Алгебры кватернионов и моноидные кольца

А.А. Туганбаев

АЛГЕБРЫ 
КВАТЕРНИОНОВ
И МОНОИДНЫЕ КОЛЬЦА

•ФЛИНТА• 

aatUGANBAEW

algebry
kwaternionow

i
m
o
n
o
i
d
n
y
e
k
o
l
x
c
a

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2012

Монография

УДК 512.55             
ББК 22.144
         Т81

Туганбаев A.A. 

Т81
Алгебры кватернионов и моноидные кольца [Электронный ресурс]:
         монография / A.A. Туганбаев. — М.: ФЛИНТА, 2012. — 112 с.

ISBN 978-5-9765-1504-8

В данной книге исследуются кольцевые свойства алгебр кватернионов над 
произвольными коммутативными кольцами и моноидные кольца с дистрибутивной решеткой правых идеалов. Многие из результатов принадлежат 
автору и не излагались ранее в монографиях на русском языке, причем 
целый ряд результатов не отражался в монографиях вообще. 
Книга может быть полезна всем алгебраистам, интересующимся кольцами 
и модулями. Она может служить учебным пособием для студентов и аспирантов, изучающих современную алгебру. 
УДК 512.55             
ББК 22.144

Научное издание

ТТТууугггааанннбббаааеееввв Аскар Аканович

АЛГЕБРЫ КВАТЕРНИОНОВ
И МОНОИДНЫЕ КОЛЬЦА

Монография

Подписано в печать 01. 10. 2012.
Электронное издание для распространения через Интернет 
ООО "Флинта", 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324. 
Тел.: (495) 336-03-11; тел./факс: (495) 334-82-65. 
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru

ISBN 978-5-9765-1504-8                                                          © Туганбаев A.A., 2012

Содержание

Введение
4

1.
Предварительные сведения
5

2.
Дистрибутивные модули и кольца
38

3.
Общие свойства алгебр кватернионов
47

4.
Идеалы алгебр кватернионов
54

5.
Регулярные групповые кольца
65

6.
Дистрибутивные групповые кольца
79

7.
Дистрибутивные моноидные кольца
моноидов с сокращениями
95

8.
Дистрибутивные моноидные кольца
регулярных моноидов
100

Предметный указатель
105

Литература
107

Список обозначений
111

Введение

В данной книге исследуются кольцевые свойства (обобщен
ных) алгебр кватернионов
a, b

A

над произвольными комму
тативными кольцами A с обратимыми элементами a, b и моноидные кольца с дистрибутивной решеткой правых идеалов.
Все кольца предполагаются ассоциативными и (за исключением нильколец и некоторых оговоренных случаев) с ненулевой единицей, модули предполагаются унитарными. Слова типа “нетерово кольцо” означают, что соответствующие условия
выполнены справа и слева.

Пусть A – коммутативное кольцо, a, b – два обратимых эле
мента из A
a, b

A

– алгебра кватернионов с образующими

1, i, j, k и определяющими соотношениями i2 = a, j2 = b,
k2 = −ab, ij = −ji = k, ik = −ki = aj, kj = −jk = bi. Если

A – поле, то хорошо известно, что
a, b

A

является телом в

точности тогда, когда равенство x2 −ay2 −bz2 = 0 возможно в
A только при x = y = z = 0. Так как все тела являются регулярными, строго регулярными, арифметическими и дистрибутивными кольцами,1 то, среди прочего, мы выясняем в главах

3, 4 и 5 данной книги, когда алгебры кватернионов
a, b

A

обладают упомянутыми (и другими кольцевыми) свойствами.

Далее, в главах 6), 7) и 8) мы исследуем дистрибутивные
справа групповые кольца и (для моноидов с сокращениями
и регулярных моноидов) дистрибутивные справа моноидные
кольца, получив в случае коммутативных колец коэффициентов полное описание.

1Соответствующие определения см. на с. 29, с. 52 и с. 38.

4

Предварительные сведения
5

1. Предварительные сведения

В книге используются некоторые хорошо известные понятия и утверждения из теории колец. Соответствующие определения идоказательства можно найти, например, в книге автора [26] (см. также [1], [2], [5], [6], [27], [28], [38], [45], [46],
[47], [53], [60]). Некоторые хорошо известные сведения мы будем напоминать по ходу изложения.

