Математика. Элементы высшей математики

В.В. БАРДУШКИН
А.А. ПРОКОФЬЕВ

Москва
КУРС 
ИНФРА-М 
2020

Рекомендовано в качестве учебника для студентов  
среднего профессионального образования, обучающихся  
по специальностям: 2.09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы»,  
2.09.02.02 «Компьютерные сети», 2.09.02.03 «Программирование  
в компьютерных системах», 2.09.02.04 «Информационные системы  
(по отраслям)», 2.09.02.05 «Прикладная информатика (по отраслям)»

СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УЧЕБНИК

В ДВУХ ТОМАХ

Том 2

МАТЕМАТИКА. 
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ 
МАТЕМАТИКИ

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

ISBN 978-5-906923-43-1 (Общ.) (КУРС)
ISBN 978-5-906923-34-9 (том 2) (КУРС)
ISBN 978-5-16-012832-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104732-3 (ИНФРА-М, online)
Второй том учебника в первую очередь адресован студентам колледжей, 
техникумов и других учебных заведений среднего профессионального 
образования. Однако учебник может быть полезен также студентам высших учебных заведений. Большое внимание в книге уделено доступности 
и наглядности описания математических понятий и результатов, примерам 
и иллюстрациям, облегчающим усвоение материала.
В томе представлены следующие разделы математики: дифференциальные уравнения; ряды; линейная алгебра; аналитическая геометрия; функции многих переменных; численные методы; теория вероятностей и математическая статистика; дискретная математика.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

Б24

Р е ц е н з е н т ы:
М.И. Шабунин — д-р пед. наук, профессор кафедры высшей математики МФТИ;
К.С. Ахвердиев — д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой высшей 
математики РГУПС

Бардушкин В.В., Прокофьев А.А.
Математика. Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т. 2 / 
В.В. Бардушкин, А.А. Прокофьев. — М.: КУРС: ИНФРА-М, 2020. — 
368 с. — (Среднее профессиональное образование).

Б24

© Бардушкин В.В., 
Прокофьев А.А., 2017
© КУРС, 2017

ISBN 978-5-906923-43-1 (Общ.) (КУРС)
ISBN 978-5-906923-34-9 (том 1) (КУРС)
ISBN 978-5-16-012832-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104732-3 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Глава 1

Дифференциальные уравнения

1.1. Определение дифференциального уравнения 

первого порядка

При решении многих задач физики, химии, экономики и других 

областей знания возникают ситуации, связанные с нахождением неизвестных функций, описывающих рассматриваемые явления или 
процессы. При этом известными бывают лишь соотношения, связывающие между собой эти функции, их производные (или дифференциалы) различных порядков и независимые переменные. Подобные 
соотношения называются дифференциальными уравнениями.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок его 

старшей производной (или дифференциала).

Решением дифференциального уравнения называется такая 

функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если переменная, от которой в уравнении зависят искомая неиз
вестная функция и ее производные, единственная, то такое дифференциальное уравнение называют обыкновенным.

Рассмотрим вначале случай, когда обыкновенное дифференци
альное уравнение имеет первый порядок. Начнем с определений.

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка на
зывается уравнение вида

F x y y
( , ,
)′ = 0.
(1.1)

Как правило, уравнение (1.1) стараются представить в форме, раз
решенной относительно производной:

′ =
y
f x y
( , ),
(1.2)

или в форме, содержащей дифференциалы:

M x y dx
N x y dy
( , )
( , )
+
= 0.
(1.3)

В качестве примеров обыкновенных дифференциальных уравне
ний первого порядка, представленных в формах (1.1)–(1.3), можно 
привести следующие:

(
)
sin
′
+
=
y
y
x
2
0; ′ =
y
y e
x
x
3
; (
)
2
3
0
y
x dx
xydy
+
=
.

Замечание. Учитывая, что ′ =
y
dy
dx, всегда можно от записи 

в форме (1.2) перейти к (1.3) и наоборот.

При решении дифференциального уравнения первого порядка 

необходимо выполнять процедуру интегрирования. Как известно, 
неопределенный интеграл — это множество всех первообразных данной функции, которые отличаются друг от друга на константу. Поэтому общее решение дифференциального уравнения первого порядка
представляет собой функцию от переменной x и одной произвольной 
постоянной C.

