Математика. Элементы высшей математики

В.В. БАРДУШКИН
А.А. ПРОКОФЬЕВ

Москва
КУРС

ИНФРА-М

2022

Рекомендовано в качестве учебника для студентов 

среднего профессионального образования, обучающихся 

по специальностям: 2.09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы», 

2.09.02.02 «Компьютерные сети», 2.09.02.03 «Программирование 

в компьютерных системах», 2.09.02.04 «Информационные системы 

(по отраслям)», 2.09.02.05 «Прикладная информатика (по отраслям)»

СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УЧЕБНИК

В ДВУХ ТОМАХ

Том 2

МАТЕМАТИКА. 

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ 

МАТЕМАТИКИ

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
 
Б24

Бардушкин В.В., Прокофьев А.А.
Математика. Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т. 2 / 

В.В. Бардушкин, А.А. Прокофьев. — Москва: КУРС: ИНФРА-М, 
2022. — 368 с. — (Среднее профессиональное образование).

ISBN 978-5-906923-43-1 (Общ.) (КУРС)
ISBN 978-5-906923-34-9 (том 2) (КУРС)
ISBN 978-5-16-012832-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104732-3 (ИНФРА-М, online)
Второй том учебника в первую очередь адресован студентам колледжей, 

техникумов и других учебных заведений среднего профессионального 
образования. Однако учебник может быть полезен также студентам высших учебных заведений. Большое внимание в книге уделено доступности 
и наглядности описания математических понятий и результатов, примерам 
и иллюстрациям, облегчающим усвоение материала.

В томе представлены следующие разделы математики: дифференциаль
ные уравнения; ряды; линейная алгебра; аналитическая геометрия; функции многих переменных; численные методы; теория вероятностей и математическая статистика; дискретная математика.

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

Р е ц е н з е н т ы:
М.И. Шабунин — д-р пед. наук, профессор кафедры высшей матема
тики МФТИ;

К.С. Ахвердиев — д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой высшей 

математики РГУПС

Б24

© Бардушкин В.В., 
Прокофьев А.А., 2017
© КУРС, 2017

ISBN 978-5-906923-43-1 (Общ.) (КУРС)
ISBN 978-5-906923-34-9 (том 1) (КУРС)
ISBN 978-5-16-012832-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104732-3 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Глава 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.1. Определение дифференциального уравнения  
первого порядка

При решении многих задач физики, химии, экономики и других 
областей знания возникают ситуации, связанные с нахождением неизвестных функций, описывающих рассматриваемые явления или 
процессы. При этом известными бывают лишь соотношения, связывающие между собой эти функции, их производные (или дифференциалы) различных порядков и независимые переменные. Подобные 
соотношения называются дифференциальными уравнениями.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок его 
старшей производной (или дифференциала).
Решением дифференциального уравнения называется такая 
функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Если переменная, от которой в уравнении зависят искомая неизвестная функция и ее производные, единственная, то такое дифференциальное уравнение называют обыкновенным.
Рассмотрим вначале случай, когда обыкновенное дифференциальное уравнение имеет первый порядок. Начнем с определений.
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

 
F x y y
( , ,
)
 
 ′ = 0. 
(1.1)

Как правило, уравнение (1.1) стараются представить в форме, разрешенной относительно производной:

 
′ =
y
f x y
( , )
 
, 
(1.2)

или в форме, содержащей дифференциалы:

 
M x y dx
N x y dy
( , )
( , )
 
 
+
= 0. 
(1.3)

В качестве примеров обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, представленных в формах (1.1)–(1.3), можно 
привести следующие:

(
)
sin
′
+
=
y
y
x
2
0; ′ =
−
y
y e
x
x
3
; (
)
2
3
0
y
x dx
xydy
−
+
=
.