Если A – кольцо, то обозначение MA (соотв. AM, AMA)
означается, что M – правый A-модуль (соотв. левый A-модуль,
A-A-бимодуль. Через U(A) обозначается группа обратимых
элементов кольца A. Для модуля M через J(M), End(M),
max(M), и Lat(M) обозначаются его радикал Джекобсона,
кольцо эндоморфизмов, множество всех максимальных подмодулей и решетка всех подмодулей.

1.1. Свободные модули. Правый модуль X над кольцом
A называется свободным, если существует такое подмножество
{xi}i∈I ⊆ X, называемое базисом модуля X, что X = ⊕i∈IxiA
и r(xi) = 0 для всех i ∈ I; мощность card(I) называется рангом
модуля M.2

1.1.1. Правый модуль X над кольцом A является свободным модулем (ранга ℵ) в точности тогда, когда X изоморфен
прямой сумме некоторого множества I (мощности ℵ) изоморфных копий свободного циклического модуля AA. В частности,
существуют свободные модули любого ранга ℵ.

1.1.2. Циклический правый модуль X над кольцом A является свободным в точности тогда, когда X ∼= AA, что равносильно существованию такого элемента x ∈ X, что X = xA
и r(x) = 0.

1.1.3. Каждое отображение f базиса {xi}i∈I свободного мо
2Ранг свободного модуля не всегда определен однозначно.

Предварительные сведения

дуля XA в любой модуль MA правилом g(xiai) = f(xi)ai
корректно продолжается до гомоморфизма g: X → M. При
этом, если {f(xi)}i∈I – система образующих модуля M, то
g: X → M – эпиморфизм.

1.1.4. Каждый ℵ-порожденный модуль является гомоморфным образом свободного модуля ранга ℵ.

1.2. Максимальные подмодули, простые и подпрямо неразложимые модули и кольца. Подмодуль M ненулевого модуля X называется максимальным подмодулем в X,
если M – максимальный элемент непустого множества всех
собственных подмодулей в X. Множество всех максимальных
подмодулей в X обозначается через max(X).

Ненулевой модуль X называется простым, если X совпадает с любым своим ненулевым подмодулем, т.е. если 0 – максимальный подмодуль в X. Кольцо называется простым, если
оно совападает с любым своим ненулевым идеалом.

1.2.1. Для любых двух ненулевых элементов x и y простого
модуля XA существуют такие a, b ∈ A, что xa = y и yb = x.

1.2.2. Все максимальные идеалы кольца целых чисел Z
имеют вид pZ, а простые Z-модули совпадают с циклическими
модулями Z/pZ, где p – простое число.

1.2.3. В ненулевом конечнопорожденном модуле X каждый
собственный подмодуль содержится в некотором максимальном подмодуле модуля X.

1.3. Подпрямые произведения и подпрямая неразложимость.
Если {Yi}i∈I – некоторое множество подмодулей (идеалов) модуля (кольца) X и ∩i∈IYi = 0, то модуль (кольцо) X называется подпрямым произведением фактормодулей (факторколец)
X/Yi. Если при этом хотя бы один из подмодулей (идеалов)
Yi равен нулю, то подпрямое произведение называется триви

Предварительные сведения
7

альным. Если Yi ̸= 0 для всех i, то подпрямое произведение
называется нетривиальным. Ненулевой модуль (кольцо) X называется подпрямо неразложимым, если X не является нетривиальным подпрямым произведением никаких своих фактормодулей (факторколец), т.е. пересечение всех ненулевых подмодулей (идеалов) в X не равно нулю. Это означает, что существует ненулевой подмодуль (идеал) в X, содержащийся в
каждом ненулевом подмодуле (идеале) в X.

1.3.1. В подпрямо неразложимом модуле пересечение всех
ненулевых подмодулей является простым модулем.

1.3.2. Каждый ненулевой модуль (каждое кольцо) является
подпрямым произведением подпрямо неразложимых модулей
(колец).

1.4. Существенные расширения и равномерные модули. Если X – подмодуль модуля M и X ∩Y ̸= 0 для любого
ненулевого подмодуля Y в M, то X называется существенным
в M и говорят, что M – существенное расширение модуля X.
Если M – существенное расширение X, то X содержит любой простой подмодуль модуля M, M – существенное расширение любого существенного подмодуля Y модуля X и N –
существенное расширение X ∩ N для любого подмодуля N в
M. Модуль M называется равномерным, если любые два его
ненулевых (циклических) подмодуля имеют ненулевое пересечение. Подмодуль N модуля M называется коравномерным, если M/N – равномерный модуль, т.е. если не существует таких
строго содержащих N подмодулей X и Y в M, что X ∩Y = N.

