Математика. Элементы высшей математики

В.В. БАРДУШКИН
А.А. ПРОКОФЬЕВ

УЧЕБНИК

В ДВУХ ТОМАХ

Том 1

Москва
КУРС

ИНФРА-М

МАТЕМАТИКА. 

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ 

МАТЕМАТИКИ

Рекомендовано в качестве учебника для студентов 

среднего профессионального образования, обучающихся 

по специальностям: 2.09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы», 

2.09.02.02 «Компьютерные сети», 2.09.02.03 «Программирование 

в компьютерных системах», 2.09.02.04 «Информационные системы 

(по отраслям)», 2.09.02.05 «Прикладная информатика (по отраслям)» 

СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

2024

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
 
Б24

Бардушкин В.В., Прокофьев А.А.
Математика. Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т. 1 / 

В.В. Бардушкин, А.А. Прокофьев. — Москва: КУРС: ИНФРА-М, 
2024. — 304 с. — (Среднее профессиональное образование).

ISBN 978-5-906923-43-1 (общ.) (КУРС)
ISBN 978-5-906923-05-9 (том 1) (КУРС)
ISBN 978-5-16-012856-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105427-7 (ИНФРА-М, online)
Первый том учебника в первую очередь адресован студентам коллед
жей, техникумов и других учебных заведений среднего профессионального образования. Однако учебник может быть полезен также учащимся 
старших классов общеобразовательных учреждений и студентам вузов. 
Большое внимание в книге уделено доступности и наглядности описания 
математических понятий и результатов, примерам и иллюстрациям, облегчающим усвоение материала.

Том содержит в основном материал по алгебре и геометрии, соответ
ствующий программе 10–11 классов общеобразовательных учреждений, 
а также некоторые разделы высшей математики: элементы теории множеств; комплексные числа; теория пределов; производная; неопределенный и определенный интегралы.

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

Р е ц е н з е н т ы:
М.И. Шабунин — д-р пед. наук, профессор кафедры высшей матема
тики МФТИ;

К.С. Ахвердиев — д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой высшей 

математики РГУПС

Б24

© Бардушкин В.В., 
Прокофьев А.А., 2017
© КУРС, 2017

ISBN 978-5-906923-43-1 (общ.) (КУРС)
ISBN 978-5-906923-05-9 (том 1) (КУРС)
ISBN 978-5-16-012856-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105427-7 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Оригинал-макет подготовлен в Издательстве «КУРС»

Подписано в печать 21.05.2018. Формат 60×90/16. Бумага офсетная. 

Гарнитура Newton. Печать цифровая. Усл. печ. л. 19.0.

ТК 640311-615108-100118

ООО Издательство «КУРС»

127273, Москва, ул. Олонецкая, д. 17А, офис 104. Тел.: (495) 203-57-83. 

E-mail: kursizdat@gmail.com.  http://www.kursizdat.ru

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29 

E-mail: books@infra-m.ru  http://www.infra-m.ru

Глава 1

Множества

1.1. Понятие множества

Множество —  одно из основных понятий в математике, которое 
не сводится к другим элементарным понятиям и не определяется. 
Представление о нем дает совокупность каких-либо отдельных объектов из окружающего нас мира. Например, мы можем говорить 
о множестве домов в городе, людей на предприятии, точек на плоскости. Множества могут состоять из объектов любой природы. Объекты, входящие в некоторое множество, называются его элементами. 
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются 
конечными. Множества, в которых присутствует бесконечное число 
элементов, называются бесконечными.
Для обозначения множеств обычно используются заглавные 
буквы латинского алфавита (A, B, X и т. д.), а для элементов множеств —  строчные буквы (a, b, x и т. д.). Принадлежность элемента x 
множеству X записывается x
∈ X
 и читается: «x принадлежит множеству X», или «x —  элемент множества X», или «x содержится во множестве X». Запись x
∉ X
 читается как «x не принадлежит множеству X» или «x не является элементом множества X».
Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент множества A принадлежит множеству B. В этом случае 
пишут A
⊆ B
. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству B (A
⊆ B
) и каждый элемент множества B принадлежит множеству A (B
⊆ A
), то такие множества называются равными (пишут 

A
= B
). Если A
⊆ B
 и A
≠ B
, то A называется собственным подмножеством множества B. При этом используется запись A
⊂ B
.
Множество может быть задано перечислением (списком) всех 
своих элементов. Так обычно делают в случае, когда количество элементов невелико. Например, множество из элементов a, b, c можно 
записать { ; ; }
a b c
 
 . Заметим, что для записи множеств используются 
фигурные скобки, поскольку порядок, в котором указываются их элементы, не важен. Более того, при записи множеств могут встречаться 
повторения одних и тех же элементов (что, конечно, нежелательно). 
Так, вместо множества { ; ; }
a b c
 
  можно было бы, например, написать

{ ; ; }
{ ; ;
}
{ ; ; }
{ ; ;
}
{ ; ; }
c a b
b c a
b a c
c b a
a c b
 
 
  
 
 
 
 
  
=
=
=
=
.