Замечание. Учитывая, что ′ =
y
dy
dx, всегда можно от записи 

в форме (1.2) перейти к (1.3) и наоборот.
При решении дифференциального уравнения первого порядка 
необходимо выполнять процедуру интегрирования. Как известно, 
неопределенный интеграл —  это множество всех первообразных данной функции, которые отличаются друг от друга на константу. Поэтому общее решение дифференциального уравнения первого порядка 
представляет собой функцию от переменной x и одной произвольной 
постоянной C.
Замечание. Поскольку при получении общего решения обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка процедуру интегрирования нужно выполнять n раз, то общее решение представляет собой функцию от переменной x и n произвольных постоянных 
C1, C2, …, Cn.
Обычно общее решение дифференциального уравнения первого 
порядка стремятся представить в виде

 
y
x C
= ϕ( ,
)
 
, 
(1.4)

однако это оказывается возможным не всегда. Часто его удается получить только в виде неявной функции

 
Φ( , ,
)
x y C
 
 
= 0. 
(1.5)

Общее решение, представленное в виде (1.5), называют также общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.
Зафиксировав в (1.4), (1.5) какое-либо одно из допустимых значений параметра C (например, положив С
С
=
0), получается частное 
решение дифференциального уравнения первого порядка, записываемое в виде y
x C
= ϕ( ,
)
 
0  или Φ( , ,
)
x y C
 
 
0
0
=
. При этом решение 
в виде Φ( , ,
)
x y C
 
 
0
0
=
 называют интегралом (частным интегралом) 
дифференциального уравнения первого порядка.
На координатной плоскости уравнение y
x C
= ϕ( ,
)
 
0  (или 

Φ( , ,
)
x y C
 
 
0
0
=
) определяет некоторую кривую, которая называется 
интегральной кривой дифференциального уравнения.
Поэтому часто решения дифференциальных уравнений называют 
интегральными кривыми.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка 
в форме (1.2). Задачей Коши называется задача нахождения частного 
решения y
x C
= ϕ( ,
)
 
0  уравнения ′ =
y
f x y
( , )
 
, удовлетворяющего начальному условию y x
y
(
)
0
0
=
 (где y x
x
C
(
)
(
,
)
0
0
0
= ϕ
 
).

1.2. Различные типы дифференциальных  
уравнений первого порядка и методы их решения

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно представляется 
в виде

 
dy
dx
f x g y
=
( ) ( ) 
(1.6′)

или в виде

 
M x N y dx
P x Q y dy
( )
( )
( ) ( )
+
= 0. 
(1.6″)

Пример 1.1. Решите уравнение ′ =
y
xy2.
Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, для 

разделения которых необходимо в dy
dx
xy
=
2 выполнить деление на y2. 

Это может привести к потере решения. Подстановкой y = 0 в исходное уравнение убеждаемся в том, что y = 0 — решение.
Пусть теперь y ≠ 0. Тогда разделяем переменные:

 
dy
y

xdx
2 =
.

Интегрируем:

 
dy
y
xdx
2
∫
∫
=
.

Получаем

 
−
=
+
⇔
+
+
=
1
2
2
1
0

2
2

y
x
C
x
y
C
.

Таким образом, решениями уравнения являются:

 
x
y
C

2

2
1
0
+
+
=
; y = 0. Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно представляется в виде

′ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y
f
y
x  
(1.7′)

или в виде

 
M x y dx
N x y dy
( , )
( , )
 
 
+
= 0, 
(1.7″)

где M x y
( , )
 
 и N x y
( , )
 
 —  однородные функции одного порядка, т. е. существует такое натуральное число k, что M tx ty
t M x y
k
( ,
)
( , )
 
 
=
, 

N tx ty
t N x y
k
( ,
)
( , )
 
 
=
, где t ≠ 0.
Чтобы решить однородное уравнение, нужно сделать замену 

y
xu
=
, где u —  функция, зависящая от x, т. е. u
u x
=
( ).

Пример 1.2. Решите уравнение (
)
x
y dx
xdy
+
−
= 0.
Решение. Это однородное уравнение, представленное в виде 

M x y dx
N x y dy
( , )
( , )
 
 
+
= 0, где M x y
x
y
( , )
 
=
+
, N x y
x
( , )
 
= −  —  однородные функции первого порядка, так как

 
M tx ty
tx
ty
t x
y
tM x y
( ,
)
(
)
( , )
 
 
=
+
=
+
=
,
 
N tx ty
tx
t
x
tN x y
( ,
)
( )
(
)
( , )
 
 
= −
=
−
=
.

