Основы линейной алгебры и аналитической геометрии

ОСНОВЫ 
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Москва
ИНФРА-М
2022

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

В.Г. ШЕРШНЕВ

Рекомендовано
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки УГС 38.00.00 «Экономика и управление»
(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я73
 
Ш49

Шершнев В.Г.
Основы линейной алгебры и аналитической геометрии : учебное 
пособие / В.Г. Шершнев. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 168 с. – 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI  10.12737/2540.

ISBN 978-5-16-005479-7 (print)
ISBN 978-5-16-101126-3 (online)
Данное пособие составлено на основе лекций, читаемых автором  
на экономических факультетах Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова. Содержит теоретический материал и задания для практических занятий в аудитории и для самостоятельного 
решения. Все задания снабжены ответами. Приводится решение характерных заданий. Данное учебное пособие содержит контрольные 
задания по основным разделам линейной алгебры и аналитической 
геометрии. 
Пособие предназначено для студентов экономических специальностей.

УДК 512.64(075.8) 
ББК 22.143я73

Ш49

© Шершнев В.Г., 2013
ISBN 978-5-16-005479-7 (print)
ISBN 978-5-16-101126-3 (online)

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

Подписано в печать 06.05.2016. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 10,5.
ПТ20.

ТК 188550-558491-250712

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

1. N-мерные векторы и матрицы

1.1. N-мерные векторы и действия над ними

Множество чисел u1, u2, ..., un, перенумерованное с помощью на
туральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров, 
называется числовой последовательностью.

N-мерным вектором называется последовательность n чисел. Эти 

числа называются координатами вектора. Число координат вектора 
n называется размерностью вектора. 

Вектор записывают в виде строки или столбца. Например:

A = (a1, a2, ..., an),  a
a a
an
= ( ,
,...,
),
1
2
  A

a
a

an

=

1

2
... .

Обычно обозначают Q = (0, 0, ..., 0) — нулевой вектор, E1 = (1, 

0, ..., 0), E2 = (0, 1, ..., 0), ..., En = (0, 0, ..., 1) — единичные векторы 
специального вида.

Два вектора A = (a1, a2, ..., an) и B = (b1, b2, ..., bn) равны между 

собой, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие координаты равны, т.е. А = В ⇔ ai = bi, i = 1, 2, …, n.

Линейные операции над векторами

К линейным операциям относятся умножение вектора на число 

и сложение векторов.

1. Любой n-мерный вектор А можно умножить на любое число l; 

при этом все его координаты умножаются на это число, т.е. lA =
= Al = (la1, la2, ..., lan).

2. Два вектора A = (a1, a2, ..., an) и B = (b1, b2, ..., bn) одинаковой 

размерности можно сложить; при этом их соответствующие координаты складываются, т.е. A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn).

Свойства линейных операций: 1) А + В = В + А; 2) (А + В) + С = 

= А + (В + С); 3) l(А + В) = lА + lВ; 4) (l + m)А = lА + mА; 5) l(mА) = 
= (lm)А.

Здесь А и В — векторы, l, m — числа.

Пример 1.1. Решить уравнение 

2Х - 3А + 2В = 0,

где А = (2, 4, 6), В = (1, 2, 3).

Решение. 

X
A
B
A
B
=
−
=
−
=

−

=

−
1
2 3
2
3
2

3
2

2
4
6

1
2
3

3
6
9

1
2
(
)

3

3
1

6
2

9
3

2
4
6

=

−
−

−

=

.

Ответ: X = (2, 4, 6).

Векторы А и В называются коллинеарными (параллельными), если 

А = lВ, т.е. ai = lbi i = 1, 2, …, n. Здесь l — некоторое число. Если l > 0, 
то считают, что направления векторов совпадают; l < 0 — направления векторов противоположны. Данные равенства записывают в 
виде

a
b

a
b

a
b

n

n

1

1

2

2

=
=
=
...
.

скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов a
a a
an
= ( ,
,
)
1
2 ...,
 и b
b
= (b1, 

b2, ..., bn) называется величина, вычисляемая по формуле

a b
a b
a b
a b
n n
⋅
=
+
+
+
1 1
2 2
...
,  или a b
a b
i i

i

n

⋅
=

=∑

1

.

Модулем (длиной) вектора называется величина, равная

a
a a
=
⋅
 или a
ai

i

n

=

=∑

2

1

.

Вектор называется единичным, если a = 1. Единичный вектор 

обычно обозначают через e.

Угол между векторами a = (a1, a2, ..., an) и b = (b1, b2, ..., bn) нахо
дится по формуле

cosϕ =
⋅
⋅

a b
a
b

 или cos
...

...
...

.
ϕ =
+
+
+

+
+
+
⋅
+
+
+

a b
a b
a b

a
a
a
b
b
b

n n

n
n

1 1
2 2

1
2

2
2
2

1
2

2
2
2

Условие перпендикулярности векторов a и b имеет вид

a b
⋅
= 0  или a1b1 + a2b2 + ... + anbn = 0.

Свойства скалярного произведения:

1) a b
b a
⋅
=
⋅ ; 2) (
)
a
b
c
a c
b c
+
⋅
=
⋅
+
⋅ ; 

3) λ
λ
λ
(
)
a b
a b
a
b
⋅
=
⋅
=
⋅
.

Пример 1.2. Найти единичный вектор e, совпадающий по направлению 

с вектором a = (1, -2, 2). 

Решение. Так как векторы коллинеарные, то e
a
= λ , тогда e
a
=
⋅
λ
 и 

λ =
=

+ −
+

=
1
1

1
2
2

1
3
2
2
2
a
(
)

. Вектор e совпадает по направлению с век
тором a, поэтому λ = + 1

3. Вектор e
a
=
=
−
=
−
1
3

1
3 1
2 2
1
3

2
3

2
3
( ,
, )
,
,
.

Ответ: e =
−
1
3

2
3

2
3
,
,
.

Пример 1.3. Найти вектор c
x y z
= ( , , ), перпендикулярный векторам a = 

= (1, 2, 3) и b = (2, 3, 4), если c =
6.

Решение. Используем условия перпендикулярности векторов a c
⋅
= 0 

и b c
⋅
= 0. Эти условия запишем в координатном виде и решим как сис
тему уравнений относительно x, y, z:

+
+
+
=
× −

+
+
=
×

−
−
=
= −
= −
−

x
y
z

x
y
z

y
z
y
z
x
y
z

2
3
0
2

2
3
4
0
1

2
0
2
2
3

,
(
)

( )

,
,
   
= −
−
−
=
=
−
2
2
3
2
(
)
;
( ,
, ).
z
z
z
c
z
z z

Учитывая, что c =
6, найдем z. z
z
z
z
z
2
2
2
2
2
6
6
+ −
+
=
=
⋅
(
)
.

6
6
1
1
⋅
=
⇒
=
= ±
z
z
z
,
. c1
1
2 1
=
−
( ,
, ), c2
1 2
1
= −
−
(
, ,
).

Ответ: c1
1
2 1
=
−
( ,
, ); c2
1 2
1
= −
−
(
, ,
).

1.2. матрицы и действия над ними

Матрицей размерности m × n называется таблица чисел (эле
ментов), содержащая m строк и n столбцов. 

Матрицу записывают следующим образом:

A

a
a
a

a
a
a

a
a
a

n

n

m
m
mn

=

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...

...
...
...
...

...

 или A = (aij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).

В алгебраических выражениях часто используются специального 

вида матрицы, например: Q — нулевая; D — диагональная; E — единичная:

Θ =

0
0
0

0
0
0

0
0
0

...
...

...
...
...
...

...

,  D

d

d

dn

=

1

2

0
0

0
0

0
0

...
...

...
...
...
...

...

,  E =

1
0
0

0
1
0

0
0
1

...
...

...
...
...
...

...

.

Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы 

местами, то получится матрица AT, которую называют транспонированной матрицей А. Записывают 

A

a
a
a

a
a
a

a
a
a

T

m

m

n
n
mn

=

11
21
1

12
22
2

1
2

...

...

...
...
...
...

...
 или AT = (aji) ( j = 1, 2, ..., n; i = 1, 2, ..., m).

Например, A = 1
2

3
4 , AT = 1
3

2
4 ; B =

1
4

2
5

3
6

, BT = 1
2
3

4
5
6 .

Если число строк и столбцов матрицы совпадает и равно n, то 

матрица называется квадратной n-го порядка.

Две матрицы А и В одинаковой размерности равны, если все со
ответствующие элементы матриц равны, т.е.

А = В ⇔ aij = bij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).

Линейные операции над матрицами

1. Любую матрицу можно умножить на любое число; при этом 

все элементы матрицы умножаются на это число, т.е.

lA = (laij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).
2. Две матрицы А и В одинаковой размерности можно сложить; 

при этом все соответствующие элементы матриц складываются, т.е.

А + В = (aij + bij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n).
Свойства линейных операций: 1) А + В = В + А; 
2) (А + В) + С = А + (В + С); 
3) (А + В) ⋅ l = l(А + В) = lА + lВ; 

4) (l + m)А = lА + mА; 
5) l(mА) = (lm)А.

Здесь А и В — матрицы, l, m — числа.

Пример 1.4. Найти матрицу С = А + 2В, если A = 1
2
3

4
5
6 , B = 

=
−

1
0
2

3
2
4 .

Решение. С = А + 2В = 1
2
3

4
5
6

+ 2 1
0
2

3
2
4
−

= 1
2
3

4
5
6

+ 2
0
4

6
4
8
−

= 

= 1
2
2
0
3
4

4
6
5
4
6
8

+
+
+

+
−
+

= 3
2
7

10
1
14

. 

Умножение матриц

Две матрицы можно умножать, если число строк второй матрицы 

равно числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой 
матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.

Элементы матрицы произведения С = АВ находятся по формуле

c
a b
ij
ik kj

k

l

=

=∑

1

 (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n),

где l — число строк второй и число столбцов первой матрицы.

Элемент матрицы произведения cij, стоящий в i-й строке и j-м 

столбце, равен скалярному произведению i-й строки первой матрицы и j-го столбца второй матрицы. Говорят: матрицы умножаются 
строка на столбец.

Свойства умножения матриц: 
1) (АВ)С = А(ВС); 
2) (А + В)С = АС + ВС; 

3) А(В + С) = АВ + АС; 
4) АЕ = ЕА = А; 
5) (AB)T = BTAT.

Пример 1.5. Найти a
b

c
d

α
β

γ
δ .

Решение. a
b

c
d

a
b
a
b

c
d
c
d

=
+
+

+
+

α
β

γ
δ

α
γ
β
δ

α
γ
β
δ .

Пример 1.6. Найти 1
2

3
4

5
6

7
8

.

Решение. 1
2

3
4

5
6

7
8

1 5
2 7
1 6
2 8

3 5
4 7
3 6
4 8

19
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅

⋅
+
⋅
⋅
+
⋅

=
22

43
50

.

Пример 1.7. Найти 

1
2
3

4
5
6

7
8
9

1
1
2

1
0
3

1
0
4

−

.

Решение. 

1
2
3

4
5
6

7
8
9

1
1
2

1
0
3

1
0
4

1 1
2 1
3 1
1 1
2 0
3

−

=

=

⋅ +
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
+
⋅ 0
1 2
2 3
3
4

4 1
5 1
6 1
4 1
5 0
6 0
4 2
5 3
6
4

7 1
8

⋅
+
⋅
+
⋅ −

⋅ +
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅ −

⋅ +
⋅

(
)

(
)

1
9 1
7 1
8 0
9 0
7 2
8 3
9
4
+
⋅
⋅ +
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅ −

=

(
)

=

−
−

6
1
4

15
4
1

24
7
2

.

