Алгебры кватернионов и моноидные кольца

А.А. Туганбаев





                АЛГЕБРЫ КВАТЕРНИОНОВ

                И МОНОИДНЫЕ КОЛЬЦА




Монография

2-е издание, стереотипное





Москва Издательство «ФЛИНТА» 2017

   УДК 512.55
   ББК 22.144
        Т81




     Туганбаев A.A.
Т81 Алгебры кватернионов и моноидные кольца [Электронный ресурс]: монография / A.A. Туганбаев. — 2-е изд., стер. — М. : Флинта, 2017. — 112 с.
   ISBN 978-5-9765-1504-8
   В данной книге исследуются кольцевые свойства алгебр кватернионов над произвольными коммутативными кольцами и моноидные кольца с дистрибутивной решеткой правых идеалов. Многие из результатов принадлежат автору и не излагались ранее в монографиях на русском языке, причем целый ряд результатов не отражался в монографиях вообще.
   Книга может быть полезна всем алгебраистам, интересующимся кольцами и модулями. Она может служить учебным пособием для студентов и аспирантов, изучающих современную алгебру.
УДК 512.55
ББК 22.144

Научное издание

Туганбаев □ Аскар Аканович

АЛГЕБРЫ КВАТЕРНИОНОВ
И МОНОИДНЫЕ КОЛЬЦА

Монография

Подписано в печать 28. 02. 2017.
Электронное издание для распространения через Интернет
 ООО "Флинта", 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324.
Тел.: (495) 336-03-11; тел./факс: (495) 334-82-65.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru

ISBN 978-5-9765-1504-8

© Туганбаев A.A., 2017

© Издательство «ФЛИНТА», 2017

Оглавление

Введение                                   4

1. Предварительные сведения               5

2. Дистрибутивные модули и кольца        38

3. Общие свойства алгебр кватернионов    47

4. Идеалы алгебр кватернионов            54

5. Регулярные групповые кольца           65

6. Дистрибутивные групповые кольца       79

7. Дистрибутивные моноидные кольца моноидов с сокращениями                  95

8. Дистрибутивные моноидные кольца регулярных моноидов                     101

Предметный указатель                     106

Литература                               108


Список обозначений


112

        Введение



  В данной книге исследуются кольцевые свойства (обобгц-енных) алгебр кватернионов I —I над произвольными коммутативными кольцами А с обратимыми элементами а, b и моноидные кольца с дистрибутивной решеткой правых идеалов. Все кольца предполагаются ассоциативными и (за исключением нильколец и некоторых оговоренных случаев) с ненулевой единицей, модули предполагаются унитарными. Слова типа “нетерово кольцо” означают, что соответствующие условия выполнены справа и слева.

  Пусть А - коммутативное кольцо, а,Ь - два обратимых л
элемента из А I —I - алгебра кватернионов с образующими 1,г, j, к и определяющими соотношениями i² = a, j² = b,

к² = —ab, ij = —ji = к, ik = —ki = aj, kj = —jk = bi. Если

A - поле, то хорошо известно, что

 a,
—— является телом в А /

точности тогда, когда равенство х² — ay² — bz² = 0 возможно


в А только при х = у = z = 0. Так как все тела явл


яются регулярными, строго регулярными, арифметическими и дистрибутивными кольцами,¹ то, среди прочего, мы выясняем в главах 3, 4 и 5 данной книги, когда алгебры

кватернионов I —— I обладают упомянутыми (и другими \ /
кольцевыми) свойствами.

  Далее, в главах 6), 7) и 8) мы исследуем дистрибутивные справа групповые кольца и (для моноидов с сокращениями и регулярных моноидов) дистрибутивные справа моноидные кольца, получив в случае коммутативных колец коэффициентов полное описание.

  ¹ Соответствующие определения см. на с. 29, с. 52 и с. 38.

4

Предварительные сведения

5


        1. Предварительные сведения



   В книге используются некоторые хорошо известные понятия и утверждения из теории колец. Соответствующие определения идоказательства можно найти, например, в к-ниге автора [26] (см. также [1], [2], [5], [6], [27], [28], [38], [45], [46], [47], [53], [60]). Некоторые хорошо известные сведения мы будем напоминать по ходу изложения.
   Если А - кольцо, то обозначение Мд (соотв. дМ, дМд) означается, что М - правый A-модуль (соотв. левый A-модуль, А-А-бимодуль. Через С(А) обозначается группа обратимых элементов кольца А. Для модуля М через J(M), End(M), max(M), и Lat(M) обозначаются его радикал Джекобсона, кольцо эндоморфизмов, множество всех максимальных подмодулей и решетка всех подмодулей.
   1.1.  Свободные модули. Правый модуль X над кольцом А называется свободным, если существует такое подмножество   С X, называемое базисом модуля X, что X =
        и г(х{) = 0 для всех i Е /; мощность card(/) называется рангом модуля М.²
   1.1.1.   Правый модуль X над кольцом А является свободным модулем (ранга №) в точности тогда, когда X изоморфен прямой сумме некоторого множества I (мощности №) изоморфных копий свободного циклического модуля Ал- В частности, существуют свободные модули любого ранга
   1.1.2.   Циклический правый модуль X над кольцом А является свободным в точности тогда, когда X = А^, что равносильно существованию такого элемента ж Е X, что X = хА и г(т) = 0.
   1.1.3.   Каждое отображение f базиса      свободного