1.4.1. Если N – существенный подмодуль модуля M, то
для каждого гомоморфизма f : X → M подмодуль f −1(N)
существенен в X.

1.4.2. Если MA = ⊕i∈IMi и каждый модуль Mi – существенное расширение некоторого модуля Xi, то M – существенное расширение модуля ⊕i∈IXi.

Предварительные сведения

1.4.3. Модуль M равномерен ⇔ M – существенное расширение любого своего ненулевого (циклического) подмодуля,
что равносильно ⇔ M – существенное расширение равномерного модуля.

1.4.4. M – модуль с условием минимальности для прямых
слагаемых ⇔ M – модуль с условием максимальности для прямых слагаемых ⇔ кольцо End(M) не содержит бесконечного
числа ненулевых ортогональных идемпотентов. При этих условиях M – конечная прямая сумма неразложимых модулей. В
частности, если A – кольцо без бесконечных множеств ортогональных идемпотентов, то AA – модуль с условиями минимальности и максимальности для прямых слагаемых и модули
AA, AA являются конечными прямыми суммами неразложимых модулей.

1.5. Условия максимальности и минимальности. Модуль M называется нетеровым (соотв. артиновым), если M
не содержит бесконечных строго возрастающих (соотв. убывающих) цепей подмодулей. Модуль M является нетеровым
(соотв. артиновым) в точности тогда, когда каждое непустое
подмножество подмодулей в M содержит хотя бы один максимальный (соотв. минимальный) элемент. Модуль называется
полунетеровым, если каждый его ненулевой подфактор имеет
максимальный подмодуль. Все подфакторы любого гомоморфного образа каждого нетерова (соотв. артинова, полунетерова)
модуля являются нетеровыми (соотв. артиновыми, полунетеровыми) модулями.

Модуль M называется модулем (композиционной) длины
n ∈ N, если либо M = 0 и тогда по определению n = 0, либо
Lat(M) содержит конечную цепь 0 = X0 ⊂ X1 ⊂ . . . Xn = M с
простыми фактормодулями Xi/Xi−1, i = 1, . . . , n. Такая цепь
называется композиционным рядом модуля M, причем в этом
случае M также называется модулем конечной длины.

Предварительные сведения
9

Если X – подмножество правого (соотв. левого) модуля M
над кольцом A, то обозначим через rA(X) = r(X) правый
аннулятор {a ∈ A | Xa = 0} (соотв. ℓA(X) = ℓ(X) левый
аннулятор {a ∈ A | aX = 0}) подмножества X. Если X
и Y – подмножества правого (соотв. левого) модуля M над
кольцом A, то обозначим (X . . Y ) = {a ∈ A | Xa ⊆ Y } (соотв.
(Y
.
. X) = {a ∈ A | aX ⊆ Y }).

Кольцо A называется кольцом с условием максимальности
(минимальности) для правых аннуляторов, если A не содержит
бесконечную строго возрастающую (строго убывающую) цепь
правых идеалов, являющихся правыми аннуляторами подмножеств в A.

1.5.1. Пусть существует такая цепь 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂
Mn−1 ⊂ Mn = M подмодулей модуля M, что Mi/Mi−1 – нетеровы (артиновы) модули при i = 1, . . . , n. Тогда M – нетеров
(артинов) модуль. В частности, любая конечная прямая сумма
нетеровых (артиновых) модулей – нетеров (артинов) модуль.

1.5.2. M – нетеров модуль в точности тогда, когда все подмодули в M конечнопорождены.

1.5.3. Если Q – кольцо, A – подкольцо в Q и X – подмножество в A, то

rA(X) = A ∩ rQ(X),
ℓA(X) = A ∩ ℓQ(X),
rA(ℓA(rA(X))) = rA(X),
ℓA(rA(ℓA(X))) = ℓA(X).

1.5.4. A – кольцо с условием максимальности для правых
аннуляторов ⇔ A – кольцо с условием минимальности для левых аннуляторов ⇔ A – подкольцо кольца с условием максимальности для правых аннуляторов ⇔ A – подкольцо кольца с
условием минимальности для левых аннуляторов ⇔ для любого ненулевого идемпотента e ∈ A кольцо eAe удовлетиворяет
условию максимальности для правых аннуляторов и условию
минимальности для левых аннуляторов, причем каждое под