В общем случае при умножении матриц их нельзя переставлять.

Например, A B
⋅
= = 1
2

3
4

1
1

1
0

3
1

7
3 ; B A
⋅
= = 1
1

1
0

1
2

3
4

4
6

1
2 .

1.3. Задания дЛя самостоятеЛьного решения

Найти вектор D:

1.8. D = 3А + 2В - 3С, если А = (1, 3, 2, 1), В = (2, -3, 4, -5), С = (2, 2, 4, -2). 
1.9. D = 2А - 3В + 2С, если А = (2, -1, 3, 4), В = (1, 0, -2, 1), С = (1, 3, 1, -2).

Решить векторное уравнение (найти Х):

1.10. 3Х + 2А - 6В = Q, где А = (-3, 6, 0, 9), В = (1, -1, 2, 4).
1.11. 2А + 3В - 2Х = Q, где А = (1, 2, 0, 7), В = (6, -2, 4, -8). 
1.12. 4А + 5Х - В = Q, где А = (4, 5, -7, 6), В = (1, -5, -3, 4).

Найти значения x и y, при которых векторы A и B коллинеарны:

1.13. А = (2, x, 4), В = (4, 3, y).   1.14. А = (x, -3, y), В = (-3, 1, 9).
1.15. A = (3, х, 9), B = (4, 12, y).   1.16. A = (х, 2, 12), B = (6, 3, y). 

Найти скалярное произведение векторов:

1.17. a = (3, -2, 1, 4, 0), b = (2, 0, 3, 1, 4).  1.18. a = (5, 7, 3, 8), b = (2, -1, -3, 1).

Найти угол между векторами a и b:

1.19. a = (1, -1, 2, -2) и b = (2, 1, 1, 2).   1.20. a = (3, -4, 12), b = (5, -12, 0). 
1.21. a = (1, 1, 0), b = (0, 1, 1).   1.22. a = (1, -1, 0, 1, 1), b = (-1, -1, 1, 1, 0).

При каком значении х векторы a и b взаимно перпендикулярны: 

1.23. a = (3, -3, х), b = (х, 2, -1).   1.24. a = (5, х, -4), b = (6, 7, х).
1.25. Найти единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором 
a = (2, -1, 2). 
1.26. Найти единичный вектор, противоположный по направлению с вектором a = (-3, 4, -12). 

Найти вектор c = (x, y, z), перпендикулярный векторам a и b: 

1.27. a = (1, 3, 5), b = (2, 3, 2).   1.28. a = (-3, 4, -7), b = (2, -2, 5).
1.29. a = (2, 5, 7), b = (3, 8, 10), если c =
38.

1.30. a = (1, 2, 3), b = (2, 3, 4), если c =
6.

1.31. Найти матрицу С = 4А - 2В, если A = 2
3

3
4 , B = 4
5

2
9 . 

1.32. Найти матрицу D = 3А + 2В - 5Е, если 

A =
−
−

3
4

4
5 ,  B =
−

2
8

4
6 ,  E = 1
0

0
1 .

1.33. Найти матрицу D = 2А - 4В - 5С, если 

A =

−
3
1

2
0

4
7

,  B =

−
−

1
1

2
2

3
3

,  C =
−

2
1

1
1

2
3

.

Найти произведение матриц: 

1.34. 
4
7

3
8

2
6

5
1

⋅ .   1.35. 
−
−

⋅ −

−

2
3

3
4

1
2

5
6 .  

Найти: 

1.36. A2 + 2A - 3E, где A = 1
2

2
3 , E = 1
0

0
1 .

1.37. A2 - B2 и (A - B) ⋅ (A + B), где A = 2
3

1
2 ,  B =
−

1
0

2
1 .

1.38. (A + B)2, A2 + 2AB + B2, где A =
−
−

1
2

1
3 ,  B = 3
4

2
1 .

