Основы линейной алгебры и аналитической геометрии
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Автор:
Шершнев Владимир Григорьевич
Год издания: 2024
Кол-во страниц: 168
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-16-005479-7
ISBN-онлайн: 978-5-16-101126-3
Артикул: 188550.07.01
Данное пособие составлено на основе лекций, читаемых автором на экономических факультетах Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова. Содержит теоретический материал и задания для практических занятий в аудитории и для самостоятельного решения. Все задания снабжены ответами. Приводится решение характерных заданий. Данное учебное пособие содержит контрольные задания по основным разделам линейной алгебры и аналитической геометрии.
Пособие предназначено для студентов экономических специальностей.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 38.03.01: Экономика
- 38.03.02: Менеджмент
- 38.03.03: Управление персоналом
- 38.03.04: Государственное и муниципальное управление
- 38.03.05: Бизнес-информатика
- 41.03.06: Публичная политика и социальные науки
- ВО - Магистратура
- 38.04.01: Экономика
- 38.04.02: Менеджмент
- 38.04.03: Управление персоналом
- 38.04.04: Государственное и муниципальное управление
- 38.04.05: Бизнес-информатика
- 38.04.08: Финансы и кредит
- 38.04.09: Государственный аудит
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Москва ИНФРА-М 2024 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ В.Г. ШЕРШНЕВ Рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки УГС 38.00.00 «Экономика и управление» (квалификация (степень) «бакалавр»)
УДК 512.64(075.8) ББК 22.143я73 Ш49 Шершнев В.Г. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии : учебное пособие / В.Г. Шершнев. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 168 с. – (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/2540. ISBN 978-5-16-005479-7 (print) ISBN 978-5-16-101126-3 (online) Данное пособие составлено на основе лекций, читаемых автором на экономических факультетах Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова. Содержит теоретический материал и задания для практических занятий в аудитории и для самостоятельного решения. Все задания снабжены ответами. Приводится решение характерных заданий. Данное учебное пособие содержит контрольные задания по основным разделам линейной алгебры и аналитической геометрии. Пособие предназначено для студентов экономических специальностей. УДК 512.64(075.8) ББК 22.143я73 Ш49 © Шершнев В.Г., 2013 ISBN 978-5-16-005479-7 (print) ISBN 978-5-16-101126-3 (online) Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М Подписано в печать 06.05.2016. Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. Печать цифровая. Усл. печ. л. 10,5. ПТ20. ТК 188550-558491-250712 ФЗ № 436-ФЗ Издание не подлежит маркировке в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11 Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29 E-mail: books@infra-m.ru http://www.infra-m.ru Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
1. N-мерные векторы и матрицы 1.1. N-мерные векторы и действия над ними Множество чисел u1, u2, ..., un, перенумерованное с помощью на туральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров, называется числовой последовательностью. N-мерным вектором называется последовательность n чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора. Вектор записывают в виде строки или столбца. Например: A = (a1, a2, ..., an), a a a an = ( , ,..., ), 1 2 A a a an = 1 2 ... . Обычно обозначают Q = (0, 0, ..., 0) — нулевой вектор, E1 = (1, 0, ..., 0), E2 = (0, 1, ..., 0), ..., En = (0, 0, ..., 1) — единичные векторы специального вида. Два вектора A = (a1, a2, ..., an) и B = (b1, b2, ..., bn) равны между собой, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие координаты равны, т.е. А = В ⇔ ai = bi, i = 1, 2, …, n. Линейные операции над векторами К линейным операциям относятся умножение вектора на число и сложение векторов. 1. Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число l; при этом все его координаты умножаются на это число, т.е. lA = = Al = (la1, la2, ..., lan). 2. Два вектора A = (a1, a2, ..., an) и B = (b1, b2, ..., bn) одинаковой размерности можно сложить; при этом их соответствующие координаты складываются, т.е. A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn). Свойства линейных операций: 1) А + В = В + А; 2) (А + В) + С = = А + (В + С); 3) l(А + В) = lА + lВ; 4) (l + m)А = lА + mА; 5) l(mА) = = (lm)А. Здесь А и В — векторы, l, m — числа. Пример 1.1. Решить уравнение 2Х - 3А + 2В = 0, где А = (2, 4, 6), В = (1, 2, 3).
