Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB

Основы теории

вейвлетов

Вейвлеты в MATLAB

Н. К. Смоленцев

Издание третье, дополненное и переработанное

Допущено Министерством образования и науки

Российской Федерации в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений, обучающихся

по направления подготовки и специальностям

«Математика», «Математика. Прикладная математика»

Москва

УДК
519.6

ББК
В162я73
С51

С51
Смоленцев Н. К.
Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. – М.: ДМК Пресс, 2009. – 448 с.: ил.

ISBN 594074415X

Данная книга может служить учебником по теории вейвлетов и их применениям

в системе MATLAB.  В издание включены сведения по дискретному преобразованию Фурье, фильтрам и разложению сигналов, а также впервые в учебной литературе представлено построение вейвлетов с произвольным натуральным коэффициентом масштабирования N и дано изложение теории вейвлетов на однородных
пространствах. Кроме основ теории вейвлетов дается описание основных функций
вейвлетанализа в системе MATLAB. Рассмотрены примеры использования вейвлетанализа для исследования кардиосигналов и данных фондового рынка.

Книга предназначена студентам высших учебных заведений, специализирующимся  на изучении математики и инженерных наук, и будет полезна специалистампрактикам, использующим вейвлеты в своей работе.

УДК 519.6
ББК В162я73

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было

форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав.

Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но поскольку вероятность технических

ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать абсолютную точность и правильность
приводимых сведений. В связи с этим издательство не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги.

Смоленцев Николай Константинович

Основы теории вейвлетов

Вейвлеты в MATLAB

Главный редактор
Мовчан Д. А.

dm@dmkpress.ru

Корректор
Синяева Г. И.

Верстка
Чаннова А. А.

Дизайн обложки
Мовчан А. Г.

Подписано в печать 06.12.200 . Формат 70×100 1/16 . Гарнитура «Петербург».

Печать офсетная. Усл. печ. л. 42. Тираж 1500 экз.

Издательство ДМК Пресс

Webсайт издательства: www.dmkpress.ru

Internetмагазин: www.abook.ru

© Смоленцев Н. К., 2008

ISBN 594074415X
© Оформление, издание, ДМК Пресс, 2009

8

Краткое содержание

Предисловие ............................................................................. 12

Часть I

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕЙВЛЕТОВ ................................ 15

Глава 1

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ .......................................... 17

Глава 2

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕЙВЛЕТОВ ................................ 71

Часть II

ВЕЙВЛЕТЫ В MATLAB ...................................................... 243

Глава 3

ФУНКЦИИ ВЕЙВЛЕТАНАЛИЗА В MATLAB .... 245

Глава 4

ГЛАВНОЕ МЕНЮ
ПАКЕТА WAVELET TOOLBOX ....................................... 367

Приложение

СПИСОК ФУНКЦИЙ WAVELET TOOLBOX .........  439

Предметный указатель ................................................. 443

Список литературы ........................................................... 446

Содержание

Предисловие................................................................ 12

Часть I
Основы теории вейвлетов

Глава 1
Преобразование Фурье ......................................... 17

1.1. Предварительные понятия ................................... 18

1.2. Ряды Фурье .............................................................. 19

1.3. Преобразование Фурье ......................................... 23

1.3.1. Преобразование Фурье в L1(R) ............................... 24
1.3.2. Преобразование Фурье в L2(R) ............................... 25
1.3.3. Свойства преобразования Фурье ............................ 26
1.3.4. Примеры ................................................................. 28
1.3.5. Теорема ПэлиВинера ............................................. 29
1.3.6. Преобразование Фурье экспоненциально
убывающей функции ........................................................ 30
1.3.7. Формула суммирования Пуассона .......................... 30
1.3.8. Оконное преобразование Фурье ............................. 31
1.3.9. Преобразование Фурье обобщенных функций ........ 32
1.3.10. Примеры ............................................................... 35

1.4. Преобразование Фурье дискретных сигналов ... 35

1.4.1. Дискретизация........................................................ 35
1.4.2. Дискретное преобразование Фурье длины N .......... 38
1.4.3. Преобразование Фурье числовой
последовательности......................................................... 40
 1.4.4. Zпреобразование .................................................. 42

Содержание
5

1.4.5. Примеры ................................................................. 43

1.5. Фильтры ................................................................... 45

1.5.1. Фильтрация непрерывных сигналов ........................ 46
1.5.2. Примеры фильтров ................................................. 48
1.5.3. Цифровые фильтры................................................. 50
1.5.4. Примеры цифровых фильтров ................................. 51

