Основы линейной алгебры и аналитической геометрии

ОСНОВЫ 
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Москва
ИНФРА-М
2026
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
В.Г. ШЕРШНЕВ
Рекомендовано
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки УГС 38.00.00 «Экономика и управление»
(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я73
 
Ш49
Шершнев В.Г.
Основы линейной алгебры и аналитической геометрии : учебное пособие. – Москва : ИНФРА-М, 2026. – 168 с. – (Высшее 
образование). — DOI 10.12737/2540.
ISBN 978-5-16-021113-8 (print)
ISBN 978-5-16-101126-3 (online)
Данное пособие составлено на основе лекций, читаемых автором  
на экономических факультетах Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова. Содержит теоретический материал и задания для практических занятий в аудитории и для самостоятельного 
решения. Все задания снабжены ответами. Приводится решение характерных заданий. Данное учебное пособие содержит контрольные 
задания по основным разделам линейной алгебры и аналитической 
геометрии. 
Пособие предназначено для студентов экономических специальностей.
УДК 512.64(075.8) 
ББК 22.143я73
Ш49
© Шершнев В.Г., 2013
ISBN 978-5-16-021113-8 (print)
ISBN 978-5-16-101126-3 (online)
Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М
Подписано в печать 07.06.2026. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 10,5.
ППТ12. Заказ № 00000
ТК 188550-2213684-250712
ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1
Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru
Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

1. N-мерные векторы и матрицы
1.1. N-мерные векторы и действия над ними
Множество чисел u1, u2, ..., un, перенумерованное с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров, 
называется числовой последовательностью.
N-мерным вектором называется последовательность n чисел. Эти 
числа называются координатами вектора. Число координат вектора 
n называется размерностью вектора. 
Вектор записывают в виде строки или столбца. Например:
A = (a1, a2, ..., an),    a
a a
an
= ( ,
,...,
),
1
2
    A
a
a
an
=












1
2
... .
Обычно обозначают Q = (0, 0, ..., 0) — нулевой вектор, E1 = (1, 
0, ..., 0), E2 = (0, 1, ..., 0), ..., En = (0, 0, ..., 1) — единичные векторы 
специального вида.
Два вектора A = (a1, a2, ..., an) и B = (b1, b2, ..., bn) равны между 
собой, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие координаты равны, т.е. А = В ⇔ ai = bi, i = 1, 2, …, n.
Линейные операции над векторами
К линейным операциям относятся умножение вектора на число 
и сложение векторов.
1.  Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число l; 
при этом все его координаты умножаются на это число, т.е. lA =
= Al = (la1, la2, ..., lan).
2.  Два вектора A = (a1, a2, ..., an) и B = (b1, b2, ..., bn) одинаковой 
размерности можно сложить; при этом их соответствующие координаты складываются, т.е. A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn).
Свойства линейных операций: 1) А + В = В + А; 2) (А + В) + С = 
= А + (В + С); 3) l(А + В) = lА + lВ; 4) (l + m)А = λА + μА; 5) l(mА) = 
= (λμ)А.
Здесь А и В — векторы, l, m — числа.
Пример 1.1. Решить уравнение 
2Х - 3А + 2В = 0,
где А = (2, 4, 6), В = (1, 2, 3).

Решение. 
X
A
B
A
B
=
−
=
−
=







−







=







−
1
2 3
2
3
2
3
2
2
4
6
1
2
3
3
6
9
1
2
(
)
3
3
1
6
2
9
3
2
4
6







=
−
−
−







=







.
Ответ: X = (2, 4, 6).
Векторы А и В называются коллинеарными (параллельными), если 
А = lВ, т.е. ai = lbi i = 1, 2, …, n. Здесь l — некоторое число. Если l > 0, 
то считают, что направления векторов совпадают; l < 0 — направления векторов противоположны. Данные равенства записывают в 
виде
a
b
a
b
a
b
n
n
1
1
2
2
=
=
=
...
.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов a
a a
an
= ( ,
,
)
1
2 ...,
 и b
b
= (b1, 
b2, ..., bn) называется величина, вычисляемая по формуле
a b
a b
a b
a b
n n
⋅
=
+
+
+
1 1
2 2
...
,  или a b
a b
i i
i
n
⋅
=
=∑
1
.
Модулем (длиной) вектора называется величина, равная
a
a a
=
⋅
 или a
ai
i
n
=
=∑
2
1
.
Вектор называется единичным, если a = 1. Единичный вектор 
обычно обозначают через e.
Угол между векторами a = (a1, a2, ..., an) и b = (b1, b2, ..., bn) находится по формуле
cosϕ =
⋅
⋅
a b
a
b
 или cos
...
...
...
.
ϕ =
+
+
+
+
+
+
⋅
+
+
+
a b
a b
a b
a
a
a
b
b
b
n n
n
n
1 1
2 2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
Условие перпендикулярности векторов a и b имеет вид
a b
⋅
= 0  или a1b1 + a2b2 + ... + anbn = 0.
Свойства скалярного произведения:
1)  a b
b a
⋅
=
⋅; 2)  (
)
a
b
c
a c
b c
+
⋅
=
⋅
+
⋅; 
3)  λ
λ
λ
(
)
a b
a b
a
b
⋅
=
⋅
=
⋅
.