Замечание. Поскольку при получении общего решения обыкно
венного дифференциального уравнения n-го порядка процедуру интегрирования нужно выполнять n раз, то общее решение представляет собой функцию от переменной x и n произвольных постоянных 
C1, C2, …, Cn.

Обычно общее решение дифференциального уравнения первого 

порядка стремятся представить в виде

y
x C
= j( ,
),
(1.4)

однако это оказывается возможным не всегда. Часто его удается получить только в виде неявной функции

F( , ,
)
x y C = 0.
(1.5)

Общее решение, представленное в виде (1.5), называют также об
щим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Зафиксировав в (1.4), (1.5) какое-либо одно из допустимых зна
чений параметра C (например, положив С
С
=
0), получается частное 

решение дифференциального уравнения первого порядка, записываемое в виде y
x C
= j( ,
)
0  или F( , ,
)
x y C0
0
=
. При этом решение 

в виде F( , ,
)
x y C0
0
=
 называют интегралом (частным интегралом) 

дифференциального уравнения первого порядка.

На координатной плоскости уравнение y
x C
= j( ,
)
0  (или 

F( , ,
)
x y C0
0
=
) определяет некоторую кривую, которая называется 

интегральной кривой дифференциального уравнения.

Поэтому часто решения дифференциальных уравнений называют 

интегральными кривыми.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка 

в форме (1.2). Задачей Коши называется задача нахождения частного 
решения y
x C
= j( ,
)
0  уравнения ′ =
y
f x y
( , ), удовлетворяющего на
чальному условию y x
y
(
)
0
0
=
 (где y x
x
C
(
)
(
,
)
0
0
0
= j
).

1.2. различные типы дифференциальных 

уравнений первого порядка и методы их решения

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений пер
вого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется урав
нением с разделяющимися переменными, если оно представляется 
в виде

dy
dx
f x g y
=
( ) ( )
(1.6′)

или в виде

M x N y dx
P x Q y dy
( )
( )
( ) ( )
+
= 0.
(1.6″)

Пример 1.1. Решите уравнение ′ =
y
xy2.

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, для 

разделения которых необходимо в dy

dx
xy
=
2 выполнить деление на y2. 

Это может привести к потере решения. Подстановкой y = 0 в исходное уравнение убеждаемся в том, что y = 0 — решение.

Пусть теперь y ≠ 0. Тогда разделяем переменные:

dy
y

xdx
2 =
.

Интегрируем:

dy
y

xdx
2
∫
∫
=
.

Получаем

=
+
⇔
+
+
=
1

2
2

1
0

2
2

y

x
C
x

y
C
.

Таким образом, решениями уравнения являются:

x

y
C

2

2

1
0
+
+
=
; y = 0. 

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется одно
родным, если оно представляется в виде

′ =




y
f
y
x
(1.7′)

или в виде

M x y dx
N x y dy
( , )
( , )
+
= 0,
(1.7″)

где M x y
( , ) и N x y
( , ) — однородные функции одного порядка, т.е. су
ществует такое натуральное число k, что M tx ty
t M x y
k
( ,
)
( , )
=
, 

N tx ty
t N x y
k
( ,
)
( , )
=
, где t ≠ 0.

Чтобы решить однородное уравнение, нужно сделать замену 

y
xu
=
, где u — функция, зависящая от x, т.е. u
u x
=
( ).

Пример 1.2. Решите уравнение (
)
x
y dx
xdy
+
= 0.

Решение. Это однородное уравнение, представленное в виде 

M x y dx
N x y dy
( , )
( , )
+
= 0, где M x y
x
y
( , ) =
+
, N x y
x
( , ) = — одно
родные функции первого порядка, так как

M tx ty
tx
ty
t x
y
tM x y
( ,
)
(
)
( , )
=
+
=
+
=
,

N tx ty
tx
t
x
tN x y
( ,
)
( )
(
)
( , )
= =
=
.

