Технологии использования холода. Физико-технические основы холодильной обработки пищевых продуктов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
С.А. БУДАСОВА 
 
 
 
 
ТЕХНОЛОГИИ  
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ХОЛОДА 
 
 
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ  
ХОЛОДИЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ  
ПИЩЕВЫХ ПРОДУКТОВ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

 

УДК 66.045:536.2(075.8) 
         Б 903 
 
 
 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, профессор К.А. Матвеев 
канд. техн. наук, доцент И.А. Сажин 
 
 
Работа подготовлена на кафедре технической теплофизики 
для студентов IV курса ФЛА специальности 16.03.01 
«Техническая физика» 
 
 
Будасова С.А. 
Б 903   
Технологии использования холода. Физико-технические основы холодильной обработки пищевых продуктов: учебное пособие / С.А. Будасова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 76 с. 

ISBN 978-5-7782-4086-5 

Изложены теплофизические основы холодильной обработки пищевых продуктов, методы расчета тепловых процессов, даны расчетные 
соотношения. При этом в математических решениях отдано предпочтение простым средствам, которые могут быть использованы для расчетов с необходимой точностью. Процессы холодильной технологии 
рассмотрены в совокупности со свойствами пищевых продуктов и технологическими условиями. Рассмотрены примеры решения задач. 
Даны контрольные задачи для самостоятельной работы. 
 
 
 
УДК 66.045:536.2(075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-4086-5  
 
 
 
 
 
 
 Будасова С.А., 2019 
 Новосибирский государственный 
    технический университет, 2019 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
Введение ................................................................................................................... 4 

1. Общее уравнение теплопроводности .............................................................. 5 

2. Уравнения теплового состояния тел ............................................................ 11 
   2.1. Пластина с постоянной температурой поверхностей ............................... 11 
   2.2. Шар ................................................................................................................ 37 
   2.3. Цилиндр ........................................................................................................ 45 

3. Приближенное интегрирование уравнения теплопроводности   
    методом сеток .................................................................................................... 53 
4. Приближенные решения уравнения теплопроводности  
    при изменении агрегатного состояния ........................................................ 64 
5. Задачи для самостоятельного решения ....................................................... 72 
Библиографический список .................................................................................. 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Основу холодильной технологии составляет регулирование изменений пищевых продуктов, влияющих на их качество, посредством регулирования теплофизического параметра – температуры. Явления, происходящие в самих продуктах при холодильной обработке, во многих 
случаях – теплофизические, и рассматриваются они неразрывно с биохимическими, биофизическими и микробиологическими процессами, 
направленность развития которых также определяется температурой. 
Поэтому изучение теплового состояния тел имеет большое значение 
для оценки и совершенствования процессов холодильной обработки. 
При решении задач о тепловом состоянии тел используются зависимости как имперического, так и аналитического характера, имеющие свои 
достоинства и недостатки. 
Поскольку исследования и расчеты теплового состояния тел при холодильной обработке проводятся с применением математических методов, в учебном пособии рассматриваются основы математической теории теплопроводности. 
Настоящее учебное пособие подготовлено на основе опыта преподавания курсов «Холодильная техника и технология» и «Физикотехнические основы холодильной обработки пищевых продуктов» в 
2000–2015 годах. 
 
 
 
 
 
 
 

 

1. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 

Основной задачей теории теплопроводности является нахождение 
температуры t тела в любой его точке М (температурное поле) и в любой момент, т. е. определение t как функции координат точки М и времени : 

( , , , τ).
t
f x y z

 

Поскольку температура является скалярной величиной, то температурное поле также будет скалярным. 
Математическое описание теплового состояния тел основано на некоторых физических законах. Так, по закону Фурье количество теплоты dQ, протекающей через элемент поверхности dF за время d в 
направлении n , выражается формулой 

 
λ
τ.
t
dQ
dFd
n

  
 
 (1) 

Здесь через 
t
n


 обозначена производная температуры по направлению 

n , в котором движется тепло. Так как тепло передается от более нагретых частей тела к менее нагретым, то температура t в направлении n  

убывает. Следовательно, производная 
t
n


 будет отрицательной, а знак 

«минус» в формуле (1) указывает на то, что количество теплоты всегда 
положительно. 
Величина 

 
λ
,
n
t
q
n

  
  
(2) 