Пример 1.2. Найти единичный вектор e, совпадающий по направлению 
с вектором a = (1, -2, 2). 
Решение. Так как векторы коллинеарные, то e
a
= λ , тогда e
a
=
⋅
λ
 и 
λ =
=
+ −
+
=
1
1
1
2
2
1
3
2
2
2
a
(
)
. Вектор e совпадает по направлению с вектором a, поэтому λ = + 1
3. Вектор e
a
=
=
−
=
−




1
3
1
3 1
2 2
1
3
2
3
2
3
( ,
, )
,
,
.
Ответ: e =
−




1
3
2
3
2
3
,
,
.
Пример 1.3. Найти вектор c
x y z
= ( , , ), перпендикулярный векторам a = 
= (1, 2, 3) и b = (2, 3, 4), если c =
6.
Решение. Используем условия перпендикулярности векторов a c
⋅
= 0 
и b c
⋅
= 0. Эти условия запишем в координатном виде и решим как систему уравнений относительно x, y, z:
+
+
+
=
× −
+
+
=
×



−
−
=
= −
= −
−
x
y
z
x
y
z
y
z
y
z
x
y
z
2
3
0
2
2
3
4
0
1
2
0
2
2
3
,
(
)
( )
,
,
   
= −
−
−
=
=
−
2
2
3
2
(
)
;
( ,
, ).
z
z
z
c
z
z z
Учитывая, что c =
6, найдем z. z
z
z
z
z
2
2
2
2
2
6
6
+ −
+
=
=
⋅
(
)
.
6
6
1
1
⋅
=
⇒
=
= ±
z
z
z
,
. c1
1
2 1
=
−
( ,
, ), c2
1 2
1
= −
−
(
, ,
).
Ответ: c1
1
2 1
=
−
( ,
, ); c2
1 2
1
= −
−
(
, ,
).
1.2. Матрицы и действия над ними
Матрицей размерности m × n называется таблица чисел (элементов), содержащая m строк и n столбцов. 
Матрицу записывают следующим образом:
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
m
m
mn
=








11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...




 или A = (aij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).
В алгебраических выражениях часто используются специального 
вида матрицы, например: Q — нулевая; D — диагональная; E — единичная:
Θ =












0
0
0
0
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
,  D
d
d
dn
=












1
2
0
0
0
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
,  E =












1
0
0
0
1
0
0
0
1
...
...
...
...
...
...
...
.

Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы 
местами, то получится матрица AT, которую называют транспонированной матрицей А. Записывают 
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
T
m
m
n
n
mn
=







11
21
1
12
22
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...





 или AT = (aji) ( j = 1, 2, ..., n; i = 1, 2, ..., m).
Например, A = 



1
2
3
4 , AT = 



1
3
2
4 ; B =








1
4
2
5
3
6
, BT = 



1
2
3
4
5
6 .
Если число строк и столбцов матрицы совпадает и равно n, то 
матрица называется квадратной n-го порядка.
Две матрицы А и В одинаковой размерности равны, если все соответствующие элементы матриц равны, т.е.
А = В ⇔ aij = bij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).
Линейные операции над матрицами
1.  Любую матрицу можно умножить на любое число; при этом 
все элементы матрицы умножаются на это число, т.е.
lA = (laij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).
2.  Две матрицы А и В одинаковой размерности можно сложить; 
при этом все соответствующие элементы матриц складываются, т.е.
А + В = (aij + bij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).
Свойства линейных операций: 1) А + В = В + А; 
2) (А + В) + С = А + (В + С);	
3) (А + В) ⋅ l = l(А + В) = lА + lВ; 
4) (l + m)А = lА + mА;	
5) l(mА) = (lm)А.
Здесь А и В — матрицы, l, m — числа.
Пример 1.4. Найти матрицу С = А + 2В, если A = 



1
2
3
4
5
6 , B = 
=
−




1
0
2
3
2
4 .
Решение. С = А + 2В = 1
2
3
4
5
6



 + 2 1
0
2
3
2
4
−



 = 1
2
3
4
5
6



 + 2
0
4
6
4
8
−



 = 
= 1
2
2
0
3
4
4
6
5
4
6
8
+
+
+
+
−
+



 = 3
2
7
10
1
14



. 