1.39. 1
2

2
3

4
−
−

.  1.40. 1
1

1
0

8
.  1.41. (
)
.
1
2
3

4
5
6

⋅
 1.42. (
)
.
3
4
7

5
2
6

⋅
1.43. 

4
5
6

1
2
3

⋅ (
).   1.44. 

3
7
9

2
6
4

⋅ (
).  1.45. 1
2
3

4
5
6

10
40

20
50

30
60

⋅

.  

1.46. 3
4
6

2
5
7

1
2

2
3

3
4

⋅

−
−

.   1.47. 

3
1

5
4

2
6

2
1
3

4
5
1

⋅
−
−

.  

1.48. 

4
5

3
7

2
6

3
5
7

2
3
4
−
−

⋅ −
−
−

.   1.49. 

1
3
2

2
4
3

3
5
1

1
4
6

0
3
7

2
5
9

−
−
−

⋅

.  

1.50. A2 - 5A + 2E, где A =

1
0
0

0
2
1

0
0
3

,  E =

1
0
0

0
1
0

0
0
1

.

Найти произведение матриц: 

1.51. 

2
3
4

6
2
2

4
1
3

2
3
1

1
4
5

3
2
7

−
−
−

⋅

.    1.52. 

3
1
1

5
2
4

2
6
3

7
8
9

2
4
5

15
10
20

⋅

−
−
−

.  

1.53. 

1
2
3

2
3
4

3
4
5

2
3
4

3
4
5

4
5
6

⋅

−
−
−

−
−
−

.   1.54. 

3
5
7

2
3
4

6
9
1

4
2
5

3
4
7

2
1
6

−
−
−

⋅ −
−
−

. 

1.55. 

1
3
5

2
4
6

3
5
7

1
0
0

1
1
0

1
1
1

⋅

.  1.56. 

1
0
0

1
1
0

1
1
1

1
3
5

2
4
6

3
5
7

⋅

.

1.57. 

2
4
6

4
6
8

6
8
10

1
0
1

0
1
1

1
0
0

⋅

.    1.58. 

1
0
1

0
1
1

1
0
0

1
2
3

4
5
6

7
8
9

⋅

.

1.59. 

1
0
0

0
2
0

0
0
3

0
0
2

0
3
0

4
0
0

⋅

.   1.60. 

0
0
2

0
3
0

4
0
0

1
0
0

0
2
0

0
0
3

⋅

.

1.61. 
3
2

4
1

4
3

5
6

1
2

2
3

−
−

⋅ ⋅ −
−
.    1.62. 5
3

0
2

4
0

1
6

1
2

1
3

⋅ ⋅
−

−

.  

1.63. 

1
4
3

2
2
2

3
0
3

2
3
2

1
2
0

2
4
1

4
2
6

3
2
5

5
1
3

−
−
−

⋅

−

−

⋅
−

.

1.64. 

0
3
5

1
0
6

2
4
0

1
2
3

1
2
3

1
2
3

1
0
1

1
1
0

0
1
1

⋅

−

−

−

⋅

.

1.65. 

−
−

−
−

−
−

−
−

⋅

1
2
3
4

2
3
4
5

3
4
5
6

4
5
6
7

4
3
2
1

5
4
3
2

6
5
4
3

7
6
5
4
.    1.66. 

1
1
1
1

1
2
2
2

1
2
3
3

1
2
3
4

1
1
1
1

1
2
2
2

1
2
3
3

1
2
3
4

⋅

.

1.67. 

1
3
5
7

3
5
7
9

5
7
9
11

7
9
11 13

1
2
3
4

2
3
4
5

3
4
5
6

4
5
6
7

⋅

−
−
−
−

.  1.68. 

1
3
0
0

3
2
4
0

0
4
3
5

0
0
5
4

0
0
3
1

0
4
2
3

5
3
4
0

4
5
0
0

⋅

.  

1.69. Отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду 

продукции каждое. Количество продукции yi i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта), находится по формуле

y
x
a x
i
i
ij
j

j

n

=
−

=∑

1

; i = 1, 2, …, n,