Плоские фермы. Схемы и расчетные формулы

ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ. 
СХЕМЫ 
И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

М.Н. КИРСАНОВ

Москва
ИНФРА-М
2021

СПРАВОЧНИК

Справочники «ИНФРА-М»

УДК 624.04
ББК 38.5
 
К43

Кирсанов М.Н.
К43 
 
Плоские фермы. Схемы и расчетные формулы : справочник / 
М.Н. Кирсанов. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 238 с. — (Справочники 
ИНФРА-М). — DOI 10.12737/textbook_5c3c4183ee7be5.95025996.

ISBN 978-5-16-014829-8 (print)
ISBN 978-5-16-107336-0 (online)

Приводятся точные формулы для расчета усилий в стержнях и прогиба 
плоских регулярных статически определимых ферм с произвольным числом 
панелей. Описаны алгоритмы получения аналитических решений в системе 
компьютерной математики Maple. Рассмотрены случаи кинематической 
изменяемости некоторых схем ферм.
Предназначен для инженеров, научных работников, студентов и аспирантов технических вузов. 

УДК 624.04
ББК 38.5

Р е ц е н з е н т:
Козлов В.А. — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики Воронежского государственного технического университета

А в т о р:
Кирсанов М.Н. — доктор физико-математических наук, профессор, профессор Национального исследовательского университета «МЭИ»

ISBN 978-5-16-014829-8 (print)
ISBN 978-5-16-107336-0 (online)
© Кирсанов М.Н., 2019

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Подписано в печать 27.08.2020. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 14,88.
ППТ30. Заказ № 00000
ТК 699890-1177555-160119

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

Данная книга доступна в цветном исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

12+

Оглавление
3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а 1.
Балочные фермы с параллельными поясами . . . . . . . . . .
9

Ферма 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Ферма 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Ферма 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Ферма 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ферма 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Ферма 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Ферма 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Ферма 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Ферма 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Ферма 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Ферма 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ферма 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Ферма 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Ферма 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Г л а в а 2.
Балочные решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Ферма 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Ферма 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Ферма 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Ферма 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Ферма 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Ферма 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Ферма 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Ферма 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Ферма 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Ферма 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Ферма 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Ферма 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Ферма 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Ферма 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Ферма 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Ферма 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Оглавление

Ферма 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Ферма 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Ферма 2.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Ферма 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Ферма 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Ферма 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Г л а в а 3.
Внешне статически неопределимые фермы . . . . . . . . . . . 89

Ферма 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Ферма 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Ферма 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Ферма 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Ферма 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Ферма 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Ферма 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Ферма 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Ферма 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Ферма 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Ферма 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Ферма 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Ферма 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Ферма 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Ферма 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Ферма 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Ферма 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Г л а в а 4.
Арки и рамы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Ферма 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Ферма 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Ферма 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Ферма 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Ферма 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Ферма 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Ферма 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Ферма 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Ферма 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Ферма 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Оглавление
5

Ферма 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Ферма 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Ферма 4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Ферма 4.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Ферма 4.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Ферма 4.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Ферма 4.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Г л а в а 5.
Фермы с треугольным очертанием верхнего пояса . . . . . . 170

Ферма 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Ферма 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Ферма 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Г л а в а 6.
Методы решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.1. Метод вырезания узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.2. Метод Риттера (метод сечений) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.3. Принцип возможных перемещений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.4. Метод замены стержней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.5. Диаграмма Максвелла–Кремоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.6. Определение перемещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.7. Геометрически изменяемые фермы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.8. Maple-программа для расчета усилий и прогиба . . . . . . . . . . . . . . 198

6.9. Матричный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Схемы ферм
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Предисловие

Предисловие

Новые схемы статически определимых ферм всегда интересовали
инженеров. Во-первых, этот интерес вызван желанием получить какието оптимальные решения по прочности, жесткости и экономии затрат
на материалы и монтаж. Во-вторых, здесь проявляется интерес к архитектурной выразительности конструкций мостов, покрытий, корпусов
зданий. Не все инженерные конструкции выполнены в виде простых
треугольных, раскосных или решетчатых схем. Можно привести примеры известных оригинальных конструкций мостов, основой которых
являются статически определимые фермы (рис. 1 – 3).