Умножение матриц
Две матрицы можно умножать, если число строк второй матрицы 
равно числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой 
матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.
Элементы матрицы произведения С = АВ находятся по формуле
c
a b
ij
ik kj
k
l
=
=∑
1
 (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n),
где l — число строк второй и число столбцов первой матрицы.
Элемент матрицы произведения cij, стоящий в i-й строке и j-м 
столбце, равен скалярному произведению i-й строки первой матрицы и j-го столбца второй матрицы. Говорят: матрицы умножаются 
строка на столбец.
Свойства умножения матриц: 
1) (АВ)С = А(ВС);	
2) (А + В)С = АС + ВС; 
3) А(В + С) = АВ + АС;	
4) АЕ = ЕА = А;	
5) (AB)T = BTAT.
Пример 1.5. Найти a
b
c
d








α
β
γ
δ .
Решение. a
b
c
d
a
b
a
b
c
d
c
d







=
+
+
+
+




α
β
γ
δ
α
γ
β
δ
α
γ
β
δ .
Пример 1.6. Найти 1
2
3
4
5
6
7
8







.
Решение. 1
2
3
4
5
6
7
8
1 5
2 7
1 6
2 8
3 5
4 7
3 6
4 8
19







=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅



=
22
43
50



.
Пример 1.7. Найти 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
1
0
3
1
0
4








−







.
Решение. 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
1
0
3
1
0
4
1 1
2 1
3 1
1 1
2 0
3








−







=
=
⋅+
⋅+
⋅
⋅+
⋅
+
⋅0
1 2
2 3
3
4
4 1
5 1
6 1
4 1
5 0
6 0
4 2
5 3
6
4
7 1
8
⋅
+
⋅
+
⋅−
⋅+
⋅+
⋅
⋅+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅−
⋅+
⋅
(
)
(
)
1
9 1
7 1
8 0
9 0
7 2
8 3
9
4
+
⋅
⋅+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅−







=
(
)

=
−
−








6
1
4
15
4
1
24
7
2
.
В общем случае при умножении матриц их нельзя переставлять.
Например, A B
⋅
= 






= 



1
2
3
4
1
1
1
0
3
1
7
3 ; B A
⋅
= 






= 



1
1
1
0
1
2
3
4
4
6
1
2 .
1.3. Задания для самостоятельного решения
Найти вектор D:
1.8.  D = 3А + 2В - 3С, если А = (1, 3, 2, 1), В = (2, -3, 4, -5), С = (2, 2, 4, -2). 
1.9.  D = 2А - 3В + 2С, если А = (2, -1, 3, 4), В = (1, 0, -2, 1), С = (1, 3, 1, -2).
Решить векторное уравнение (найти Х):
1.10.  3Х + 2А - 6В = Q, где А = (-3, 6, 0, 9), В = (1, -1, 2, 4).
1.11.  2А + 3В - 2Х = Q, где А = (1, 2, 0, 7), В = (6, -2, 4, -8). 
1.12.  4А + 5Х - В = Q, где А = (4, 5, -7, 6), В = (1, -5, -3, 4).
Найти значения x и y, при которых векторы A и B коллинеарны:
1.13.  А = (2, x, 4), В = (4, 3, y).      1.14.  А = (x, -3, y), В = (-3, 1, 9).
1.15.  A = (3, х, 9), B = (4, 12, y).      1.16.  A = (х, 2, 12), B = (6, 3, y). 
Найти скалярное произведение векторов:
1.17.  a = (3, -2, 1, 4, 0), b = (2, 0, 3, 1, 4).    1.18.  a = (5, 7, 3, 8), b = (2, -1, -3, 1).
Найти угол между векторами a и b:
1.19.  a = (1, -1, 2, -2) и b = (2, 1, 1, 2).      1.20.  a = (3, -4, 12), b = (5, -12, 0). 
1.21.  a = (1, 1, 0), b = (0, 1, 1).      1.22.  a = (1, -1, 0, 1, 1), b = (-1, -1, 1, 1, 0).
При каком значении х векторы a и b взаимно перпендикулярны: 
1.23.  a = (3, -3, х), b = (х, 2, -1).      1.24.  a = (5, х, -4), b = (6, 7, х).
1.25.  Найти единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором 
a = (2, -1, 2). 
1.26.  Найти единичный вектор, противоположный по направлению с вектором a = (-3, 4, -12). 
Найти вектор c = (x, y, z), перпендикулярный векторам a и b: 
1.27.  a = (1, 3, 5), b = (2, 3, 2).      1.28. a = (-3, 4, -7), b = (2, -2, 5).
1.29.  a = (2, 5, 7), b = (3, 8, 10), если c =
38.
1.30.  a = (1, 2, 3), b = (2, 3, 4), если c =
6.
1.31.  Найти матрицу С = 4А - 2В, если A = 



2
3
3
4 ,  B = 



4
5
2
9 . 
1.32.  Найти матрицу D = 3А + 2В - 5Е, если 
A =
−
−




3
4
4
5 ,   B =
−




2
8
4
6 ,   E = 



1
0
0
1 .