Если множество является бесконечным (или в конечном множестве очень много элементов), то используется форма записи с указанием свойства, которое выделяет его элементы из более широкого 
множества. Например, запись {
|
}
x
x
x
∈
<

2
2
0  задает множество чисел, состоящее из решений неравенства x
x
2
2
0
<
.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается ∅. Считается, что пустое множество является 
подмножеством любого множества. Любое множество (часто 
по умолчанию) всегда рассматривается как подмножество некоторого универсального (основного) множества W. Например, в геометрии 
на плоскости (планиметрии) все геометрические фигуры являются 
подмножествами универсального множества W —  всех точек этой 
плоскости.

1.2. Числовые множества

Множества, состоящие из чисел, называются числовыми. В курсе 
алгебры основной школы постоянно встречались некоторые числовые множества, за которыми закреплены стандартные обозначения. 
Напомним их: множество натуральных чисел  = { ; ; ;
1 2 3 4; ...}
 
 
 
 
; множество целых чисел  =
{...;
;
;
; ; ; ; ...}
2
1 0 1 2 3
 
  
 
 
; множество рацио
нальных чисел 


=
∈
∈




p
q
p
q
p
q
|
,
,
 
 
 — несократима  (напомним, 

что любое рациональное число p
q  можно представить в виде конечной 

или бесконечной периодической десятичной дроби); множество иррациональных чисел , к которому относятся все числа, которые представляются бесконечными, но непериодическими десятичными дробями (например, такие числа, как 3
1 7320508
= ,
..., p = 3 1415926
,
...); 
множество действительных (вещественных) чисел , состоящее 
из всех рациональных и иррациональных чисел. Для этих множеств 
справедливы следующие включения: 



⊂
⊂
⊂
,  ⊂ .
Напомним также, что действительные числа изображаются точками числовой (координатной) прямой, т. е. прямой, на которой заданы: 
1) направление, принимаемое за положительное; 
2) точка, принимаемая за начало отсчета; 
3) единица измерения (масштабный отрезок, длина которого 
принимается равной единице). 

Числовая прямая обычно изображается горизонтально, положительное направление указывается стрелкой, начало отсчета обозначается буквой O (рис. 1.1). Точка O разбивает числовую прямую 
на два луча, один из которых имеет положительное направление 
и называется положительным лучом, другой —  отрицательным.

Число, изображением которого на числовой прямой служит 
точка M, называется координатой точки M. Координата начальной 
точки O равна нулю. Координата xM произвольной точки M, лежащей на положительном луче, равна длине отрезка OM, т. е. x
M = OM
. 
Если же точка лежит на отрицательном луче, то ее координата равна 
длине отрезка OM, взятой со знаком «минус», т. е. x
M = -OM
. Отметим также, что числовая прямая имеет обозначение Ox.

1.3. операции над множествами

Над множествами можно совершать различные операции, которые удобно иллюстрировать с помощью так называемых диаграмм Эйлера (иногда их называют диаграммами Венна). Например, тот факт, что A
⊂ B
, проиллюстрирован диаграммой Эйлера 
на рис. 1.2.

Дадим определения основных операций над множествами и проиллюстрируем их диаграммами Эйлера.
Объединением A
∪ B
 множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B 
(рис. 1.3).
Пересечением A
∩ B
 множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A, и B (рис. 1.4).

O
1

M

xM
x

рис. 1.1

B
A

Ω

рис. 1.2

Разностью A
\ B
 множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B (рис. 1.5).

Симметрической разностью A
  B
D
 называется множество элементов, принадлежащих либо A, либо B, но не обоим вместе (рис. 1.6). 
Из определения видно, что A
B
A
B
B
A
  
D
=
∪
(
\
)
(
\
).