Рис. 1. Мост через залив Ферт-оф-Форт, Шотландия 1

Рис. 2. Харбор-Бридж, Сидней, Австралия

Целеустремленным поиском таких схем, плоских и пространственных, занялись Hutchinson R. G. и Fleck N. A., неслучайно назвав эти
поиски "охотой на статически определимые схемы" [260,261].
В чистом виде статически определимые конструкции ферм вероятно
нигде не используются по крайней мере потому, что шарниры чаще всего заменяются жесткими или полужесткими соединениями или просто
дополнительные стержни для обеспечения жесткости превращают исходную статически определимую ферму в статически неопределимую.
Статически определимую ферму можно считать моделью реальной
конструкции или основной системой при расчете методом сил.

1Размеры моста впечатляют: пролеты по 521 м, диаметр стержней (труб) до
3,6 м, опоры высотой 100 м.

Предисловие
7

Статически определимые фермы еще интересны простотой расчета,
который в большинстве случаев выполняется численно. Современные
программные средства символьной математики (Maple, Mathematica,
Derive, Reduce и др.) позволяют выполнить эти же расчеты и аналитически. Достаточно заменить при вводе данных числа на символы и будет получена конечная формула для прогиба или усилия в
каком-то стержне в зависимости от нагрузки, размеров и упругих
характеристик материала конструкции. В этой формуле можно менять
размеры фермы, величину нагрузки и модули упругости стержней,
выбирая из соображений прочности и жесткости оптимальный вариант,
но область применения такой формулы все-таки ограничена конкретной
конструкцией.

Рис. 3. Автомобильный мост в штате Вашингтон, Сиэтл, США

Значительно интереснее формулы, которые можно применять для
целого класса конструкций. Такие формулы можно получить для регулярных систем, обладающих некоторой симметрией и периодичностью
структуры. Элементом периодичности может быть панель фермы или
группа стержней. В более сложных случаях в ферме могут быть
выделены несколько независимых групп периодичности, например, в
рамах группы панелей по длине пролета и панели по высоте. Тогда
индукция проводится по двум (фермы 4.10, с. 149, 4.14, с. 158) и
более (фермы 4.12, с. 154, 4.13, с. 156) натуральным числам, и сфера
применения полученных формул становится еще шире.
Методам расчета регулярных стержневых систем (в основном численным) посвящены монографии профессора Игнатьева В.А [41, 69].
Операторы системы компьютерной математики, применительно к решениям задач механики, описаны в [43,44,146,148,185,240].

Предисловие

В трудах автора и его учеников методом индукции получены аналитические решения задачи о прогибе для ряда плоских и пространственных ферм в виде конечных формул. В настоящий справочник вошла
часть этих решений. В разделе 6.8, с. 198 приведена программа на
языке компьютерной математики Maple и кратко описан метод индукции, позволяющий получать решения, справедливые для произвольного
числа панелей фермы.
Фермы в Справочнике разделены по пяти главам, однако это разделение условно. Некоторые фермы могут находиться как в одной главе,
так и в другой. Фермы, имеющие достаточно сложную решетку и
отнесенные к простым балочным фермам, могут находиться и во второй
главе, где собраны решетки с двумя опорами (балочные решетки), а
некоторые арки и рамы, имеющие несколько опор, вполне соответствуют фермам из третьей главы с внешне статически неопределимыми
фермами.
Формулы для прогиба ферм получены для случая одинаковой жесткости всех стержней фермы. Методика возможного обобщения этих
решений на разные жесткости групп стержней описана в разделе 6.6,
с. 193.
Хотя автор и старался избегать сложные решения, формулы, приведенные в Справочнике, иногда весьма громоздки. Использование
их предполагает их ручной набор, при котором возможны ошибки и
опечатки, что сводит на нет преимущества красивых аналитических
решений. Для этого автор все полученные решения конвертировал
из программы Maple в текстовые файлы, откуда все формулы извлекаются простым копированием. Эти тексты свободно скачиваются:
http://vuz.exponenta.ru/Trusstxt.rar.
В справочнике для прогиба (вертикального перемещения шарнира)
введено обозначение Δ, для горизонтального смещения подвижной
опоры — δA. Усилия в стержнях верхнего пояса имеют стандартное в
строительной механике 1 обозначение O, нижнего пояса — U. Усилия
в раскосах обозначены D, стойках — V . Стержни имеют жесткость
EF, где E — модуль упругости, F — площадь сечения.
Все
замечания
и
предложения
автор
принимает
по
адресу
c216@ya.ru.