Решение. X A B A B = − = − = − = − 1 2 3 2 3 2 3 2 2 4 6 1 2 3 3 6 9 1 2 ( ) 3 3 1 6 2 9 3 2 4 6 = − − − = . Ответ: X = (2, 4, 6). Векторы А и В называются коллинеарными (параллельными), если А = lВ, т.е. ai = lbi i = 1, 2, …, n. Здесь l — некоторое число. Если l > 0, то считают, что направления векторов совпадают; l < 0 — направления векторов противоположны. Данные равенства записывают в виде a b a b a b n n 1 1 2 2 = = ... = . скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов a a a an = ( , , ) 1 2 ..., и b b = (b1, b2, ..., bn) называется величина, вычисляемая по формуле a b a b a b a b n n ⋅ = + + + 1 1 2 2 ... , или a b a b i i i n ⋅ = =∑ 1 . Модулем (длиной) вектора называется величина, равная a a a = ⋅ или a ai i n = =∑ 2 1 . Вектор называется единичным, если a = 1. Единичный вектор обычно обозначают через e. Угол между векторами a = (a1, a2, ..., an) и b = (b1, b2, ..., bn) нахо дится по формуле cosϕ = ⋅ ⋅ a b a b или cos ... ... ... . ϕ = + + + + + + ⋅ + + + a b a b a b a a a b b b n n n n 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 Условие перпендикулярности векторов a и b имеет вид a b ⋅ = 0 или a1b1 + a2b2 + ... + anbn = 0. Свойства скалярного произведения: 1) a b b a ⋅ = ⋅ ; 2) ( ) a b c a c b c + ⋅ = ⋅ + ⋅ ; 3) λ λ λ ( a b) a b a b ⋅ = ⋅ = ⋅ .
Пример 1.2. Найти единичный вектор e, совпадающий по направлению с вектором a = (1, -2, 2). Решение. Так как векторы коллинеарные, то e a = λ , тогда e a = λ ⋅ и λ = = + − + = 1 1 1 2 2 1 3 2 2 2 a ( ) . Вектор e совпадает по направлению с век тором a, поэтому λ = + 1 3. Вектор e a = = − = − 1 3 1 3 1 2 2 1 3 2 3 2 3 ( , , ) , , . Ответ: e = − 1 3 2 3 2 3 , , . Пример 1.3. Найти вектор c x y z = ( , , ), перпендикулярный векторам a = = (1, 2, 3) и b = (2, 3, 4), если c = 6. Решение. Используем условия перпендикулярности векторов a c ⋅ = 0 и b c ⋅ = 0. Эти условия запишем в координатном виде и решим как сис тему уравнений относительно x, y, z: + + + = × − + + = × − − = = − = − − x y z x y z y z y z x y z 2 3 0 2 2 3 4 0 1 2 0 2 2 3 , ( ) ( ) , , = − − − = = − 2 2 3 2 ( ) ; ( , , ). z z z c z z z Учитывая, что c = 6, найдем z. z z z z z 2 2 2 2 2 6 6 + − + = = ⋅ ( ) . 6 6 1 1 ⋅ = ⇒ = = ± z z , z . c1 1 2 1 = ( , − , ), c2 1 2 1 = − − ( , , ). Ответ: c1 1 2 1 = ( , − , ); c2 1 2 1 = − − ( , , ). 1.2. матрицы и действия над ними Матрицей размерности m × n называется таблица чисел (эле ментов), содержащая m строк и n столбцов. Матрицу записывают следующим образом: A a a a a a a a a a n n m m mn = 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... или A = (aij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). В алгебраических выражениях часто используются специального вида матрицы, например: Q — нулевая; D — диагональная; E — единичная: Θ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... , D d d dn = 1 2 0 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... , E = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ... ... ... ... ... ... ... .
Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы местами, то получится матрица AT, которую называют транспонированной матрицей А. Записывают A a a a a a a a a a T m m n n mn = 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... или AT = (aji) ( j = 1, 2, ..., n; i = 1, 2, ..., m). Например, A = 1 2 3 4 , AT = 1 3 2 4 ; B = 1 4 2 5 3 6 , BT = 1 2 3 4 5 6 . Если число строк и столбцов матрицы совпадает и равно n, то матрица называется квадратной n-го порядка. Две матрицы А и В одинаковой размерности равны, если все со ответствующие элементы матриц равны, т.е. А = В ⇔ aij = bij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). Линейные операции над матрицами 1. Любую матрицу можно умножить на любое число; при этом все элементы матрицы умножаются на это число, т.е. lA = (laij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). 2. Две матрицы А и В одинаковой размерности можно сложить; при этом все соответствующие элементы матриц складываются, т.е. А + В = (aij + bij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). Свойства линейных операций: 1) А + В = В + А; 2) (А + В) + С = А + (В + С); 3) (А + В) ⋅ l = l(А + В) = lА + lВ; 4) (l + m)А = lА + mА; 5) l(mА) = (lm)А. Здесь А и В — матрицы, l, m — числа. Пример 1.4. Найти матрицу С = А + 2В, если A = 1 2 3 4 5 6 , B = = − 1 0 2 3 2 4 . Решение. С = А + 2В = 1 2 3 4 5 6 + 2 1 0 2 3 2 4 − = 1 2 3 4 5 6 + 2 0 4 6 4 8 − = = 1 2 2 0 3 4 4 6 5 4 6 8 + + + + − + = 3 2 7 10 1 14 .
