический 
анализ. 
Элементы 
теории 
вероятностей 
и 

математической статистики: практикум / О.Н. Казакова, Г.В. Теплякова, 
Т.А. Фомина; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2021. – 157 с.
ISBN

 

 

Практикум содержит примеры решения типовых задач, индивидуальные 

задания, вопросы для самоконтроля, списки используемой и рекомендуемой 
литературы, приложения. 

Издание предназначено для обучающихся очной формы обучения, но 

может также быть использовано для организации аудиторной, самостоятельной 
и индивидуальной работ студентов заочной формы обучения различных 
направлений и специальностей подготовки, в том числе для обучающихся по 
индивидуальным образовательным программам.  

 
 
 

 

 
 

УДК 51 (075.8) 
ББК  22.1 я 73 

 
 
 
 

ISBN 

                                                                                            

© Казакова О.Н.,    
    Теплякова Г.В., 
    Фомина Т.А., 2021 
© ОГУ, 2021 

Содержание 

 

Введение ............................................................................................................................... 5 

1 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных ........................... 6 

1.1 Примеры решения типовых задач ........................................................................... 6 

1.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 11 

1.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 13 

2 Интегральное исчисление функции одной переменной ............................................ 16 

2.1 Примеры решения типовых задач ......................................................................... 16 

2.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 40 

2.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 50 

3 Кратные интегралы ........................................................................................................ 53 

3.1 Примеры решения типовых задач ......................................................................... 53 

3.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 58 

3.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 61 

4 Дифференциальные уравнения ..................................................................................... 62 

4.1 Примеры решения типовых задач ......................................................................... 62 

4.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 67 

4.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 70 

5 Числовые и функциональные ряды .............................................................................. 73 

5.1 Примеры решения типовых задач ......................................................................... 73 

5.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 78 

5.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 80 

6 Основные понятия теории вероятностей ..................................................................... 82 

6.1 Примеры решения типовых задач ......................................................................... 82 

6.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 94 

6.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................. 104 

7 Случайные величины ................................................................................................... 106 

7.1 Примеры решения типовых задач ....................................................................... 106 

7.2 Индивидуальные задания ..................................................................................... 114 

7.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................. 120 

8 Элементы математической статистики ...................................................................... 123 

8.1 Примеры решения типовых задач ....................................................................... 123 

8.2 Индивидуальные задания ..................................................................................... 129 

8.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................. 136 

9 Литература, рекомендуемая для изучения дисциплины .......................................... 139 

Список использованных источников ............................................................................ 140 

Приложение А Краткие теоретические сведения. Элементарная математика ......... 141 

Приложение Б Элементарные функции их свойства и графики ................................ 144 

Приложение В Краткие теоретические сведения. Высшая математика .................... 148 

Приложение Г Таблица значений функций Лапласа ................................................... 154 

Приложение Д Таблица значений функции Пуассона ................................................ 157 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение 

Современный подход к организации учебного процесса в высшем учебном 

заведении предполагает большую долю самостоятельности обучающегося в 

освоении учебного материала. В связи с чем и возникает необходимость учебно
методического сопровождения данного вида учебной деятельности.  

Предлагаемый практикум призван помочь обучающимся в изучении 

дисциплины «Математика» или соответствующего раздела в рамках другой 

дисциплины. Он дает возможность детальной проработки необходимых понятий и 

формул, позволяет активизировать самостоятельную работу обучающихся, приучает 

их планировать и рационально использовать личное время.  

Набор 
задач 
достаточно 
многообразен 
и 
позволяет 
скомпоновать: 

индивидуальные задания для выполнения типовых расчетов обучающимися очной 

формы обучения различных специальностей и направлений в зависимости от 

содержания рабочей программы по математике; аудиторные самостоятельные и 

контрольные работы; контрольные работы для студентов заочной формы обучения. 

Вопросы для самоконтроля призваны помочь обучающемуся определить уровень 

теоретической подготовки  по дисциплине.  

Практикум содержит темы, изучаемые, как правило, во втором и третьем 

семестрах. Конкретная тематика  и содержание дисциплины определяется рабочей 

программой по соответствующему направлению подготовки; детальные требования 

к объему и содержанию теоретической и практической подготовки отражены в 

фонде оценочных средств по дисциплине. Ознакомиться с ними можно в личном 

кабинете обучающегося. Режим доступа https://osu.ru/iss/lks/. Там же имеются 

методические указания по освоению дисциплины. 

