Математический анализ. Элементы теории вероятностей и математической статистики
Покупка
Новинка
Издательство:
Оренбургский государственный университет
Год издания: 2021
Кол-во страниц: 157
Дополнительно
Вид издания:
Практикум
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-7410-2706-6
Артикул: 839102.01.99
Практикум содержит примеры решения типовых задач, индивидуальные задания, вопросы для самоконтроля, списки используемой и рекомендуемой литературы, приложения. Издание предназначено для обучающихся очной формы обучения, но может также быть использовано для организации аудиторной, самостоятельной и индивидуальной работ студентов заочной формы обучения различных направлений и специальностей подготовки, в том числе для обучающихся по индивидуальным образовательным программам.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 15.03.02: Технологические машины и оборудование
- 18.03.01: Химическая технология
- 18.03.02: Энерго- и ресурсосберегающие процессы в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии
- 19.03.02: Продукты питания из растительного сырья
- 19.03.03: Продукты питания животного происхождения
- 19.03.04: Технология продукции и организация общественного питания
- 35.03.08: Водные биоресурсы и аквакультура
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Оренбургский государственный университет» О.Н. Казакова, Г.В. Теплякова, Т.А. Фомина МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Практикум Рекомендовано ученым советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Оренбургский государственный университет» для обучающихся по образовательным программам высшего образования по направлениям подготовки 15.03.02 Технологические машины и оборудование, 18.03.01 Химическая технология, 18.03.02 Энерго- и ресурсосберегающие процессы в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии, 19.03.02 Продукты питания из растительного сырья, 19.03.03 Продукты питания животного происхождения, 19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания, 35.03.08 Водные биоресурсы и аквакультура Оренбург 2021
УДК 51 (075.8) ББК 22.1 я 73 К 14 Рецензент – кандидат технических наук, доцент А.Н. Колобов К 14 Казакова, О.Н. Математический анализ. Элементы теории вероятностей и математической статистики: практикум / О.Н. Казакова, Г.В. Теплякова, Т.А. Фомина; Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2021. – 157 с. ISBN Практикум содержит примеры решения типовых задач, индивидуальные задания, вопросы для самоконтроля, списки используемой и рекомендуемой литературы, приложения. Издание предназначено для обучающихся очной формы обучения, но может также быть использовано для организации аудиторной, самостоятельной и индивидуальной работ студентов заочной формы обучения различных направлений и специальностей подготовки, в том числе для обучающихся по индивидуальным образовательным программам. УДК 51 (075.8) ББК 22.1 я 73 ISBN © Казакова О.Н., Теплякова Г.В., Фомина Т.А., 2021 © ОГУ, 2021
Содержание Введение ............................................................................................................................... 5 1 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных ........................... 6 1.1 Примеры решения типовых задач ........................................................................... 6 1.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 11 1.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 13 2 Интегральное исчисление функции одной переменной ............................................ 16 2.1 Примеры решения типовых задач ......................................................................... 16 2.