называемая удельным тепловым потоком в направлении n , представляет собой количество теплоты, прошедшей за единицу времени через 
единичную площадку. 
Пользуясь обозначением 
n
q , закон Фурье (1) можно записать в следующем виде: 

 
τ.
n
dQ
q dFd

 
 (3) 

Температура тела определяется из дифференциального уравнения 
теплопроводности. Для простейшего случая, так называемой «одномерной» задачи, принимается, что изучаемое тело однородно и изотропно 
и все теплофизические свойства его постоянны. 
Тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями, называется 
плоскопараллельной стенкой, или неограниченой пластиной. Пусть толщина пластины (в направлении оси x) равна l (рис. 1) и во всех точках 
плоскости y0z (т. е. при x = 0) тело имеет одну температуру (например, 
t = 100 С, а плоскость x = l при температуре 0 С). В направлении осей 
y и z пластина простирается неограниченно далеко, поэтому изменение 
температуры от 100 до 0 С будет происходить только по толщине. Это 
значит, что в любом направлении 
1
ММ  или 
1
NN , параллельном направлению оси х, температура тела будет изменяться одинаково. Поэтому 
изменение температуры достаточно определить только в направлении 
оси х, так как в направлениях осей y и z изменения температуры не про
исходит 
0
t
y
  
 

 и 
0 .
t
z







 

Практически к случаю неограниченой пластины сводятся задачи 
теплового состояния ограниченных пластин, имеющих длину и ширину, 
значительно большие по сравнению с толщиной l, в которых определяется температурное поле в точках, достаточно удаленных от торцов. 
Для вывода дифференциального уравнения теплопроводности в его 
простейшей форме выделим в однородной пластине элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (рис. 2), одна из вершин которого 
находится в точке А (х, y, z). Так как тепло распространяется в направлении оси х, то количество теплоты, поступающей через левую грань 
параллелепипеда за промежуток времени d, будет равно 
τ.
x
q dydzd  
Через противоположную грань (правую на рис. 2) удаляется количество теплоты, равное 
τ.
x dx
q
dydzd

 Предполагается, что элементарный 

параллелепипед будет нагреваться (а следовательно, 
х
q  будет больше 

x dx
q 
); найдем, что количество теплоты, затраченное на нагревание параллелепипеда, будет 

 
1
(
)
τ.
x
x dx
dQ
q
q
dydzd



  
(4) 

 
 

Рис. 1. Неограниченная 
 пластина 

Рис. 2. Элементарный параллелепипед  
для вывода дифференциального 
 уравнения теплопроводности 

Частное приращение функции 
x dx
х
q
q


 можно заменить частным 
дифференциалом: 

x
x dx
x
x
q
q
q
dq
dx
x




 
. 

Так как по формуле (2) 
λ
,
x
t
q
x

  
 то 

2

2
λ
x
q
t
x
x



 


 и формулу (4) 

можно записать в виде 

 

2

1
2
λ
τ.
t
dQ
dydzdxd

x




  
(5) 

Количество теплоты, аккумулированное этим параллелепипедом, 
можно выразить через теплоемкость и изменение температуры: 

 
2
,
dQ
cm t

  
 (6) 

где с – удельная теплоемкость; т – масса параллелепипеда, равная 
dxdydz;  – плотность тела; t – приращение температуры, которое 
можно заменить частным дифференциалом: 

 
τ.
τ
t
t
dt
d

 
 
 
 

Поэтому 
2
dQ  можно записать в виде 

 
2
γ
τ.
τ
t
dQ
c
dxdydzd



  
(7) 

По закону сохранения энергии 
1
2
dQ
dQ

. Приравнивая правые части равенств (5) и (7), после сокращения будем иметь 

 

2

2
γ
λ
.
τ
t
t
c

x






 
 (8) 

Предполагая постоянство теплофизических свойств, вводим обозна
чение 
λ .
γ
a
c

 

Уравнение (8), называемое уравнением теплопроводности или уравнением Фурье, можно переписать в виде 

 

2

2 .
τ
t
t
a

x






  
(9) 

При выводе уравнения (9) предполагалось, что внутри тела источники тепла отсутствуют. Если в единицу времени в единице объема 
внутри тела будет выделяться теплота W, то в элементарном объеме 
dxdydz (см. рис. 1) за промежуток времени d выделится количество теплоты 

 
3
τ.
dQ
Wdxdydzd

 
 

