Экономико-математическое методы и модели: компьютерное моделирование

Экономико-математические  

методы и модели:

компьютерное моделирование

Москва

Вузовский учебник — ИНФРА-М

2010

УчебНое пособИе

и.в. орлова 
в.а. половников

Допущено Учебно-методическим объединением 

по образованию в области статистики

в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся 
по специальности «Статистика» и другим

экономическим специальностям

Второе издание, исправленное и дополненное

УДК 338(075.8)
ББК 65.23я73
 
О66

Орлова И.В., Половников В.А. 
Экономико-математические методы и модели: компьютерное 
моделирование: Учеб. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: 
Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2010. — 366 с.

ISBN 978-5-9558-0140-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-003799-8 (ИНФРА-М)

Рассмотрены задачи математического моделирования экономических про
цессов на базе компьютерных технологий подготовки и принятия решений. 
В качестве инструментального средства моделирования используется стандартная офисная программа Excel. Изложены основные математические 
понятия и методы, используемые в экономике: матричная алгебра, методы 
оптимизации и решение оптимизационных задач, основы корреляционнорегрессионного анализа, математическое моделирование и анализ экономических процессов, представленных временными рядами.

Пособие содержит теоретическую часть и практические рекомендации по 

решению каждого типа задач. Материал каждой главы проиллюстрирован 
примерами и сопровождается подборкой задач для практических занятий. 

Для студентов и аспирантов всех экономических специальностей вузов при 

изучении ими курсов «Экономико-математические методы и модели», «Эконометрика», при выполнении выпускных квалификационных работ, а также 
для практических работников, занимающихся анализом текущего финансовоэкономического состояния и будущего развития фирм и предприятий.

О66

ББК 65.23я73

© Вузовский учебник, 

2010

ISBN 978-5-9558-0140-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-003799-8 (ИНФРА-М)

Авторы:
И.В. Орлова (главы 1–3, кроме подпараграфов 3.5.4, 3.5.5);
В.А. Половников (подпараграфы 3.5.4, 3.5.5)
Рецензенты:
кафедра «Исследование операций» Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (зав. кафедрой проф. 
И.Н. Мастяева);
д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры «Высшая и прикладная математика» 
Московского государственного университета пищевых продуктов 
В.В. Угрозов



Предисловие

Данное учебное пособие продолжает серию учебных изданий, 

предназначенных для развития у студентов практических навыков 
применения методов экономико-математического моделирования 
при решении конкретных экономических и финансовых задач с 
использованием компьютерных технологий. В книге представлена 
практическая технология компьютерного моделирования экономических систем, необходимая для понимания причинно-следственных связей в экономике, прогнозирования, планирования и 
принятия решений менеджерами.

Отличительной особенностью книги является то, что в ней из
ложены не только математические методы, но и возможность для 
их применения табличного процессора Microsoft Excel. Microsoft 
Excel позволяет реализовывать некоторые методы оптимизации, 
анализа временных рядов и корреляционно-регрессионный анализ. Несмотря на наличие других пакетов, в том числе специализированных, этот продукт является наиболее доступным, поэтому 
его применяют при решении многих прикладных задач и в качестве 
вспомогательного средства в дисциплинах, читаемых на кафедре 
экономико-математических методов и моделей. 

Учебное пособие составлено в соответствии с требованиями 

Государственных образовательных стандартов подготовки специалистов по специальностям «Бухгалтерский учет и аудит», «Менеджмент», «Финансы и кредит», «Маркетинг», «Экономика труда» 
и «Государственное и муниципальное управление».

Пособие состоит из трех глав. 
В первой главе «Применение матричной алгебры при решении 

экономических задач» рассмотрена технология выполнения операций над матрицами в среде Excel, приведены методы решения 
систем линейных уравнений. Глава содержит описание метода 
«затраты — выпуск» и примеры построения моделей международной торговли и межотраслевого баланса.

Во второй главе «Оптимизационные методы и модели» подроб
но рассмотрена технология решения задач оптимального использования ресурсов и специальных задач линейного программирования (транспортная задача, задача о назначениях, задачи целочисленного программирования) с помощью надстройки Excel 

Поиск решения. Большое внимание уделено анализу полученных 
оптимальных решений с помощью двойственных оценок. 

Особое внимание уделено эконометрике. В третьей главе «Эко
нометрические модели» приведены базовые понятия и методы 
эконометрики. Даны примеры построения моделей линейной и 
нелинейной регрессии, производственных функций. В этой главе 
рассмотрены возможности Excel для анализа и прогнозирования 
временных рядов. Детально описаны особенности применения 
важнейших специальных инструментов Пакета анализа, предназначенных для моделирования количественного и графического 
анализа. Примеры решения задач включают фрагмент или полный 
текст рабочего документа Excel, снабженный комментариями и 
краткими указаниями, помогающими реализовать решение задачи 
на компьютере.