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 40 2.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 50 3 Кратные интегралы ........................................................................................................ 53 3.1 Примеры решения типовых задач ......................................................................... 53 3.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 58 3.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 61 4 Дифференциальные уравнения ..................................................................................... 62 4.1 Примеры решения типовых задач ......................................................................... 62 4.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 67 4.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 70 5 Числовые и функциональные ряды .............................................................................. 73 5.1 Примеры решения типовых задач ......................................................................... 73 5.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 78 5.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................... 80 6 Основные понятия теории вероятностей ..................................................................... 82 6.1 Примеры решения типовых задач ......................................................................... 82 6.2 Индивидуальные задания ....................................................................................... 94 6.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................. 104 7 Случайные величины ................................................................................................... 106 7.1 Примеры решения типовых задач ....................................................................... 106
7.2 Индивидуальные задания ..................................................................................... 114 7.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................. 120 8 Элементы математической статистики ...................................................................... 123 8.1 Примеры решения типовых задач ....................................................................... 123 8.2 Индивидуальные задания ..................................................................................... 129 8.3 Вопросы для самоконтроля .................................................................................. 136 9 Литература, рекомендуемая для изучения дисциплины .......................................... 139 Список использованных источников ............................................................................ 140 Приложение А Краткие теоретические сведения. Элементарная математика ......... 141 Приложение Б Элементарные функции их свойства и графики ................................ 144 Приложение В Краткие теоретические сведения. Высшая математика .................... 148 Приложение Г Таблица значений функций Лапласа ................................................... 154 Приложение Д Таблица значений функции Пуассона ................................................ 157
