Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ:
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Москва
Вузовский учебник — ИНФРА-М
2024
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
И.В. Орлова
В.А. Половников
Допущено Учебно-методическим объединением 
по образованию в области статистики
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся 
по специальности «Статистика» и другим
экономическим специальностям
Третье издание, переработанное и дополненное

УДК 338(075.8)
ББК 65.23я73
 
О66
Орлова И.В. 
      Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование : учебное пособие / И.В. Орлова, В.А. Половников . — 3-е изд., перераб. и доп. — Москва : Вузовский учебник : 
ИНФРА-М, 2024. — 389 с.
ISBN 978-5-9558-0208-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-004897-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-101114-0 (ИНФРА-М, online)
Рассмотрены задачи математического моделирования экономических процессов на базе компьютерных технологий подготовки и принятия решений. 
В качестве инструментального средства моделирования используется стандартная офисная программа Excel. Изложены основные математические 
понятия и методы, используемые в экономике: матричная алгебра, методы 
оптимизации и решение оптимизационных задач, основы корреляционно-регрессионного анализа, математическое моделирование и анализ экономических 
процессов, представленных временными рядами.
Для студентов и аспирантов экономических специальностей и направлений 
«Экономика» и «Менеджмент» при изучении ими курсов «Экономико-математические методы и модели», «Методы оптимальных решений», «Математические методы в экономике» и «Эконометрика», при выполнении выпускных 
квалификационных работ, а также для практических работников, занимающихся анализом текущего финансово-экономического состояния и будущего 
развития фирм и предприятий.
О66
УДК 338(075.8)
ББК 65.23я7
© Вузовский учебник, 
2011
ISBN 978-5-9558-0208-4 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-004897-0 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-101114-0 (ИНФРА-М, online)
Авторы: 
И.В. Орлова (главы 1–3, кроме подпараграфов 3.5.4, 3.5.5, приложения);
В.А. Половников (подпараграфы 3.5.4, 3.5.5)
Рецензенты: 
кафедра «Исследование операций» Московского государственного 
 университета экономики, статистики и информатики (зав. кафедрой 
проф. И.Н. Мастяева);
д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры «Высшая и прикладная математика» 
Московского государственного университета пищевых продуктов 
В.В. Угрозов

Предисловие
Данное учебное пособие продолжает серию учебных изданий, 
предназначенных для развития у студентов практических навыков 
применения методов экономико-математического моделирования 
при решении конкретных экономических и финансовых задач с 
использованием компьютерных технологий. В книге представлена 
практическая технология компьютерного моделирования экономических систем, необходимая для понимания причинно-следственных связей в экономике, прогнозирования, планирования и 
принятия решений менеджерами.
Отличительной особенностью книги является то, что в ней изложены не только математические методы, но и возможность для 
их применения табличного процессора Microsoft Excel. Microsoft 
Excel позволяет реализовывать некоторые методы оптимизации, 
анализа временных рядов и корреляционно-регрессионный анализ. Несмотря на наличие других пакетов, в том числе специализированных, этот продукт является наиболее доступным, поэтому 
его применяют при решении многих прикладных задач и в качестве 
вспомогательного средства в дисциплинах, читаемых на кафедре 
экономико-математических методов и моделей. 
Учебное пособие составлено в соответствии с требованиями 
государственных образовательных стандартов подготовки специалистов по специальностям «Бухгалтерский учет и аудит», «Менеджмент», «Финансы и кредит», «Маркетинг», «Экономика труда», 
«Государственное и муниципальное управление» и направлениям 
«Экономика», «Менеджмент».
Пособие состоит из трех глав. 
В первой главе «Применение матричной алгебры при решении 
экономических задач» рассмотрена технология выполнения операций над матрицами в среде Excel, приведены методы решения 
систем линейных уравнений. Глава содержит описание метода «затраты — выпуск» и примеры построения моделей международной 
торговли и межотраслевого баланса.
Во второй главе «Оптимизационные методы и модели» подробно рассмотрена технология решения задач оптимального использования ресурсов и специальных задач линейного программирования (транспортная задача, задача о назначениях, задачи целочисленного программирования) с помощью надстройки Excel 