A
B

Ω

рис. 1.3

A
B

Ω

рис. 1.4

A
B

Ω

рис. 1.5

A
B

Ω

рис. 1.6

Дополнением A множества A называется множество элементов 
из W, которые не содержатся в A (рис. 1.7). Из определения видно, 
что A
= W \ A
.

Пример 1.1. Даны числовые множества A = { ; ; ;
; }
1 2 3 4 5
 
 
 
  
и B = { ;
; ; ;
2 4 6 8 10}
 
 
 
 
. Задайте списками следующие множества: A
∪ B
, 

A
∩ B
, A
\ B
, B
\ A
, A
  B
D
.
Решение. 

 
A
∪ B
= { ; ; ;
; ; ; ;
1 2 3 4 5 6 8 10}
 
 
 
 
 
 
 
, A
∩ B
= { ;
2 4 }
,

 A
\ B
{ ; ; }
= 1 3 5
 
 
, B
\ A
{ ; ;
= 6 8 10}
 
 
, A
  B
 
 
 
 
 
D
= { ; ; ; ; ;
}
1 3 5 6 8 10 . 

Пример 1.2. Даны числовые множества A
x
x
=
∈
<
≤
{
|
}

7
1  
и B
x
x
=
∈
- ≤
≤
{
|
}

3
4 . Найдите следующие множества: A
∪ B
, 

A
∩ B
, A
\ B
, B
\ A
, A
  B
D
, A, B.
Решение. 

 
A
B
x
x
∪
=
∈
<
≤
{
|
}

7
4 , A
B
x
x
∩
=
∈
- ≤
≤
{
|
}

3
1 , 

 
A
B
x
x
\
{
|
}
=
∈
<
< 
7
3 , B
A
x
x
\
{
|
}
=
∈
<
≤
 1
4 ; 

 
A
B
x
x
  
 
D
=
∈
∈ ∪
{
|
(
;
)
( ;
]}

7
3
1 4 ,

 
A
x
x
=
∈
∈ -∞ ∪
+∞
{
|
(
;
]
( ;
)}

7
1
, 

 
B
x
x
=
∈
∈ -∞ ∪
+∞
{
|
(
;
)
( ;
)}

3
4
. 

Перечислим без доказательства некоторые важные свойства операций над множествами.
1. Коммутативность: A
B
B
A
∪
=
∪
, A
B
B
A
∩
=
∩
.
2. Ассоциативность: 
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
∪
∪
=
∪
∪
, 

 
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
∩
∩
=
∩
∩
.
3. Дистрибутивность: (
)
(
)
(
)
A
B
C
A
C
B
C
∪
∩
=
∩
∪
∩
, 

 
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
C
B
C
∩
∪
=
∪
∩
∪
.
4. Идемпотентность: 
A
A
A
∪
=
, A
A
A
∩
=
.
5. Законы де Моргана: 
A
B
A
B
∪
=
∩
, A
B
A
B
∩
=
∪
.

A

Ω

рис. 1.7

Отметим, что все перечисленные выше равенства можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера.

1.4. Модуль действительного числа

Понятие модуля числа широко используется в математике, физике, экономике и других науках. В данной главе это понятие будет 
рассмотрено только для действительных чисел.
Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа a называется неотрицательное действительное число, обозначаемое знаком a , удовлетворяющее условиям

 
a
a
a
a
a
=
≥
<
{
,
,
,
.
если 
если 

0
0

Например, если a = 7, то по определению модуля положительного 
числа a
= a
, а значит, a = 7. Если же a = -7, то по определению модуля отрицательного числа a
a
= - , а значит, a = - (
)
7 , т. е. a = 7. 
Отметим также, что по определению 0
= 0
.
Геометрически абсолютная величина действительного числа a 
выражает длину отрезка на координатной прямой от начала координат до точки, изображающей число a. Кроме того, абсолютная величина разности a
- b
 двух действительных чисел a и b равна расстоянию между точками числовой прямой, изображающими данные 
числа.
Перечислим основные свойства модуля действительного числа.
1. a =
a ; 
2. a
b
b
a
=
; 
3. ab
a
b
=
⋅
;

4. a
b
a
= b
, где b ≠ 0; 

5. a
a
a
2
2
2
=
=
;

6. 
a
2 = a
; 
7. a
b
a
b
+
≤
+
; 
8. a
b
a
b
≥
.