Дополнительные теоретические сведения для более глубокого 

изучения того или иного раздела можно получить из книг, приведенных в списке литературы.

Учебное пособие включает в себя теоретическую часть, практи
ческие рекомендации по решению каждого типа задач, набор 
упражнений и контрольных вопросов для самостоятельной работы, 
что в значительной мере упрощает процесс усвоения материала и 
подготовки студентов к экзаменам.



Глава 1 

Применение матричной алгебры 

при решении экономических задач

1.1. Матрицы и действия  
над МатрицаМи

Матрицей А = (aij)m,n называется прямоугольная таблица чисел, 

содержащая m строк и n столбцов:

A

a
a
a

a
a
a

a
a
a

n

n

m
m
mn

=














11
12
1

21
22
2

1
2

...
...

...
...
...
...

...






.

Числа аij, i
m
= 1,
; j
n
= 1, , составляющие данную матрицу, назы
ваются ее элементами: i — номер строки матрицы; j — номер 
столбца.

Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n.
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие на глав
ной диагонали, равны единице (aii = 1, i
n
= 1, ), а остальные элемен
ты — нулю, называется единичной:

E =



















1
0
0

0
1
0

0
0
1

...
...

...
...
...
...

...

.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором
строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, — векторомстолбцом.

Две матрицы А = (аij)m,n и В = (bij)m,n равны, если равны их соот
ветствующие элементы, т.е. А = В тогда и только тогда, когда 
aij = bij, i
m
= 1,
; j
n
= 1, .

Суммой двух матриц А = (аij)m,n и В = (bij)m,n называется матрица 

С = А + В, элементы которой сij равны сумме соответствующих элементов аij и bij матриц А и В.



Произведением матрицы А = (аij)m,n на число α называется мат
рица В = αА, элементы которой bij равны

b
a
i
m j
n
ij
ij
=
=
=
α
,
,
;
, .
1
1

Матрица (-А) = (-1)А называется противоположной матрице А. 

Если матрицы А и В о д и н а к о в ы х  размеров, то их разность 
равна

А - В = А + (-В).

Произведением матрицы А порядка m × k на матрицу В порядка 

k × n называется матрица С = АВ порядка m × n, элементы которой 
сij равны

c
a b
a b
a b
i
m j
n
ij
i
j
i
j
ik kj
=
+
+
+
=
=
1 1
2 2
1
1
...
,
,
;
, .

Из данного выражения следует правило умножения матриц: что
бы получить элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го 
столбца матрицы С, необходимо все элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Произведение двух матриц н е  к о м м у т а т и в н о, т.е. в общем 

случае АВ ≠ ВА. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутативными. Так, единичная матрица Е коммутативна с любой 
квадратной матрицей того же порядка, причем АЕ = ЕА = А.

Пример 1.1.1. Найти произведение АВ матриц

A
B
= 





= 






2
3

5
1

4
6

7
8
,
.

Р е ш е н и е:

AB = 




 ⋅ 




 =
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅

⋅
+ ⋅
⋅
+ ⋅







2
3

5
1

4
6

7
8

2 4
3 7
2 6
3 8

5 4
1 7
5 6
1 8 = 






29
36

27
38 .

Пример 1.1.2. Найти произведение АВ матриц

A
B
=







=















3
2
1

4
2
0

2
5
1

1
3
2

4
0
5

,
.



Р е ш е н и е:

AB =
- ⋅
+
⋅ + ⋅
- ⋅
+
⋅
+ ⋅
- ⋅ +
⋅
+ ⋅

⋅
+ ⋅ +
⋅

3 2
2
1
1 4
3 5
2 3
1 0
3 1
2 2
1 5

4 2
2
1
0

(
)

(
) (
)
4
4 5
2
3
0 0
4 1
2
2
0 5

4
9
6

10
14
0

⋅
+ ⋅
+
⋅
⋅ + ⋅
+
⋅





 =

=






(
)
(
)

.

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы 

на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, 
замена столбцов матрицы на ее строки). Обозначение транспонированной матрицы: А′, Ат.

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие 

по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n-го порядка этой матрицы. Начнем 
с определителей второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

A
a
a

a
a
= 






11
12

21
22

,

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле

Δ2

11
12

21
22

11 22
12 21
=
=
a
a

a
a
a a
a a .