Поиск решения. Большое внимание уделено анализу полученных 
оптимальных решений с помощью двойственных оценок. 
Особое внимание уделено эконометрике. В третьей главе «Эконометрические модели» приведены базовые понятия и методы 
эконометрики. Даны примеры построения моделей линейной и 
нелинейной регрессии, производственных функций. В этой главе 
рассмотрены возможности Excel для анализа и прогнозирования 
временных рядов. Детально описаны особенности применения 
важнейших специальных инструментов Пакета анализа, предназначенных для моделирования количественного и графического 
анализа. Примеры решения задач включают фрагмент или полный 
текст рабочего документа Excel, снабженный комментариями и 
краткими указаниями, помогающими реализовать решение задачи 
на компьютере.
Дополнительные теоретические сведения для более глубокого 
изучения того или иного раздела можно получить из книг, приведенных в списке литературы.
Учебное пособие включает в себя теоретическую часть, практические рекомендации по решению каждого типа задач, набор 
упражнений и контрольных вопросов для самостоятельной работы, 
что в значительной мере упрощает процесс усвоения материала и 
подготовки студентов к экзаменам.

Глава 1  
Применение матричной алгебры  
при решении экономических задач
1.1. Матрицы и действия  
над матрицами
Матрицей А = (aij)m,n называется прямоугольная таблица чисел, 
содержащая m строк и n столбцов:
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
m
m
mn
=








11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...




.
Числа аij, i
m
= 1,
;  j
n
= 1, , составляющие данную матрицу, называются ее элементами: i — номер строки матрицы; j — номер 
столбца.
Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n.
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие на главной диагонали, равны единице (aii = 1, i
n
= 1, ), а остальные элементы — нулю, называется единичной:
E =












1
0
0
0
1
0
0
0
1
...
...
...
...
...
...
...
.
Матрица, состоящая из одной строки, называется векторомстрокой, а матрица, состоящая из одного столбца, — векторомстолбцом.
Две матрицы А = (аij)m,n и В = (bij)m,n равны, если равны их соответствующие элементы, т.е. А = В тогда и только тогда, когда 
aij = bij, i
m
= 1,
;  j
n
= 1, .
Суммой двух матриц А = (аij)m,n и В = (bij)m,n называется матрица 
С = А + В, элементы которой сij равны сумме соответствующих элементов аij и bij матриц А и В.

Произведением матрицы А = (аij)m,n на число α называется матрица В = αА, элементы которой bij равны
i
m j
n
ij
ij
=
=
=
α
,
,
;
, .
1
1
Матрица (-А) = (-1)А называется противоположной матрице А. 
Если матрицы А и В о д и н а к о в ы х  размеров, то их разность 
равна
А - В = А + (-В).
Произведением матрицы А порядка m × k на матрицу В порядка 
k × n называется матрица С = АВ порядка m × n, элементы которой 
сij равны
c
a b
a b
a b
i
m j
n
ij
i
j
i
j
ik kj
=
+
+
+
=
=
1 1
2 2
1
1
...
,
,
;
, .
Из данного выражения следует правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го 
столбца матрицы С, необходимо все элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.
Произведение двух матриц н е  к о м м у т а т и в н о, т.е. в общем 
случае АВ ≠ ВА. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутативными. Так, единичная матрица Е коммутативна с любой 
квадратной матрицей того же порядка, причем АЕ = ЕА = А.
Пример 1.1.1. Найти произведение АВ матриц
A
B
= 