Умножение матриц Две матрицы можно умножать, если число строк второй матрицы равно числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы. Элементы матрицы произведения С = АВ находятся по формуле c a b ij ik kj k l = =∑ 1 (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), где l — число строк второй и число столбцов первой матрицы. Элемент матрицы произведения cij, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен скалярному произведению i-й строки первой матрицы и j-го столбца второй матрицы. Говорят: матрицы умножаются строка на столбец. Свойства умножения матриц: 1) (АВ)С = А(ВС); 2) (А + В)С = АС + ВС; 3) А(В + С) = АВ + АС; 4) АЕ = ЕА = А; 5) (AB)T = BTAT. Пример 1.5. Найти a b c d α β γ δ . Решение. a b c d a b a b c d c d = + + + + α β γ δ α γ β δ α γ β δ . Пример 1.6. Найти 1 2 3 4 5 6 7 8 . Решение. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 5 2 7 1 6 2 8 3 5 4 7 3 6 4 8 19 = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = 22 43 50 . Пример 1.7. Найти 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 1 0 3 1 0 4 − . Решение. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 1 0 3 1 0 4 1 1 2 1 3 1 1 1 2 0 3 − = = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ 0 1 2 2 3 3 4 4 1 5 1 6 1 4 1 5 0 6 0 4 2 5 3 6 4 7 1 8 ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ( ) ( ) 1 9 1 7 1 8 0 9 0 7 2 8 3 9 4 + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ( )
= − − 6 1 4 15 4 1 24 7 2 . В общем случае при умножении матриц их нельзя переставлять. Например, A B ⋅ = = 1 2 3 4 1 1 1 0 3 1 7 3 ; B A ⋅ = = 1 1 1 0 1 2 3 4 4 6 1 2 . 1.3. Задания дЛя самостоятеЛьного решения Найти вектор D: 1.8. D = 3А + 2В - 3С, если А = (1, 3, 2, 1), В = (2, -3, 4, -5), С = (2, 2, 4, -2). 1.9. D = 2А - 3В + 2С, если А = (2, -1, 3, 4), В = (1, 0, -2, 1), С = (1, 3, 1, -2). Решить векторное уравнение (найти Х): 1.10. 3Х + 2А - 6В = Q, где А = (-3, 6, 0, 9), В = (1, -1, 2, 4). 1.11. 2А + 3В - 2Х = Q, где А = (1, 2, 0, 7), В = (6, -2, 4, -8). 1.12. 4А + 5Х - В = Q, где А = (4, 5, -7, 6), В = (1, -5, -3, 4). Найти значения x и y, при которых векторы A и B коллинеарны: 1.13. А = (2, x, 4), В = (4, 3, y). 1.14. А = (x, -3, y), В = (-3, 1, 9). 1.15. A = (3, х, 9), B = (4, 12, y). 1.16. A = (х, 2, 12), B = (6, 3, y). Найти скалярное произведение векторов: 1.17. a = (3, -2, 1, 4, 0), b = (2, 0, 3, 1, 4). 1.18. a = (5, 7, 3, 8), b = (2, -1, -3, 1). Найти угол между векторами a и b: 1.19. a = (1, -1, 2, -2) и b = (2, 1, 1, 2). 1.20. a = (3, -4, 12), b = (5, -12, 0). 1.21. a = (1, 1, 0), b = (0, 1, 1). 1.22. a = (1, -1, 0, 1, 1), b = (-1, -1, 1, 1, 0). При каком значении х векторы a и b взаимно перпендикулярны: 1.23. a = (3, -3, х), b = (х, 2, -1). 1.24. a = (5, х, -4), b = (6, 7, х). 1.25. Найти единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором a = (2, -1, 2). 1.26. Найти единичный вектор, противоположный по направлению с вектором a = (-3, 4, -12). Найти вектор c = (x, y, z), перпендикулярный векторам a и b: 1.27. a = (1, 3, 5), b = (2, 3, 2). 1.28. a = (-3, 4, -7), b = (2, -2, 5). 1.29. a = (2, 5, 7), b = (3, 8, 10), если c = 38. 1.30. a = (1, 2, 3), b = (2, 3, 4), если c = 6. 1.31. Найти матрицу С = 4А - 2В, если A = 2 3 3 4 , B = 4 5 2 9 . 1.32. Найти матрицу D = 3А + 2В - 5Е, если A = − − 3 4 4 5 , B = − 2 8 4 6 , E = 1 0 0 1 .