Сделаем замену y
xu
=
, тогда dy
udx
xdu
=
+
. Отсюда, подставив 

в исходное уравнение, получим

(
)
x
xu dx
xudx
x du
x du
xdx
+
=
⇔
=
2
2
0
.

Для разделения переменных необходимо выполнить деление 

обеих частей уравнения x du
xdx
2
=
 на x2. Это может привести к по
тере решения. Подстановкой x = 0 в исходное уравнение убеждаемся 
в том, что x = 0 — решение.

Пусть теперь x ≠ 0. Тогда разделяем переменные:

du
dx
x
=
.

Интегрируем:

du
dx
x
∫
∫
=
.

Получаем

u
x
C
=
+
ln
.

Откуда, возвращаясь к функции y:

y
x
x
Cx
=
+
ln
.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются:

y
x
x
Cx
=
+
ln
; x = 0. 

Дифференциальные уравнения вида

′ =
+
+

+
+






y
f
a x
b y
c

a x
b y
c

1
1
1

2
2
2

(1.8)

в случае a

a

b
b

2

1

2

1

≠
 приводятся к однородным с помощью замены пере
менных:

x
u
m
=
+
; y
v
n
=
+ ,

где m и n находятся из системы уравнений

a m
b n
c

a m
b n
c

1
1
1

2
2
2

0
0

+
+
=

+
+
=



,
.

Если в уравнении (1.8) a

a

b
b

2

1

2

1

=
= l, а значит, a x
b y
2
2
+
=

=
+
l(
)
a x
b y
1
1
, то оно примет вид

′ =
+
+

+
+





 ⇔
′ =
+
y
f
a x
b y
c

a x
b y
c
y
a x
b y
1
1
1

1
1
2

1
1
l
j
(
)
(
).

Подстановкой u x
a x
b y
( ) =
+
1
1  это уравнение преобразуется 

к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 1.3. Решите уравнение ′ =
+

+
y
x
y

x
y

2.

Решение. Уравнение имеет вид dy

dx
f
a x
b y
c

a x
b y
c
=
+
+

+
+







1
1
1

2
2
2

, a

a

b
b

2

1

2

1

≠
, 

а значит, сводится к однородному. Для этого надо вначале решить 
систему

m
n

m
n

m
n

+
=

+
=
{
⇔
= =
{

2
0

0

1

1

,

;

,

.

Следовательно, замена переменных выглядит следующим обра
зом:

x
u
=
- 1; y
v
=
+ 1.

Учитывая, что dx
du
=
, dy
dv
=
, после замены переменных исход
ное уравнение примет вид

dv
du

u
v

u
v
=
+
.

Это уравнение является однородным. Сделаем в нем замену 

v
u p
=
⋅
, где p — функция, зависящая от u, т.е. p
p u
=
( ). Тогда 

dv
pdu
udp
=
+
 и уравнение dv

du

u
v

u
v
=
+
 примет вид

pdu
udp

du

u
up

u
up

+
=
+
.

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися 

переменными. Решив его (проделайте выкладки самостоятельно!), 
окончательно получим ответ:

(
)
(
)(
)
(
)
y
x
y
x
C
+
+
+
=
1
2
1
1
1
2
2
. 

Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линей
ным, если оно содержит y и ′y  только в первой степени, т.е. имеет вид

′ +
=
y
a x y
b x
( )
( ).
(1.9)

При b x
( ) = 0 уравнение (1.9) принимает вид

′ +
=
y
a x y
( )
0

и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными.

Решение линейного неоднородного уравнения (1.9) можно осуще
ствить одним из следующих методов.

1. Метод вариации постоянной. В этом методе вначале надо найти 

общее решение линейного однородного уравнения ′ +
=
y
a x y
( )
0. 

Затем общее решение линейного неоднородного уравнения (1.9) 
ищется в виде, аналогичном полученному в ответе для уравнения 

′ +
=
y
a x y
( )
0. При этом произвольная постоянная C в общем реше
нии ′ +
=
y
a x y
( )
0 заменяется на неизвестную функцию C x
( ) (это 

и есть вариация постоянной C). Далее подстановкой в линейное неоднородное уравнение (1.9) находится неизвестная функция C x
( ).