1.5. алгебраические уравнения,  
неравенства и системы с модулем

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых 
встречается понятие модуля числа. В этой главе будут рассмотрены 

основные методы решения уравнений, неравенств и систем, содержащих знак модуля. При этом будут разобраны примеры решения 
только некоторых видов алгебраических уравнений, неравенств 
и систем, несмотря на общность рассматриваемых подходов применительно ко всем типам указанных задач. В процессе решения примеров нами будут использоваться равносильные переходы к системам и совокупностям уравнений и/или неравенств. Поэтому необходимо более подробно остановиться на разъяснении этих понятий.
Начнем с рассмотрения понятия «система» (уравнений и/или неравенств). Для ее обозначения используется фигурная скобка, внутри 
которой находятся образующие указанную систему уравнения и/или 
неравенства. Рассмотрим в качестве примера систему из двух неравенств, задающих числовые множества A
x
x
=
∈
≤
{
|
}

4  
и B
x
x
=
∈
>
{
|
}

1 :

 
x
x

≤
>
{
4
1

,
.

Под решением системы понимается множество, являющееся пересечением множеств, ее образующих. Так, решением рассмотренной 
выше системы является числовой промежуток (1; 4] —  результат пересечения множеств A и B.
Рассмотрим теперь понятие «совокупность» (уравнений и/или 
неравенств). Для ее обозначения используется прямоугольная 
скобка, внутри которой находятся образующие указанную совокупность уравнения и/или неравенства. Рассмотрим в качестве примера 
совокупность из двух неравенств, задающих числовые множества 
C
x
x
=
∈
<
≤
{
|
}
 1
6  и D
x
x
=
∈
<
{
|
}

2 :

 
1
6

2

<
≤

<



x

x

,

.

Под решением совокупности понимается множество, являющееся 
объединением множеств, ее образующих. Так, решением рассмотренной выше совокупности является числовой промежуток (
;
]
-∞  6  —  результат объединения множеств C и D.
Основным подходом при решении задач, содержащих модуль, 
является избавление от знака абсолютной величины, используя 
определение модуля действительного числа.

Пример 1.3. Решите уравнение 2
3
3
2
x
x
=
- .
Решение. Возможны два случая раскрытия модуля (исходя 
из знака подмодульного выражения). Затем надо объединить множе

ства решений уравнения, соответствующие обоим случаям. Процедуру решения данного уравнения удобно оформлять следующим 
образом:

 
2
3
3
2
x
x
=
-  ⇔ 

2
3
0

2
3
3
2

2
3
0
3
2
3
2

x
x
x

x

x
x

≥

=
{

<
=
{










,
;

,

;

 ⇔ 

x
x
x
x

≥
= {

<
=
{










1 5

1

1 5
1

, ,
;
, ,
;

 ⇔ x = 1.

Ответ: 1. 

Пример 1.4. Решите систему уравнений 3
3
2
1

x
y
y
x

=
= 
,
.

Решение. Возможны два случая раскрытия модуля (исходя 
из знака подмодульного выражения). Затем надо объединить множества решений системы уравнений, соответствующие обоим случаям. 
Процедуру решения данной системы удобно оформлять следующим 
образом:

 
3
3
2
1

x
y
y
x

=
= 
,
; ⇔ 

y
x
y
y
x
y
x
y
y
x

≥
=

= 




<
+
=

= 
















0
3
3
2
1

0

3
3
2
1

,

,

;

,
,

;

 ⇔ 

y
x
y
y
x
y

≥
=
=





<
=
=

















0
2
3
0
0 8
0 6

,
,
;
,
, ,
, ;

 ⇔ x

y

=
=
{
2
3
,
.

Ответ: (2; 3). 

Пример 1.5. Решите неравенство 
4
1
2
1
x
x
+
≥
.

Решение. Решим данное неравенство так называемым методом 
промежутков, широко применяемым при решении задач с модулем.
Опишем вначале общую идею этого метода.
Для его применения надо прежде всего найти значения переменной x, при которых обращаются в нуль каждое из подмодульных выражений, встречающихся в условии задания. Затем найденные значения x изобразить точками на числовой прямой. Эти точки «разобьют» ось Ox на промежутки. На каждом из полученных промежутков 
подмодульные выражения будут принимать значения определенного 
знака, а значит, для исходных уравнений и/или неравенств будут рассмотрены все возможные случаи раскрытия содержащихся в них 
модулей. В заключение надо объединить множества решений, соответствующие всем этим случаям.