1.6. Разложение сигнала на низкочастотную
и  высокочастотную составляющие ............................ 54

1.6.1. Разложение идеальными фильтрами....................... 55
1.6.2. Восстановление идеальными фильтрами ................ 59
1.6.3. Общий случай ......................................................... 60
1.6.4. Примеры ................................................................. 64
1.6.5. Многоуровневый анализ сигналов........................... 68

Глава 2
Основы теории вейвлетов .................................... 71

2.1. Вейвлеты Хаара ...................................................... 72

2.1.1. Масштабирующая последовательность
подпространств................................................................ 73
2.1.2. Пространства вейвлетов ......................................... 75
2.1.3. Операторы проектирования .................................... 79

2.2. Масштабирующие функции .................................. 82

2.2.1. Примеры и общие свойства масштабирующих
функций ........................................................................... 82
2.2.2. Построение масштабирующей функции .................. 86

2.3. Ортогональный кратномасштабный анализ ...... 92

2.3.1. Ортогональное кратномасштабное разложение ...... 92
2.3.2. Вейвлеты ................................................................ 96
2.3.3. О единственности порождающих функций ............ 101
2.3.4. Неортогональный случай....................................... 102

Основы теории вейвлетов
6

2.4. Примеры кратномасштабного анализа
и вейвлетов ................................................................... 106

2.4.1. Вейвлеты Шеннона–Котельникова ........................ 106
2.4.2. Вейвлеты Мейера.................................................. 109

2.5. Вейвлеты Батла–Лемарье. Bсплайны ............. 115

2.5.1. Вейвлеты на основе Bсплайна степени 1.............. 115
2.5.2. Bсплайны ............................................................. 119
2.5.3. Сплайновые вейвлеты ........................................... 122

2.6.  Вейвлетпреобразование .................................. 125

2.6.1. Вейвлетразложение............................................. 125
2.6.2. Быстрое вейвлетпреобразование ........................ 128
2.6.3. Вопрос о начальных коэффициентах ..................... 129
2.6.4. Восстановление .................................................... 130
2.6.5. Вейвлетпакеты .................................................... 132

2.7. Регулярность и нулевые моменты ..................... 136

2.8. Построение вейвлетов Добеши
с компактным носителем............................................ 142

2.8.1. Частотная функция ................................................ 143
2.8.2. Симлеты................................................................ 149

2.9.  Койфлеты .............................................................. 151

2.10. Биортогональные вейвлеты ............................. 154

2.10.1. Мотивировка и определение ............................... 154
2.10.2. Условия на функцию ϕ(x) ..................................... 156
2.10.3. Функция ψ(x) ....................................................... 157
2.10.4. Построение функции 
.................................... 158
2.10.5. Построение функций ψ(x) и 
.......................... 160
2.10.6. Условия на коэффициенты .................................. 161
2.10.7. Симметричные биортогональные вейвлеты ......... 162

Содержание
7

2.10.8. Сплайны .............................................................. 163

2.11. Двумерные вейвлеты ......................................... 166

2.12. Непрерывное вейвлетпреобразование ........ 170

2.12.1. Непрерывное вейвлетпреобразование
в одномерном случае ..................................................... 170
2.12.2. Многомерные обобщения непрерывного
вейвлетпреобразования ............................................... 173
2.12.3. Примеры двумерных вейвлетов ........................... 180
2.12.4. Вейвлеты на многообразиях ................................ 181

2.13. Вейвлеты с коэффициентом
масштабирования N .................................................... 191

2.13.1 Масштабирующие функции .................................. 192
2.13.2. Nкратномасштабное разложение ....................... 194
2.13.3. Вейвлеты с коэффициентом
масштабирования N ......................................................195
2.13.4.  Вейвлетпреобразование ................................... 196
2.13.5. Разложение и восстановление
в неортогональном случае .............................................. 198

2.14. Примеры Nмасштабирующих функций
и вейвлетов ................................................................... 201

2.14.1. Вейвлеты Хаара с параметром сжатия N..............201
2.14.2. Вейвлеты Котельникова–Шеннона
с параметром сжатия N .................................................205
2.14.3. Вырожденные масштабирующие функции
и вейвлеты Кантора ........................................................ 207
2.14.4. Сплайновые масштабирующие функции.............. 212
2.14.5. Вейвлеты на основе Всплайнов .......................... 215
2.14.6. Кратные коэффициенты масштабирования ......... 226

2.15. Построение ортогональных вейвлетов
с компактным носителем для N > 2........................... 230