Сделаем замену y
xu
=
, тогда dy
udx
xdu
=
+
. Отсюда, подставив 
в исходное уравнение, получим

 
(
)
x
xu dx
xudx
x du
x du
xdx
+
−
−
=
⇔
=
2
2
0
.

Для разделения переменных необходимо выполнить деление 
обеих частей уравнения x du
xdx
2
=
 на x2. Это может привести к потере решения. Подстановкой x = 0 в исходное уравнение убеждаемся 
в том, что x = 0 — решение.
Пусть теперь x ≠ 0. Тогда разделяем переменные:

 
du
dx
x
=
.

Интегрируем:

 
du
dx
x
∫
∫
=
.

Получаем
 
u
x
C
=
+
ln
.

Откуда, возвращаясь к функции y:

 
y
x
x
Cx
=
+
ln
.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются:

 
y
x
x
Cx
=
+
ln
; x = 0. 7

Дифференциальные уравнения вида

 
′ =
+
+
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
y
f
a x
b y
c
a x
b y
c

1
1
1

2
2
2

 
(1.8)

в случае a
a
b
b

2

1

2

1
≠
 приводятся к однородным с помощью замены пере
менных:
 
x
u
m
=
+
; y
v
n
=
+ ,

где m и n находятся из системы уравнений

 
a m
b n
c
a m
b n
c
1
1
1

2
2
2
0
0
+
+
=
+
+
=
⎧⎨⎩
,
.

Если в уравнении (1.8) a
a
b
b

2

1

2

1
=
= λ, а значит, a x
b y
2
2
+
=

=
+
λ(
)
a x
b y
1
1
, то оно примет вид

 
′ =
+
+
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⇔
′ =
+
y
f
a x
b y
c
a x
b y
c
y
a x
b y
1
1
1

1
1
2
1
1
λ
ϕ
(
)
(
).

Подстановкой u x
a x
b y
( ) =
+
1
1  это уравнение преобразуется 
к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 1.3. Решите уравнение ′ =
−
+
+
y
x
y
x
y
2.

Решение. Уравнение имеет вид dy
dx
f
a x
b y
c
a x
b y
c
=
+
+
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
1
1

2
2
2

, a
a
b
b

2

1

2

1
≠
, 

а значит, сводится к однородному. Для этого надо вначале решить 
систему

 
m
n
m
n
m
n
−
+
=
+
=
{
⇔
= −
=
{
2
0
0
1
1
,
;
,
.  

Следовательно, замена переменных выглядит следующим образом:
 
x
u
=
− 1; y
v
=
+ 1.

Учитывая, что dx
du
=
, dy
dv
=
, после замены переменных исходное уравнение примет вид

 
dv
du
u
v
u
v
=
−
+
.

Это уравнение является однородным. Сделаем в нем замену 

v
u p
=
⋅
, где p —  функция, зависящая от u, т. е. p
p u
=
( ). Тогда 

dv
pdu
udp
=
+
 и уравнение dv
du
u
v
u
v
=
−
+
 примет вид

 
pdu
udp
du
u
up
u
up
+
=
−
+
.

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися 
переменными. Решив его (проделайте выкладки самостоятельно!), 
окончательно получим ответ:

 
(
)
(
)(
)
(
)
y
x
y
x
C
−
+
+
−
−
+
=
1
2
1
1
1
2
2
. Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит y и ′y  только в первой степени, т. е. имеет вид
 
′ +
=
y
a x y
b x
( )
( ). 
(1.9)

При b x
( ) = 0 уравнение (1.9) принимает вид

 
′ +
=
y
a x y
( )
0

и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными.
Решение линейного неоднородного уравнения (1.9) можно осуществить одним из следующих методов.
1. Метод вариации постоянной. В этом методе вначале надо найти 
общее решение линейного однородного уравнения ′ +
=
y
a x y
( )
0. 
Затем общее решение линейного неоднородного уравнения (1.9) 
ищется в виде, аналогичном полученному в ответе для уравнения 

′ +
=
y
a x y
( )
0. При этом произвольная постоянная C в общем решении ′ +
=
y
a x y
( )
0 заменяется на неизвестную функцию C x
( ) (это 
и есть вариация постоянной C). Далее подстановкой в линейное неоднородное уравнение (1.9) находится неизвестная функция C x
( ).