1См. примечание на с. 177. Найдены формулы лишь для некоторых усилий,
как правило, наиболее критических по отношению к потере устойчивости или
прочности.

1.1
9

Г л а в а 1

Балочные фермы с параллельными поясами

Ферма 1.1

Ферма высотой h (рис. 4), содержащая 2n панелей в нижнем поясе,
состоит из 8n − 1 стержней.

?
P
?
P
?
P
?
P
?
P
?
P

h

a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a

O

U

D
A
B
C

Рис. 4. Ферма, n = 3

Прогиб (вертикальное смещение среднего узла C в нижнем поясе)
имеет вид

Δ = Pn(C1a3 + C2b3 + C3c3 + C4d3 + C5a2b + C6ab2)/(2h2EF), (1.1)

где c =
√

a2 + h2, d =
√

b2 + h2.

1.1.1. Загружение верхнего пояса, рис. 4
Прогиб. Коэффициенты в (1.1):

C1 = (5n3 + 4n2 + n + 2)/6, C2 = (5n3 − 4n2 + n − 2)/6,

C3 = n + 1, C4 = n − 1, C5 = (15n3 + 4n2 + 3n + 2)/6,

C6 = (15n3 − 4n2 + 3n − 2)/6,

Δb=a = Pn2(2a3(5n2 + 1) + 3c3)/(3h2EF).

Смещение опоры A:

δA = Pn(a(n + 1)(2n + 1) + b(2n − 1)(n − 1))(a + b)/(3hEF),

δA,b=a = 4Pa2n(2n2 + 1)/(3hEF).

Усилия:

O = −Pn(a(n + 1) + b(n − 1))/(2h), U = −O, D = 0.

Реакции опор: YA = YB = Pn, XB = 0.

Балочные фермы с параллельными поясами
Глава 1

1.1.2. Загружение нижнего пояса

?
P
?
P
?
P
?
P
?
P

h

a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a

O

U

D

A
B

Рис. 5. Ферма, n = 3

Прогиб. Коэффициенты в (1.1):

C1 = C2 = n(5n2 + 1)/6, C5 = C6 = n(5n2 − 1)/2, C3 = C4 = n,

Δb=a = Pn2(a3(10n2 − 1) + 3c3)/(3h2EF).

Смещение опоры

δA = Pn(a(4n2 + 3n − 1) + b(4n2 − 3n − 1))(a + b)/(6hEF),

δA,b=a = 2Pa2n(4n2 − 1)/(3hEF).

Усилия:

O = −Pn2(a + b)/(2h), U = P(n2a + (n2 − 1)b)/(2h), D = Pd/(2h).

Реакции опор:

YA = YB = P(2n − 1)/2, XB = 0.

1.1.3. Сосредоточенная сила в середине пролета

?
P

h

a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a

O

U

D

A
B

Рис. 6. Ферма, n = 4, [276]

Прогиб. Коэффициенты в (1.1):

C1 = C2 = (1 + 2n2)/3, C3 = C4 = 1, C5 = C6 = 2n2,

Δb=a = Pn(a3(8n2 + 1) + 3c3)/(3h2EF).

Смещение опоры

δA = Pn(a + b)(a(n + 1) + b(n − 1))/(2hEF),

δA,b=a = 2Pn2a2/(hEF).

Усилия:

O = −Pn(a + b)/(2h), U = P(na + (n − 1)b)/(2h), D = Pd/(2h).