Введение Современный подход к организации учебного процесса в высшем учебном заведении предполагает большую долю самостоятельности обучающегося в освоении учебного материала. В связи с чем и возникает необходимость учебно методического сопровождения данного вида учебной деятельности. Предлагаемый практикум призван помочь обучающимся в изучении дисциплины «Математика» или соответствующего раздела в рамках другой дисциплины. Он дает возможность детальной проработки необходимых понятий и формул, позволяет активизировать самостоятельную работу обучающихся, приучает их планировать и рационально использовать личное время. Набор задач достаточно многообразен и позволяет скомпоновать: индивидуальные задания для выполнения типовых расчетов обучающимися очной формы обучения различных специальностей и направлений в зависимости от содержания рабочей программы по математике; аудиторные самостоятельные и контрольные работы; контрольные работы для студентов заочной формы обучения. Вопросы для самоконтроля призваны помочь обучающемуся определить уровень теоретической подготовки по дисциплине. Практикум содержит темы, изучаемые, как правило, во втором и третьем семестрах. Конкретная тематика и содержание дисциплины определяется рабочей программой по соответствующему направлению подготовки; детальные требования к объему и содержанию теоретической и практической подготовки отражены в фонде оценочных средств по дисциплине. Ознакомиться с ними можно в личном кабинете обучающегося. Режим доступа https://osu.ru/iss/lks/. Там же имеются методические указания по освоению дисциплины. Список рекомендуемой основной и дополнительной литературы не является исчерпывающим. Он может быть дополнен любыми другими учебниками и учебными пособиями, содержащими соответствующие разделы.
1 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных 1.1 Примеры решения типовых задач Задача 1.1 Найти дифференциал функции трех переменных 2 x y U ze . Решение. Дифференциал функции трех переменных имеет вид: dz U dy U dx U dU z y x . Найдем частные производные первого порядка. При нахождении x U мы будем считать, что y и z – постоянные величины; при нахождении y U – x и z постоянные величины; при нахождении z U – x и y постоянные величины. y x y x x y x x y x x xyze xy ze y x e z e z U 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( 2 ; y x y x y y x y y x y ze x x e z y x e z e z U 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ; y x z y x z e e z U 2 2 ) ( . Тогда dU 2 2 2 2 2 x y x y x y xyze dx x ze dy e dz . Ответ: dU 2 2 2 2 2 x y x y x y xyze dx x ze dy e dz . Задача 1.2 Исследовать функцию на экстремум: а) y x y xy x z 2 2 ; б) 6 32 24 4 2 2 y y xy y x z . Решение. а) Найдём стационарные точки, используя необходимые условия экстремума:
;1 2 2 2 y x y x y xy x x z x .1 2 2 2 y x y x y xy x y z y . 3 1 , 3 1 1 2 ,1 2 0 1 2 ,0 1 2 y x y x y x y x y x Получили одну стационарную точку 3 1 ; 3 1 M . Исследуем функцию на экстремум в точке М, используя достаточные условия экстремума. Обозначим: 2 2 , z A M x 2 , z B M x y 2 2 . z C M y 2 2 2 2 2 2 1 2, 2 1 , 2 1 2 x y y z z z x y x y x y x x y y . Тогда для нашей точки 3 1 ; 3 1 M : 2 ,1 ,2 C B A . Вычислим .3 1 4 2 1 1 2 : C B B A Так как 0 3 , то в точке 3 1 ; 3 1 M экстремум есть. Так как 0 2 A , то в точке 3 1 ; 3 1 M функция имеет строгий локальный максимум. 3 1 3 1 3 1 9 1 9 1 9 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ; 3 1 2 2 max z . Ответ: максимум в точке 3 1 ; 3 1 M , 3 1 max z . б) Найдем стационарные точки, используя необходимые условия экстремума:
y xy y y xy y x x z x 24 8 6 32 24 4 2 2 ; 32 2 24 4 6 32 24 4 2 2 2 y x x y y xy y x y z y . . 16 12 2 ,0 ) 3 ( 32 24 4 2 ,0 ) 3 ( 8 0 32 2 24 4 ,0 24 8 2 2 2 x x y x y x x y x y y x x y xy Отсюда: если 0 y , то 2 ,4 0 8 6 0 16 12 2 2 1 2 2 x x x x x x ; если ,3 x то 2 y . Получили три стационарные точки: ) 0;2 ( ), 0;4 ( 2 1 M M и ) 2;3 ( 3 M . Исследуем функцию на экстремум в этих точках, используя достаточные условия экстремума. Найдем частные производные второго порядка: ; 8 24 8 2 2 y y xy x z x ; 24 8 24 8 2 x y xy y x z y 2 32 2 24 4 2 2 2 y y x x y z . Для точки ) 0;4 ( 1 M получаем: ,0 ) ( 1 2 2 M x z A ,8 24 32 ) ( 1 2 M y x z B 2 ) ( 1 2 2 M y z C . Тогда 64 2 8 8 0 C B B A . Так как 0 64 , то в точке ) 0;4 ( 1 M экстремума нет. Для точки ) 0;2 ( 2 M получаем: ,0 ) ( 2 2 2 M x z A ,8 24 16 ) ( 2 2 M y x z B 2 ) ( 2 2 2 M y z C . Тогда 64 2 8 8 0 C B B A . Так как 0 64 , то в точке ) 0;2 ( 2 M экстремума нет. Для точки ) 2;3 ( 3 M получаем:
, 16 ) ( 3 2 2 M x z A ,0 24 24 ) ( 3 2 M y x z B 2 ) ( 3 2 2 M y z C . Тогда 32 2 0 0 16 C B B A . Так как 0 32 , то в точке ) 2;3 ( 3 M экстремум есть. Так как 0 16 A , то в точке ) 2;3 ( 3 M функция имеет строгий локальный минимум. 10 6 2 32 2 2 )3 ( 24 2 ) 3 ( 4 ) 2;3 ( 2 2 min z . Ответ: 10 ) 2;3 ( min z . Задача 1.3 Найти угол между градиентами скалярных полей 2 2 2 ln z y x u и y z x yz xy zx v 6 18 в точке . 4 ;5 ;3 M Решение. Найдём градиенты скалярных полей: ; ; ; , ; ; z v y v x v V grad z u y u x u U grad , 2 ln 2 2 2 2 2 2 z y x x z y x x u x , 2 ln 2 2 2 2 2 2 z y x y z y x y u y , 2 ln 2 2 2 2 2 2 z y x z z y x z u z , 18 6 18 y z y z x yz xy zx x v y ,1 6 18 z x y z x yz xy zx y v y
.6 6 18 y x y z x yz xy zx z v z Градиенты скалярных полей в произвольной точке равны: . 6 ;1 ; 18 , 2 ; 2 ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x z x y z V grad z y x z z y x y z y x x U grad Найдем значения частных производных в точке М(3;5;4): 50 6 x u , 50 10 y u , 50 8 z u , 9 x v , 6 y v , 2 z v . Получили, что градиенты скалярных полей в точке М(3;5;4) равны: . 2 ;6 ;9 , 50 8 ; 50 10 ; 50 6 M V grad M U grad Обозначим угол между градиентами скалярных полей через α . Найдём угол между градиентами скалярных полей, используя скалярное произведение векторов: cos ; gradU M gradV M gradU M gradV M ; 50 22 2 50 8 6 50 10 9 50 6 M V grad M U grad , 5 2 50 8 50 10 50 6 2 2 2 M U grad ; 11 2 6 9 2 2 2 M V grad . 10 2 arccos , 10 2 11 5 2 50 22 cos α α Ответ: . 10 2 arccos
1.2 Индивидуальные задания Задача 1.1 Найти дифференциал функции трех переменных. 1) z y x U 2 2 2) yz e x U 3) z y x U sin 2 4) ) 2 ln( 2 z y x U 5) z y x U 2 2 6) ze xy U 7) y tg xz U 8) yz x U 9) z x y x U 2 2 10) 2 xe yz U 11) z xy U cos 12) ) ln( z y x U 13) z x y U 2 14) ye z x U 2 15) ) (yz xarctg U 16) 2 x zy U 17) z y x U 2 2 18) 2 2 z x y U 19) y x z U cos sin 20) 2 2 y z x U Задача 1.2 Исследовать функцию ) , ( y x f z на экстремум. 2 2 1) 9 6 20 z x xy y x y ; 2 2 2) 3 3 6 9 2 z xy x y x y ; 2 2 3) 3 10 5 3 z xy x y x y ; 2 2 4) 3 5 3 4 7 1 z x xy y x y ; 2 2 5) 3 3 3 z xy x y x ; 2 2 6) 5 4 10 4 2 3 z x y xy x y ; 2 2 7) 1 5 3 3 z x y xy x y ; 2 2 8) 2 7 7 10 z xy x y x y ; 2 2 9) 3 2 2 3 1 z x xy y x y ; 2 2 10) 3 4 4 6 5 z xy x y x y ; 2 2 11) 3 4 3 z x xy y x y ; 2 2 12) 4 z x xy y x y ; 2 2 13) 13 11 17 z x xy y x y ; 2 2 14) 4 5 z x xy y x y ; 2 2 15) 2 10 6 z xy x y x y ; 2 2 16) 3 3 6 2 7 z x xy y x y ; 2 2 17) 2 2 8 3 z x xy y x y ; 2 2 18) 2 3 2 4 10 12 z x xy y x y ;
2 2 19) 2 3 2 9 12 10 z x xy y x y ; 2 2 20) 5 5 2 z x xy y x y . Задача 1.3 Найти угол между градиентами скалярных полей ( , , ) U x y z и ( , , ) V x y z в точке М. 2 2 2 1 1 1 1) , 9 6 , 1; ; ; 3 6 u v x y z M xyz 2 2 2 2 1 1 1 2) , 3 , ; ; ; 2 2 3 x u v x y z M yz 2 3 3 3 3 3 2 2 2 3 1 3) , 8 3 , ; ; ; 3 3 2 2 2 x z x y u v z M y 2 3 1 2 2 3 3 1 3 4) , , ; 2; ; 2 2 2 2 x u v M y z y z x 2 4 2 2 1 1 1 5) , , 2; ; ; 9 3 3 6 u x yz v M x y z 2 3 3 3 3 2 8 3 6) , , 2; 2; ; 2 2 2 3 y z x y z u v M x 2 3 2 2 2 3 1 3 7) , 3 2 , 2; ; ; 2 3 2 u x y z v x y z M 2 3 3 3 3 4 1 3 8) , 9 2 , ;2; ; 3 2 2 2 3 xy y z u v x M z 2 2 2 2 1 3 2 1 9) , 2 6 2 , 1; ; ; 3 2 6 y u v x z M xy z 2 2 2 2 2 2 3 2 2 10) , 2 , ;2; 3 3 2 2 z x y u v z M x y ; 2 2 2 2 1 1 1 11) , 3 , ; ; ; 2 2 3 yz u v x y z М x