Основы теории вейвлетов
8

2.15.1. Общие конструкции............................................. 231
2.14.2. Построение ортогональных вейвлетов
с компактным носителем для N = 3 ................................. 234
2.15.3. Примеры масштабирующих
функций и вейвлетов для N = 3........................................ 237

Часть II
Вейвлеты в MATLAB

Глава 3
Функции вейвлетанализа в MATLAB ........... 245

3.1. Вейвлеты в системе MATLAB .............................. 246

3.2. Фильтры вейвлетов .............................................. 256

3.2.1. Масштабирующие фильтры................................... 257
3.2.2. Фильтры разложения и восстановления ................ 259

3.3. Одноуровневое дискретное
одномерное вейвлетпреобразование .................... 261

3.4. Многоуровневый одномерный
вейвлетанализ............................................................. 265

3.5. Непрерывное вейвлетпреобразование cwt ... 272

3.6. Вейвлетпакеты .................................................... 276

3.7. Двумерное вейвлетпреобразование............... 286

3.7.1. Изображения в MATLAB ......................................... 286
3.7.2. Вейвлетпреобразования двумерных сигналов ..... 288
3.7.3.Основные функции двумерного
вейвлетпреобразования ............................................... 289

3.8. Удаление шума, компрессия .............................. 295

3.8.1. Обработка вейвлеткоэффициентов
для удаления шума ......................................................... 295
3.8.2. Функции MATLAB для удаления шума .................... 296

Содержание
9

3.9. Тестовые сигналы в MATLAB............................... 305

3.9.1. Одномерные тестовые сигналы ............................. 305
3.9.2. Изображения ........................................................ 306
3.9.3. Генерирование сигналов ....................................... 306

3.10. Новые возможности Wavelet Toolbox
версии 4.0 ...................................................................... 309

3.10.1. Создание вейвлетов для непрерывного
вейвлетпреобразования на основе образца .................. 310
3.10.2. Слияние (наложение) изображений ..................... 312
3.10.3. Дробное броуновское движение ......................... 316
3.10.4. Методы лифтинга построения новых вейвлетов .. 319
3.10.5. Анализ многомерных сигналов ............................ 321

3.11. Вейвлетанализ кардиосигнала....................... 331

3.11.1. Многоуровневый анализ кардиосигнала.............. 332
3.11.2.Непрерывный вейвлетанализ кардиосигнала...... 338
3.11.3. Удаление шума, компрессия и сглаживание
кардиосигнала................................................................ 343
3.11.4. Использование пакетных разложений ................. 345

3.12. Многоканальный вейвлетанализ
экономических данных................................................ 347

3.12.1. Многоуровневый анализ данных.......................... 347
3.12.2. Программы вейвлетразложения
и восстановления ........................................................... 365

Глава 4
Главное меню пакета Wavelet Toolbox ......... 367

4.1. Просмотр вейвлетов (Wavelet Display) .............. 369

4.2. Одномерный дискретный вейвлетанализ
(Wavelet 1D) .................................................................. 371

Основы теории вейвлетов
10

4.2.1. Вейвлетразложение............................................. 371
4.2.2. Выбор различных видов разложения (Display
mode) ............................................................................. 372
4.2.3. Статистические характеристики коэффициентов
разложения .................................................................... 374
4.2.4. Гистограммы (Histogram) ...................................... 376
4.2.5. Сжатие сигнала ..................................................... 377
4.2.6. Удаление шума...................................................... 378

4.3. Одномерный пакетный вейвлетанализ ........... 380

4.3.1. Вейвлетразложение............................................. 381
4.3.2. Возможности раздела для обработки сигнала ....... 381

4.4. Одномерный непрерывный вейвлетанализ
(Continuous Wavelet 1D).............................................. 384

4.4.1. Начало работы ...................................................... 384
4.4.2. Анализ результатов ............................................... 386

4.5. Комплексный одномерный непрерывный
вейвлетанализ (Complex Continuous Wavelet 1D) .... 387

4.6. Удаление шума стационарного одномерного
сигнала (SWT Denoising 1D)..................................... 390

4.6.1. Основные понятия................................................. 390
4.6.2. Работа с SWT Denoising 1D .................................. 392

4.7. Оценка плотности (Density Estimation 1D)....... 396

4.7.1. Идея алгоритма..................................................... 396
4.7.2. Работа с Density Estimation 1D .............................. 398

4.8. Оценка регрессии (Regression Estimation 1D) ... 400

4.8.1. Основные понятия................................................. 400
4.8.2. Работа с Regression Estimation 1D ........................ 401

4.9. Выбор вейвлеткоэффициентов сигнала
(Wavelet Coefficients Selection 1D) ............................ 402