  ²Ранг свободного модуля не всегда определен однозначно.

Предварительные сведения

модуля Ха в любой модуль Ма правилом ^(Ea^a.j) = Е/(ад)а^ корректно продолжается до гомоморфизма g: X —> М. При этом, если {/(яд)}^г - система образующих модуля М, то д: X М - эпиморфизм.
  1.1.4.  Каждый ^-порожденный модуль является гомоморфным образом свободного модуля ранга №.
  1.2.   Максимальные подмодули, простые и под прямо неразложимые модули и кольца. Подмодуль М ненулевого модуля X называется максимальным подмодулем в X, если М - максимальный элемент непустого множества всех собственных подмодулей в X. Множество всех максимальных подмодулей в X обозначается через тах(Х).
  Ненулевой модуль X называется простым, если X совпадает с любым своим ненулевым подмодулем, т.е. если О - максимальный подмодуль в X. Кольцо называется простым, если оно совападает с любым своим ненулевым идеалом.
  1.2.1.  Для любых двух ненулевых элементов х и у простого модуля Ха существуют такие a, b Е А, что ха = у и yb = х.
  1.2.2.  Все максимальные идеалы кольца целых чисел Z имеют вид pZ, а простые Z-модули совпадают с циклическими модулями Z/pZ, где р - простое число.
  1.2.3.  В ненулевом конечнопорожденном модуле X каждый собственный подмодуль содержится в некотором максимальном подмодуле модуля X.

    1.3.   Подпрямые произведения и подпрямая неразложимость.

Если       “ некоторое множество подмодулей (идеалов)
модуля (кольца) X и Clie/Kj = О, то модуль (кольцо) X называется подпрямым произведением фактормодулей (факторколец) X/Yp Если при этом хотя бы один из

Предварительные сведения

7

подмодулей (идеалов) Yi равен нулю, то подпрямое произведение называется тривиальным. Если              О
для всех i, то подпрямое произведение называется нетривиальным. Ненулевой модуль (кольцо) X называется подпрямо неразложимым, если X не является нетривиальным подпрямым произведением никаких своих фактормодулей (факторколец), т.е. пересечение всех ненулевых подмодулей (идеалов) в X не равно нулю. Это означает, что существует ненулевой подмодуль (идеал) в X, содержащийся в каждом ненулевом подмодуле (идеале) в X.

  1.3.1.  В подпрямо неразложимом модуле пересечение всех ненулевых подмодулей является простым модулем.

   1.3.2.  Каждый ненулевой модуль (каждое кольцо) являет

ся подпрямым произведением подпрямо неразложимых модулей (колец).
  1.4.   Существенные расширения и равномерные модули. Если X - подмодуль модуля М и X A Y ф 0 для любого ненулевого подмодуля Y в М, то X называется существенным в М и говорят, что М - существенное расширение модуля X. Если М - существенное расширение X, то X содержит любой простой подмодуль модуля М, М - существенное расширение любого существенного подмодуля Y модуля X и N - существенное расширение X Г\Х для любого подмодуля N в М. Модуль М называется равномерным, если любые два его ненулевых (циклических) подмодуля имеют ненулевое пересечение. Подмодуль N модуля М называется коравномерным, если М/N - равномерный модуль, т.е. если не существует таких строго содержащих N подмодулей X и Y в М, что X A Y = N.
  1.4.1.   Если N - существенный подмодуль модуля М, то для каждого гомоморфизма f: X М подмодуль /⁻¹(7V) существенен в X.