1.33. Найти матрицу D = 2А - 4В - 5С, если A = − 3 1 2 0 4 7 , B = − − 1 1 2 2 3 3 , C = − 2 1 1 1 2 3 . Найти произведение матриц: 1.34. 4 7 3 8 2 6 5 1 ⋅ . 1.35. − − ⋅ − − 2 3 3 4 1 2 5 6 . Найти: 1.36. A2 + 2A - 3E, где A = 1 2 2 3 , E = 1 0 0 1 . 1.37. A2 - B2 и (A - B) ⋅ (A + B), где A = 2 3 1 2 , B = − 1 0 2 1 . 1.38. (A + B)2, A2 + 2AB + B2, где A = − − 1 2 1 3 , B = 3 4 2 1 . 1.39. 1 2 2 3 4 − − . 1.40. 1 1 1 0 8 . 1.41. ( ) . 1 2 3 4 5 6 ⋅ 1.42. ( ) . 3 4 7 5 2 6 ⋅ 1.43. 4 5 6 1 2 3 ⋅ ( ). 1.44. 3 7 9 2 6 4 ⋅ ( ). 1.45. 1 2 3 4 5 6 10 40 20 50 30 60 ⋅ . 1.46. 3 4 6 2 5 7 1 2 2 3 3 4 ⋅ − − . 1.47. 3 1 5 4 2 6 2 1 3 4 5 1 ⋅ − − . 1.48. 4 5 3 7 2 6 3 5 7 2 3 4 − − ⋅ − − − . 1.49. 1 3 2 2 4 3 3 5 1 1 4 6 0 3 7 2 5 9 − − − ⋅ . 1.50. A2 - 5A + 2E, где A = 1 0 0 0 2 1 0 0 3 , E = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Найти произведение матриц: 1.51. 2 3 4 6 2 2 4 1 3 2 3 1 1 4 5 3 2 7 − − − ⋅ . 1.52. 3 1 1 5 2 4 2 6 3 7 8 9 2 4 5 15 10 20 ⋅ − − − .
1.53. 1 2 3 2 3 4 3 4 5 2 3 4 3 4 5 4 5 6 ⋅ − − − − − − . 1.54. 3 5 7 2 3 4 6 9 1 4 2 5 3 4 7 2 1 6 − − − ⋅ − − − . 1.55. 1 3 5 2 4 6 3 5 7 1 0 0 1 1 0 1 1 1 ⋅ . 1.56. 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 3 5 2 4 6 3 5 7 ⋅ . 1.57. 2 4 6 4 6 8 6 8 10 1 0 1 0 1 1 1 0 0 ⋅ . 1.58. 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋅ . 1.59. 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 2 0 3 0 4 0 0 ⋅ . 1.60. 0 0 2 0 3 0 4 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 ⋅ . 1.61. 3 2 4 1 4 3 5 6 1 2 2 3 − − ⋅ ⋅ − − . 1.62. 5 3 0 2 4 0 1 6 1 2 1 3 ⋅ ⋅ − − . 1.63. 1 4 3 2 2 2 3 0 3 2 3 2 1 2 0 2 4 1 4 2 6 3 2 5 5 1 3 − − − ⋅ − − ⋅ − . 1.64. 0 3 5 1 0 6 2 4 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ⋅ − − − ⋅ . 1.65. − − − − − − − − ⋅ 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 4 3 2 1 5 4 3 2 6 5 4 3 7 6 5 4 . 1.66. 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 4 ⋅ . 1.67. 1 3 5 7 3 5 7 9 5 7 9 11 7 9 11 13 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 ⋅ − − − − . 1.68. 1 3 0 0 3 2 4 0 0 4 3 5 0 0 5 4 0 0 3 1 0 4 2 3 5 3 4 0 4 5 0 0 ⋅ . 1.69. Отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое. Количество продукции yi i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта), находится по формуле y x a x i i ij j j n = − =∑ 1 ; i = 1, 2, …, n,