Пример 1.4. Решите уравнение xy
y
x
′ =
2
2
4 и найдите его 

частное решение, удовлетворяющее начальному условию y( )1
1
=

(т.е. решите задачу Коши).

Решение. Данное уравнение является линейным. Решим его ме
тодом вариации постоянной.

Вначале получим общее решение линейного однородного уравне
ния xy
y
′ =
2
0. Для этого выполним формальные преобразования:

x dy

dx
y
= 2 ; dy

y

dx
x
= 2
; dy

y

dx
x
∫
∫
= 2
; ln
ln
y
x
C
=
+
2
1.

Положим C
C
1
2
= ln
, где C2
0
>
, тогда

ln
ln
ln
y
x
C
=
+
2

2, ln
ln(
)
y
C x
=
2

2 , y
C x
=
2

2.

Раскрывая y , получим

y
Cx
=
2,

где C ≠ 0, C
C
=
2 при y > 0, C
C
= 2 при y < 0.

Заметим, что в результате выполненных формальных преобразо
ваний в уравнении xy
y
′ =
2
0 было потеряно решение y = 0. Однако 

его можно учесть при записи решения в форме y
Cx
=
2, если разре
шить, чтобы постоянная C могла принимать значение, равное нулю.

Итак, общее решение линейного однородного уравнения 

xy
y
′ =
2
0 имеет следующий вид:

y
Cx
=
2, C ∈ .

Согласно методу вариации постоянной будем искать общее ре
шение исходного неоднородного линейного уравнения xy
y
x
′ =
2
2
4

в виде

y
C x x
=
( )
2.

Для нахождения неизвестной функции C x
( ) подставим y
C x x
=
( )
2

в исходное уравнение. Получим

x C x x
xC x
C x x
x
C x x
x
(
( )
( ))
( )
( )
′
+
=
⇔
′
=
2
2
4
3
4
2
2
2
2
.

Тогда C x
x
C
( ) =
+
2
.

Таким образом, общее решение исходного линейного неоднород
ного уравнения

y
x
Cx
=
+
4
2.

Для решения поставленной задачи Коши в y
x
Cx
=
+
4
2 положим 

x = 1, y = 1, получим

1
1
1
4
2
=
+
⋅
C
.

Отсюда C = 0, а значит, частное решение имеет вид y
x
=
4. 

2. Метод подстановки. В этом методе надо положить 

y x
u x v x
( )
( ) ( )
=
. Тогда уравнение (1.9) приводится к виду

v du

dx
a x u
u dv

dx
b x
+



 +



 =
( )
( )
0.
(1.10)

Функция u x
( ) выбирается так, чтобы первая скобка в левой части 

(1.10) обратилась в нуль. Для этого интегрируется уравнение с разделяющимися переменными

du
dx
a x u
+
=
( )
0

и выбирается какое-либо его ненулевое частное решение u
u x
=
1( ).

Затем подставляем функцию u x
1( ) вместо u в (1.10) и получаем 

уравнение с разделяющимися переменными относительно функции 
v x
( ):

u x dv

dx
b x
1
0
( )
( )
=
.

Находим общее решение этого уравнения v
v x C
= ( ,
). Перемно
жая найденные функции u x
1( ) и v x C
( ,
), получаем общее решение 

уравнения (1.9):

y
u x v x C
=
1( ) ( ,
).

Пример 1.5. Решите методом подстановки уравнение примера 1.4.
Решение. Положим y
uv
=
. Тогда исходное уравнение приводится 

к виду

v x du

dx
u
xu dv

dx
x



 +



 =
2
2
0
4
.
(1.11)

Найдем функцию u x
1( ), решая уравнение

x du

dx
u
=
2
0

и выбирая из его общего решения u
Cx
=
2 одно ненулевое частное 

решение, например u x
x
1

2
( ) =
. Подставляя u x
1( ) в (1.11), получим

x dv

dx
x
3
4
2
0
=
,

общее решение которого имеет вид

v x C
x
C
( ,
) =
+
2
.

Таким образом, перемножая u x
1( ) и v x C
( ,
), получаем общее реше
ние исходного линейного неоднородного уравнения y
x
Cx
=
+
4
2. 