Список рекомендуемой основной и дополнительной литературы не является 

исчерпывающим. Он может быть дополнен любыми другими учебниками и 

учебными пособиями, содержащими соответствующие разделы. 

 

1 
Дифференциальное 
исчисление 
функции 
нескольких 

переменных 

1.1 Примеры решения типовых задач 

 

Задача 1.1 

Найти дифференциал функции трех переменных 

2
x y
U
ze

. 

 

Решение.  

Дифференциал 
функции 
трех 
переменных 
имеет 
вид: 

dz
U
dy
U
dx
U
dU
z
y
x






. 

Найдем частные производные первого порядка. При нахождении 
x
U  мы будем 

считать, что y и z – постоянные величины; при нахождении 
y
U  – x и z постоянные 

величины; при нахождении 
z
U  – x и y постоянные величины. 

y
x
y
x

x

y
x

x

y
x

x
xyze
xy
ze
y
x
e
z
e
z
U

2
2
2
2
2
2
)
(
)
(

2







; 

y
x
y
x

y

y
x

y

y
x

y
ze
x
x
e
z
y
x
e
z
e
z
U

2
2
2
2
2
2
2 )
(
)
(







; 

y
x

z

y
x

z
e
e
z
U

2
2 )
(




. 

Тогда 

dU

2
2
2
2
2
x y
x y
x y
xyze
dx
x ze
dy
e
dz


. 

 

Ответ: 

dU

2
2
2
2
2
x y
x y
x y
xyze
dx
x ze
dy
e
dz


. 

 

Задача 1.2 

Исследовать функцию на экстремум: 

а) 
y
x
y
xy
x
z







2
2
; 

б) 
6
32
24
4

2
2





y
y
xy
y
x
z
. 

 

Решение.  

а) Найдём стационарные точки, используя необходимые условия экстремума: 



;1
2

2
2













y
x
y
x
y
xy
x
x
z

x

 



.1
2

2
2













y
x
y
x
y
xy
x
y
z

y

 








































.
3
1

,
3
1

1
2

,1
2

0
1
2

,0
1
2

y

x

y
x

y
x

y
x

y
x
 

Получили одну стационарную точку 





3
1
;
3
1
M
. Исследуем функцию на 

экстремум в точке М, используя достаточные условия экстремума.  

Обозначим: 



2

2
,
z
A
M
x

 



2

,
z
B
M
x y

  



2

2
.
z
C
M
y

 
  








2
2
2

2
2
2
1
2,
2
1
,
2
1
2
x
y
y

z
z
z
x
y
x
y
x
y
x
x y
y







 


 
 


  

 

 

. 

Тогда для нашей точки





3
1
;
3
1
M
: 
2
,1
,2






C
B
A
.  

Вычислим 
.3
1
4
2
1

1
2
:












C
B

B
A
 

Так как 
0
3


, то в точке 





3
1
;
3
1
M
экстремум есть. Так как 
0
2 


A
, то в точке 






3
1
;
3
1
M
 функция имеет строгий локальный максимум. 

3
1

3
1

3
1

9
1

9
1

9
1

3
1

3
1

3
1

3
1

3
1

3
1

3
1
;
3
1

2
2

max


























z
. 

 

Ответ: максимум в точке 





3
1
;
3
1
M
, 
3
1

max 
z
. 

 

б) Найдем стационарные точки, используя необходимые условия экстремума: 



y
xy
y
y
xy
y
x
x
z

x
24
8
6
32
24
4

2
2










; 



32
2
24
4
6
32
24
4

2
2
2












y
x
x
y
y
xy
y
x
y
z

y
. 







































.
16
12
2

,0
)
3
(

32
24
4
2

,0
)
3
(
8

0
32
2
24
4

,0
24
8

2
2
2
x
x
y

x
y

x
x
y

x
y

y
x
x

y
xy
 

Отсюда: если 
0

y
, то 
2
,4
0
8
6
0
16
12
2
2
1

2
2













x
x
x
x
x
x
; 

если 
,3


x
 то 
2

y
. 