Пример 1.1.3. Вычислить определитель матрицы А: 

A = 






4
6

7
8 .

Р е ш е н и е:

|A| = 4 ⋅ 8 - 6 ⋅ 7 = -10.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Δ3

11
12
13

21
22
23

31
32
33

11 22 33
21 32 13
12 23

=
=

=
+
+

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
31
13 22 31
11 23 32
12 21 33
.



Пример 1.1.4. Вычислить определитель матрицы В: 

B =















2
5
1

1
3
2

4
0
5

.

Р е ш е н и е: 

|B| = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + (-1) ⋅ 0 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 ⋅ 4 - 1 ⋅ 3 ⋅ 4 - 2 ⋅ 2 ⋅ 0 - 5 ⋅ (-1) ⋅ 5 = 83.

Вычисление определителей n-го порядка производится на осно
вании свойств определителей и следующей теоремы: определитель 
равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их 
алгебраические дополнения:

A
a A
a A
a A
i
i
i
i
in
in
=
+
+
+
1
1
2
2
...
.

Алгебраическое дополнение Аij элемента aij равно

Аij = (-1)i+jMij,

где Мij — минор элемента аij, получаемый путем вычеркивания в 
определителе |A| i-й строки и j-го столбца.

Минором порядка r матрицы А называется определитель Mr, 

составленный из элементов, расположенных на пересечении 
r строк и r столбцов матрицы. Минор Mr, расположенный в 
 п е р в ы х  r строках и в п е р в ы х  r столбцах, называется угловым
или главным минором.

Пример 1.1.5. Вычислить два минора второго порядка матри
цы A:

A =















1
2
3

5
4
3

0
1
2

.

Р е ш е н и е. Первый минор M2 расположен на пересечении пер
вой и третьей строк и второго и третьего столбцов:

M2

2
3

1
2
1
=
= ;

второй минор M2 является главным минором второго порядка. Он 
расположен на пересечении первых двух строк и первых двух 
столбцов:



M2

1
2

5
4
6
=
= - .

Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной к мат
рице А, если она удовлетворяет соотношению:

A
A
AA
E
=
=
1
1
.

Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной

(неособенной), если ее определитель отличен от нуля. В противном 
случае матрица А называется вырожденной (особенной).

Для всякой невырожденной матрицы А = (аij) существует 

е д и н с т в е н н а я  обратная матрица, равная

A
A A
- =
1
1
*,

где А* — присоединенная матрица, (i, j)-й элемент которой есть 
алгебраическое дополнение Aji элемента aji матрицы А:

A

A
A
A

A
A
A

A
A
A

n

n

n
n
nn

*

...
...

...
...
...
...

...

=











11
21
1

12
22
2

1
2







.

Первый способ нахождения обратной матрицы рассмотрим на 

конкретном примере.

Пример 1.1.6. Вычислить обратную матрицу для матрицы A:

A = 






4
6

7
8 .

Р е ш е н и е. Определитель матрицы |A| = 4 ⋅ 8 - 6 ⋅ 7 = -10 ≠ 0.
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, для 

матрицы А существует единственная обратная матрица. Вычислим 
присоединенную матрицу А*:

A11 = 8,  A12 = -7,  A21 = -6,  A22 = 4,

т.е. 

A*
.
=








8
6

7
4

Тогда

A- = 






 =



















=
1
1
10

8
6

7
4

8
10

6
10

7
10

4
10

0 8
0 6

0

,
,

,
,
.
7
0 4







Проверкой убеждаемся, что АА-1 = Е.

Второй способ нахождения обратной матрицы. Обратную матри
цу можно вычислить на основании следующих элементарных преобразований (преобразований Жордана — Гаусса) над строками 
матрицы:

перемена местами двух строк;
умножение строки матрицы на любое число, отличное от 
нуля;
прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число, отличное от нуля.
Для того чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы А, 

необходимо составить матрицу B = (A|E), затем путем элементарных преобразований привести матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу А-1.

Пример 1.1.7. Вычислить обратную матрицу для матрицы А:

A =















1
3
4

1
0
0

2
6
12

.

Р е ш е н и е. Составим матрицу В(0) вида

B( )
.
0

1
3
4
1
0
0

1
0
0
0
1
0

2
6
12
0
0
1

=















Элемент b11

(0) = 1 и первую строку, содержащую данный элемент, 

назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный столбец с единицей в первой строке. Для этого ко второй и 
третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и -2. В результате данных преобразований получим 
матрицу

•
•

•