В этом случае уравнение теплового баланса будет 

 
2
1
3.
dQ
dQ
dQ


  
(10) 

Подставив выражение 
1
dQ  и 
2
dQ  из (5) и (7) в (10) после сокращения на dxdydzd получим 

 

2

2
γ
λ
,
τ
t
t
c
W

x







 
 (11) 

или 

 

2

2
.
τ
γ
t
t
W
a
c
x







  
(12) 

Для пространственной задачи, когда температура t зависит не только 
от времени , но и от трех координат x, y, z, уравнение теплопроводности 
при отсутствии источников тепла имеет вид 

 

2
2
2

2
2
2 .
τ
t
t
t
t
a

x
y
z




















  
(13) 

В уравнении (13) выражение, стоящее внутри скобок, называется 
оператором Лапласа и обозначается символом 
2t

. 
С помощью уравнения (13) можно, например, решить задачу о тепловом состоянии тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда. 
При решении задач для тел сферической формы, когда температура t 
является только функцией времени  и расстояния r от центра (симметричная задача), уравнение теплопроводности (13) будет иметь вид 

 

2

2
2
.
τ
t
t
t
a
r
r
r

















 
 (14) 

Для решения задач о тепловом состоянии тел цилиндрической 
формы уравнение теплопроводности (13) примет вид 

 

2

2
1
.
τ
t
t
t
a
r r
r

















 
 (15) 

Важно отметить, что уравнения (14) и (15) содержат только две независимые переменные r и , поэтому это также одномерные задачи,  
подобные задаче об охлаждении пластины. Все три уравнения (9), (14) 
и (15) можно записать в виде одного: 

2

2
Г
,
τ
t
t
t
a
r
r
r

















  
(16) 

в котором Г = 0 для пластины, Г = 1 для цилиндра и Г = 2 для шара. 
Уравнение теплопроводности (16) справедливо только для тел с постоянными теплофизическими свойствами , с и . Если учесть, что эти 
свойства зависят от температуры t, то уравнение (8) будет иметь вид 

 
( )γ( )
λ( )
;
τ
t
t
c t
t
t
x
x













  
(17) 

 

2
2

2
λ
γ
λ
,
τ
t
t
t
с
t
x
x

















 
 

частным случаем которого является уравнение (8). 
Уравнение (17) относится к нелинейным уравнениям, и интегрирование его представляет большие трудности. 
Так как неизвестная величина t является функцией от двух переменных (х и ), т. е. t = t(x, ), то в дифференциальное уравнение входят 
частные производные. 
При интегрировании дифференциальных уравнений с частными 
производными необходимо знать начальные и граничные условия. 
Начальные условия представляют собой начальное распределение 
температуры в теле (оно может быть не постоянным, а некоторой функцией от одного х): 

 

τ 0
( ,τ)
( )
t x
f x
 
, или ( ,0)
( ).
t x
f x

 
 

Граничные условия характеризуют взаимодействие тела с окружающей средой или распределение температуры поверхности тела. 
В простейшем случае считаются известными температуры обеих поверхностей стенки в течение всего процесса ее нагревания или охлаждения. 
Математически это записывается следующим образом: 

 


0
( ,τ)
φ(τ);
x
t x
 
 

( ,τ)
ψ(τ),
x l
t x
 
 
 

или 

 
(0,τ)
φ(τ);
t

 ( ,τ)
ψ(τ).
t l

 
 

Функции () и () должны быть заданы. 

 

2. УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ 

2.1. ПЛАСТИНА С ПОСТОЯННОЙ  
ТЕМПЕРАТУРОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ 

Рассмотрим охлаждение однородной пластины толщиной l = 2R с 
постоянной начальной температурой нt . На обеих поверхностях в течение всего процесса охлаждения поддерживается нулевая температура. 
Определение температуры t(х, ) в последующие моменты сводится 
к решению дифференциального уравнения 

 

2

2
τ
t
t
a

x






  
(18) 

при начальном условии 

 
н
( ,0)
t x
t

  
(19) 

и граничных условиях 

 
( ,τ)
0;
t R

  
(20) 

 
(
,τ)
0.
t
R


  
(21) 

Одно из граничных условий (20) или (21) можно заменить: 

 

0
0,
x

t
x











  
(22) 

что соответствует отсутствию теплового потока в средней плоскости 
пластины (при х = 0) и соблюдается вследствие симметричности температурного поля.