Получили три стационарные точки: 
)
0;2
(
),
0;4
(
2
1


M
M
 и 
)
2;3
(
3 
M
. 

Исследуем функцию на экстремум в этих точках, используя достаточные условия 

экстремума. 

Найдем частные производные второго порядка: 



;
8
24
8
2

2

y
y
xy
x
z

x 







;
24
8
24
8

2









x
y
xy
y
x

z

y

 


2
32
2
24
4

2

2

2










y
y
x
x
y
z
. 

Для точки 
)
0;4
(
1 
M
 получаем: 

,0
)
(
1
2

2





M
x
z
A
,8
24
32
)
(
1

2










M
y
x

z
B
2
)
(
1
2

2





M
y
z
C
.  

Тогда 
64
2
8

8
0








C
B

B
A
. Так как 
0
64 



, то в точке 
)
0;4
(
1 
M
 

экстремума нет. 

Для точки 
)
0;2
(
2 
M
 получаем: 

,0
)
(
2
2

2





M
x
z
A
,8
24
16
)
(
2

2









M
y
x

z
B
2
)
(
2
2

2





M
y
z
C
. 

Тогда 
64
2
8

8
0





C
B

B
A
. Так как 
0
64 



, то в точке 
)
0;2
(
2 
M
 экстремума 

нет. 

Для точки 
)
2;3
(
3 
M
 получаем: 

,
16
)
(
3
2

2





M
x
z
A
,0
24
24
)
(
3

2









M
y
x

z
B
2
)
(
3
2

2





M
y
z
C
.  

Тогда 
32
2
0

0
16




C
B

B
A
. Так как 
0
32 


, то в точке 
)
2;3
(
3 
M
 

экстремум есть.  

Так как 
0
16 

A
, то в точке 
)
2;3
(
3 
M
 функция имеет строгий локальный 

минимум. 

10
6
2
32
2
2
)3
(
24
2
)
3
(
4
)
2;3
(

2
2

min















z
. 

 

Ответ: 
10
)
2;3
(
min



z
. 

 

Задача 1.3  

Найти угол между градиентами скалярных полей 



2
2
2
ln
z
y
x
u



 и 

y
z
x
yz
xy
zx
v






6
18
 в точке 

.
4
;5
;3
M
 

Решение.  

Найдём градиенты скалярных полей: 

;
;
;
,
;
;




































z
v

y
v

x
v
V
grad
z
u

y
u

x
u
U
grad
 





,
2
ln
2
2
2

2
2
2

z
y
x

x
z
y
x
x
u

x









  





,
2
ln
2
2
2

2
2
2

z
y
x

y
z
y
x
y
u

y









 





,
2
ln
2
2
2

2
2
2

z
y
x

z
z
y
x
z
u

z









 



,
18
6
18












y
z
y
z
x
yz
xy
zx
x
v

y
 



,1
6
18












z
x
y
z
x
yz
xy
zx
y
v

y
 



.6
6
18












y
x
y
z
x
yz
xy
zx
z
v

z
 

Градиенты скалярных полей в произвольной точке равны: 

 


.
6
;1
;
18

,
2
;
2
;
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2


























y
x
z
x
y
z
V
grad

z
y
x

z

z
y
x

y

z
y
x

x
U
grad

 

 
Найдем значения частных производных в точке М(3;5;4): 
50
6




x
u
, 
50
10




y
u
, 

50
8




z
u
, 
9




x
v
, 
6



y
v
, 
2



z
v
.  

 
Получили, что градиенты скалярных полей в точке М(3;5;4) равны:  






.
2
;6
;9
,
50
8
;
50
10
;
50
6







M
V
grad
M
U
grad
 

Обозначим угол между градиентами скалярных полей через α . Найдём угол 

между градиентами скалярных полей, используя скалярное произведение векторов:   











cos
;
gradU M
gradV M

gradU M
gradV M







 







;
50
22
2
50
8
6
50
10
9
50
6









M
V
grad
M
U
grad
 



,
5
2

50
8

50
10

50
6

2
2
2

















M
U
grad
 





;
11
2
6
9

2
2
2





M
V
grad
 

.
10

2
arccos
,
10

2

11
5
2
50
22

cos






α
α
 

 

Ответ: 
.
10

2
arccos