Пример 1.4. Решите уравнение xy
y
x
′ −
=
2
2
4 и найдите его 
частное решение, удовлетворяющее начальному условию y( )1
1
=  
(т. е. решите задачу Коши).
Решение. Данное уравнение является линейным. Решим его методом вариации постоянной.
Вначале получим общее решение линейного однородного уравнения xy
y
′ −
=
2
0. Для этого выполним формальные преобразования:

x dy
dx
y
= 2 ; dy
y
dx
x
= 2
; dy
y
dx
x
∫
∫
= 2
; ln
ln
y
x
C
=
+
2
1.

Положим C
C
1
2
= ln
, где C2
0
>
, тогда

 
ln
ln
ln
y
x
C
=
+
2
2, ln
ln(
)
y
C x
=
2
2 , y
C x
=
2

2.

Раскрывая y , получим

 
y
Cx
=
2,

где C ≠ 0, C
C
=
2 при y > 0, C
C
= −
2 при y < 0.
Заметим, что в результате выполненных формальных преобразований в уравнении xy
y
′ −
=
2
0 было потеряно решение y = 0. Однако 
его можно учесть при записи решения в форме y
Cx
=
2, если разрешить, чтобы постоянная C могла принимать значение, равное нулю.
Итак, общее решение линейного однородного уравнения 

xy
y
′ −
=
2
0 имеет следующий вид:

 
y
Cx
=
2, C ∈ .

Согласно методу вариации постоянной будем искать общее решение исходного неоднородного линейного уравнения xy
y
x
′ −
=
2
2
4 
в виде

 
y
C x x
=
( )
2.

Для нахождения неизвестной функции C x
( ) подставим y
C x x
=
( )
2 
в исходное уравнение. Получим

 
x C x x
xC x
C x x
x
C x x
x
(
( )
( ))
( )
( )
′
+
−
=
⇔
′
=
2
2
4
3
4
2
2
2
2
.

Тогда C x
x
C
( ) =
+
2
.
Таким образом, общее решение исходного линейного неоднородного уравнения

 
y
x
Cx
=
+
4
2.

Для решения поставленной задачи Коши в y
x
Cx
=
+
4
2 положим 

x = 1, y = 1, получим

 
1
1
1
4
2
=
+
⋅
C
.

Отсюда C = 0, а значит, частное решение имеет вид y
x
=
4. 2. Метод подстановки. В этом методе надо положить 

y x
u x v x
( )
( ) ( )
=
. Тогда уравнение (1.9) приводится к виду

v du
dx
a x u
u dv
dx
b x
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
( )
( )
0. 
(1.10)

Функция u x
( ) выбирается так, чтобы первая скобка в левой части 
(1.10) обратилась в нуль. Для этого интегрируется уравнение с разделяющимися переменными

 
du
dx
a x u
+
=
( )
0

и выбирается какое-либо его ненулевое частное решение u
u x
=
1( ).
Затем подставляем функцию u x
1( ) вместо u в (1.10) и получаем 
уравнение с разделяющимися переменными относительно функции 
v x
( ):

 
u x dv
dx
b x
1
0
( )
( )
−
=
.

Находим общее решение этого уравнения v
v x C
= ( ,
)
 
. Перемножая найденные функции u x
1( ) и v x C
( ,
)
 
, получаем общее решение 
уравнения (1.9):
 
y
u x v x C
=
1( ) ( ,
)
 
.

Пример 1.5. Решите методом подстановки уравнение примера 1.4.
Решение. Положим y
uv
=
. Тогда исходное уравнение приводится 
к виду

 
v x du
dx
u
xu dv
dx
x
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
2
2
0
4
. 
(1.11)

Найдем функцию u x
1( ), решая уравнение

 
x du
dx
u
−
=
2
0

и выбирая из его общего решения u
Cx
=
2 одно ненулевое частное 
решение, например u x
x
1
2
( ) =
. Подставляя u x
1( ) в (1.11), получим

 
x dv
dx
x
3
4
2
0
−
=
,

общее решение которого имеет вид

 
v x C
x
C
( ,
)
 
=
+
2
.