1.33.  Найти матрицу D = 2А - 4В - 5С, если 
A =
−








3
1
2
0
4
7
,   B =
−
−








1
1
2
2
3
3
,   C =
−








2
1
1
1
2
3
.
Найти произведение матриц: 
1.34. 
4
7
3
8
2
6
5
1



⋅


.      1.35. 
−
−



⋅−
−




2
3
3
4
1
2
5
6 .  
Найти: 
1.36.  A2 + 2A - 3E, где A = 



1
2
2
3 , E = 



1
0
0
1 .
1.37.  A2 - B2 и (A - B) ⋅ (A + B), где A = 



2
3
1
2 ,   B =
−




1
0
2
1 .
1.38.  (A + B)2, A2 + 2AB + B2, где A =
−
−




1
2
1
3 ,   B = 



3
4
2
1 .
1.39.  1
2
2
3
4
−
−



.    1.40.  1
1
1
0
8



.    1.41.  (
)
.
1
2
3
4
5
6
⋅







    1.42. (
)
.
3
4
7
5
2
6
⋅








1.43. 
4
5
6
1
2
3







⋅(
).     1.44. 
3
7
9
2
6
4







⋅(
).    1.45.  1
2
3
4
5
6
10
40
20
50
30
60



⋅







.  
1.46.  3
4
6
2
5
7
1
2
2
3
3
4



⋅
−
−







.      1.47. 
3
1
5
4
2
6
2
1
3
4
5
1







⋅
−
−



.  
1.48. 
4
5
3
7
2
6
3
5
7
2
3
4
−
−







⋅−
−
−



.      1.49. 
1
3
2
2
4
3
3
5
1
1
4
6
0
3
7
2
5
9
−
−
−







⋅







.  
1.50.  A2 - 5A + 2E, где A =








1
0
0
0
2
1
0
0
3
,   E =








1
0
0
0
1
0
0
0
1
.
Найти произведение матриц: 
1.51. 
2
3
4
6
2
2
4
1
3
2
3
1
1
4
5
3
2
7
−
−
−







⋅







.       1.52. 
3
1
1
5
2
4
2
6
3
7
8
9
2
4
5
15
10
20







⋅
−
−
−







.  

1.53. 
1
2
3
2
3
4
3
4
5
2
3
4
3
4
5
4
5
6







⋅
−
−
−
−
−
−







.      1.54. 
3
5
7
2
3
4
6
9
1
4
2
5
3
4
7
2
1
6
−
−
−







⋅−
−
−







. 
1.55. 
1
3
5
2
4
6
3
5
7
1
0
0
1
1
0
1
1
1







⋅







.    1.56. 
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
3
5
2
4
6
3
5
7







⋅







.
1.57. 
2
4
6
4
6
8
6
8
10
1
0
1
0
1
1
1
0
0







⋅







.       1.58. 
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9







⋅







.
1.59. 
1
0
0
0
2
0
0
0
3
0
0
2
0
3
0
4
0
0







⋅







.      1.60. 
0
0
2
0
3
0
4
0
0
1
0
0
0
2
0
0
0
3







⋅







.
1.61. 
3
2
4
1
4
3
5
6
1
2
2
3
−
−



⋅


⋅−
−



.       1.62. 5
3
0
2
4
0
1
6
1
2
1
3



⋅


⋅
−
−



.  
1.63. 
1
4
3
2
2
2
3
0
3
2
3
2
1
2
0
2
4
1
4
2
6
3
2
5
5
1
3
−
−
−







⋅
−
−







⋅
−







.
1.64. 
0
3
5
1
0
6
2
4
0
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
0
1
1
1
0
0
1
1







⋅
−
−
−







⋅







.
1.65. 
−
−
−
−
−
−
−
−












⋅





1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
4
3
2
1
5
4
3
2
6
5
4
3
7
6
5
4







.       1.66. 
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4












⋅












.
1.67. 
1
3
5
7
3
5
7
9
5
7
9
11
7
9
11 13
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7












⋅
−
−
−
−












.   1.68. 
1
3
0
0
3
2
4
0
0
4
3
5
0
0
5
4
0
0
3
1
0
4
2
3
5
3
4
0
4
5
0
0












⋅












.  
1.69.  Отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду 
продукции каждое. Количество продукции yi i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта), находится по формуле
y
x
a x
i
i
ij
j
j
n
=
−
=∑
1
; i = 1, 2, …, n,