Предварительные сведения

   1.4.2.  Если Ма =       и каждый модуль Mi - существенное расширение некоторого модуля Xi, то М - существенное расширение модуля
   1.4.3.  Модуль М равномерен <Ф> М - существенное расширение любого своего ненулевого (циклического) подмодуля, что равносильно <=> М - существенное расширение равномерного модуля.
   1.4.4.  М - модуль с условием минимальности для прямых слагаемых ФУ М - модуль с условием максимальности для прямых слагаемых 4Ф кольцо End(M) не содержит бесконечного числа ненулевых ортогональных идемпотентов. При этих условиях М - конечная прямая сумма неразложимых модулей. В частности, если А - кольцо без бесконечных множеств ортогональных идемпотентов, то аА - модуль с условиями минимальности и максимальности для прямых слагаемых и модули Аа, а А являются конечными прямыми суммами неразложимых модулей.
   1.5. Условия максимальности и минимальности. Модуль М называется нетеровым (соотв. артиновым), если М не содержит бесконечных строго возрастающих (соотв. убывающих) цепей подмодулей. Модуль М является нетеровым (соотв. артиновым) в точности тогда, когда каждое непустое подмножество подмодулей в М содержит хотя бы один максимальный (соотв. минимальный) элемент. Модуль называется полунетеровым, если каждый его ненулевой подфактор имеет максимальный подмодуль. Все подфакторы любого гомоморфного образа каждого нетерова (соотв. артинова, полунетерова) модуля являются нетеровыми (соотв. артиновыми, полунетеровыми) модулями.
   Модуль М называется модулем (композиционной) длины n Е N, если либо М = 0 и тогда по определению п = 0, либо

Предварительные сведения

9

Lat(M) содержит конечную цепь 0 = Ло С Х\ С ... Хп = М с простыми фактормодулями X^/X^i, i =           Такая
цепь называется композиционным рядом модуля М, причем в этом случае М также называется модулем конечной длины.
  Если X - подмножество правого (соотв. левого) модуля М над кольцом А, то обозначим через тд(Х) = г(Х) правый аннулятор {« Е А | Ха = 0} (соотв. -£д(Х) = /(X) левый аннулятор {а Е А | аХ = 0}) подмножества X. Если X и Y - подмножества правого (соотв. левого) модуля М над кольцом А, то обозначим (Х’.У) = {а Е А | Ха СУ} (соотв. (У. ’ X) = {а Е А | аХ СУ}).
  Кольцо А называется кольцом с условием максимальности (минимальности) для правых аннуляторов, если А не содержит бесконечную строго возрастающую (строго убывающую) цепь правых идеалов, являющихся правыми аннуляторами подмножеств в А.
  1.5.1.   Пусть существует такая цепь 0 = Mq С М\ С ... С Mₙ-i С Мп = М подмодулей модуля М, что Mi/Mi-i - нетеровы (артиновы) модули при i = 1,...,п. Тогда М - нетеров (артинов) модуль. В частности, любая конечная прямая сумма нетеровых (артиновых) модулей - нетеров (артинов) модуль.
  1.5.2.   М - нетеров модуль в точности тогда, когда все подмодули в М конечнопорождены.
  1.5.3.   Если Q - кольцо, А - подкольцо в Q и X - подмножество в А, то
гд(Х) = А П tq(X), Zₐ(X) = An/Q(X), гД41(гл(*))) = гл(Х), 6(гЩХ))) = МД
  1.5.4.   А - кольцо с условием максимальности для правых аннуляторов ФУ А - кольцо с условием минимальности для левых аннуляторов ФУ А - подкольцо кольца с

Предварительные сведения

условием максимальности для правых аннуляторов -ФФ А - подкольцо кольца с условием минимальности для левых аннуляторов УУ для любого ненулевого идемпотента е Е А кольцо еАе удовлетиворяет условию максимальности для правых аннуляторов и условию минимальности для левых аннуляторов, причем каждое подмножество X С еАе содержит такое конечное подмножество X' = {xi,...,xₙ}, что £еАе(Х) = £(Х') = Л?₌₁£(хг).
  1.6.    Конечномерные и вполне конечномерные модули. Модуль называется конечномерным, если он не содержит бесконечных прямых сумм ненулевых подмодулей. Модуль называется вполне конечномерным, если все его фактомодули конечномерны.
  1.6.1.    Каждый нетеров или артинов модуль вполне конечномерен.
  1.6.2.    Все равномерные модули конечномерны, каждый подпрямо неразложимый (например, простой) модуль равномерен и Z^ - равномерный модуль, не являющийся подпрямо неразложимым.
  1.6.3.    Модуль М вполне конечномерен <=> все подфакторы модуля М конечномерны ФУ М не имеет подфактора, являющегося бесконечной прямой суммой простых модулей. (Утверждение следует из того, что каждый ненулевой подмодуль имеет простой подфактор.)
  1.6.4.    Модуль М вполне конечномерен ФУ каждый подмодуль X С М содержит такой конечнопорожденный подмодуль У, что модуль X/Y не имеет максимальных подмодулей.
  <. =У. Допустим противное. Существует такой подмодуль X в М, что каждый конечнопорожденный подмодуль в X лежит в максимальном подмодуле в X. Модуль X не является конечнопорожденным и содержит максимальный