Таким образом, перемножая u x
1( ) и v x C
( ,
)
 
, получаем общее решение исходного линейного неоднородного уравнения y
x
Cx
=
+
4
2. 11

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение 
первого порядка вида

 
′ +
=
y
a x y
b x ym
( )
( )
, 
(1.12)

где m ≠ 0, m ≠ 1 (при m = 0 уравнение (1.12) является линейным, 
а при m = 1 —  уравнением с разделяющимися переменными).
Уравнение Бернулли (так же как и линейное) можно решать с помощью подстановки y
uv
=
.

Пример 1.6. Решите уравнение ′ =
+
y
y
x
x
y

3

.

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Полагая y
uv
=
, приведем уравнение к виду

 
v du
dx
u
x
u dv
dx
x
uv
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =

3
0. 
(1.13)

Из общего решения u
Cx
=
 уравнения

 
du
dx
u
x
−
= 0

выбираем одно ненулевое частное решение, например u
x
1 =
.
Подставляя u
x
1 =
 в уравнение (1.13), получаем новое уравнение

 
x dv
dx
x
xv
−
=

3
0.

Его общий интеграл v
x
C
2
2
=
+
, откуда

 
v
x
C
= ±
+
2
.

Таким образом, перемножая u x
1( ) и v x C
( ,
)
 
, получаем общее решение исходного уравнения Бернулли

 
y
x
x
C
= ±
+
2
. 1.3. Дифференциальные уравнения  
высших порядков

В данном пункте ограничимся рассмотрением только одного важного типа дифференциальных уравнений высших порядков. Это так 

называемые линейные уравнения (однородные и неоднородные) 
с постоянными коэффициентами.
Линейным однородным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами называется уравнение

 
y
a y
a
y
a y
n
n
n
n
( )
(
)
...
+
+
+
′ +
=
−
−
1
1
1
0, 
(1.14)

где ai (i
n
= 1 2
, , ...,
 
 
 ) —  действительные числа. Для решения уравнения (1.14) нужно вначале записать характеристическое уравнение

 
λ
λ
λ
n
n
n
n
a
a
a
+
+
+
+
=
−
−
1
1
1
0
...
 
(1.15)

и найти все его корни λ1, λ2, …, λn. Заметим, что среди корней характеристического уравнения могут быть не только действительные, 
но и комплексно сопряженные корни; кроме того, среди них могут 
быть повторяющиеся (кратные) корни.
Общее решение уравнения (1.14) есть сумма, состоящая из слагаемых вида:

 
C e
j
x
j
λ

для каждого простого (однократного) действительного корня λ j характеристического уравнения (1.15);

 
(
...
)
C
C x
C x
C x
e
k
k
x
j
1
2
3
2
1
+
+
+
+
−
λ

для каждого действительного корня λ j кратности k характеристического уравнения (1.15);

 
(
cos
sin
)
C
x
C
x e
j
j
x
j
1
2
β
β
α
+

для каждой пары комплексно сопряженных корней α
β
j
ji
±
 характеристического уравнения (1.15), если эти корни простые;

 
(
( )cos
( )sin
)
P
x
x
Q
x
x e
k
j
k
j
x
j
−
−
+
1
1
β
β
α

для каждой пары комплексно сопряженных корней α
β
j
ji
±
 характеристического уравнения (1.15), имеющих кратность k, где P
x
k−1( ) 
и Q
x
k−1( ) —  многочлены степени k − 1.

Пример 1.7. Решите уравнение: 
а) 
′′ −
′ −
=
y
y
y
4
5
0; 
б) 
′′ +
′ +
=
y
y
y
8
16
0; 
в) 
′′ −
′ +
=
y
y
y
6
13
0; 
г) 
′′ +
=
y
y
9
0; 
д) y
y
y
y
V
IV
−
−
′ +
=
2
16
32
0.