= 



2
3
5
1
4
6
7
8
,
.
Р е ш е н и е:
AB = 


⋅


=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+ ⋅
⋅
+ ⋅




2
3
5
1
4
6
7
8
2 4
3 7
2 6
3 8
5 4
1 7
5 6
1 8= 



29
36
27
38 .
Пример 1.1.2. Найти произведение АВ матриц
A
B
=
−
−




=
−








3
2
1
4
2
0
2
5
1
1
3
2
4
0
5

Р е ш е н и е:
AB =
−⋅
+
⋅−
+ ⋅
−⋅
+
⋅
+ ⋅
−⋅+
⋅
+ ⋅
⋅
+ −
⋅−
+
⋅
3 2
2
1
1 4
3 5
2 3
1 0
3 1
2 2
1 5
4 2
2
1
0
(
)
(
) (
)
4
4 5
2
3
0 0
4 1
2
2
0 5
4
9
6
10
14
0
⋅
+ −
⋅
+
⋅
⋅+ −
⋅
+
⋅



=
= −
−




(
)
(
)
.
Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы 
на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, 
замена столбцов матрицы на ее строки). Обозначение транспонированной матрицы: А′, Ат.
Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие 
по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n-го порядка этой матрицы. Начнем 
с определителей второго и третьего порядков.
Пусть дана матрица
A
a
a
a
a
= 



11
12
21
22
,
тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле
∆2
11
12
21
22
11 22
12 21
=
=
−
a
a
a
a
a a
a a .
Пример 1.1.3. Вычислить определитель матрицы А: 
A = 



4
6
7
8 .
Р е ш е н и е:
|A| = 4 ⋅ 8 - 6 ⋅ 7 = -10.
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
∆3
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11 22 33
21 32 13
12 23
=
=
=
+
+
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
31
13 22 31
11 23 32
12 21 33
−
−
−

Пример 1.1.4. Вычислить определитель матрицы В: 
B =
−








2
5
1
1
3
2
4
0
5
.
Р е ш е н и е: 
|B| = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + (-1) ⋅ 0 ⋅ 1 + 5 ⋅ 2 ⋅ 4 - 1 ⋅ 3 ⋅ 4 - 2 ⋅ 2 ⋅ 0 - 5 ⋅ (-1) ⋅ 5 = 83.
Вычисление определителей n-го порядка производится на основании свойств определителей и следующей теоремы: определитель 
равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их 
алгебраические дополнения:
A
a A
a A
a A
i
i
i
i
in
in
=
+
+
+
1
1
2
2
...
.
Алгебраическое дополнение Аij элемента aij равно
Аij = (-1)i+jMij,
где Мij — минор элемента аij, получаемый путем вычеркивания в 
определителе |A|  i-й строки и j-го столбца.
Минором порядка r матрицы А называется определитель Mr, 
составленный из элементов, расположенных на пересечении 
r строк и r столбцов матрицы. Минор Mr, расположенный в 
п е р в ы х  r строках и в п е р в ы х  r столбцах, называется угловым 
или главным минором.
Пример 1.1.5. Вычислить два минора второго порядка матрицы A:
A =








1
2
3
5
4
3
0
1
2
.
Р е ш е н и е. Первый минор M2 расположен на пересечении первой и третьей строк и второго и третьего столбцов:
M2
2
3
1
2
1
=
= ;
второй минор M2 является главным минором второго порядка. Он 
расположен на пересечении первых двух строк и первых двух 
столбцов:

M2
5
4
6
=
= −.
Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной к матрице А, если она удовлетворяет соотношению
A
A
AA
E
−
−
=
=
1
1
.
Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной 
(неособенной), если ее определитель отличен от нуля. В противном 
случае матрица А называется вырожденной (особенной).
Для всякой невырожденной матрицы А = (аij) существует 
е д и н с т в е н н а я  обратная матрица, равная
A
A A
−=
1
1
*,
где А* — присоединенная матрица, (i, j)-й элемент которой есть 
алгебраическое дополнение Aji элемента aji матрицы А:
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
n
n
n
n
nn
*
...
...
...
...
...
...
...
=







11
21
1
12
22
2
1
2





.
Первый способ нахождения обратной матрицы рассмотрим на 
конкретном примере.
Пример 1.1.6. Вычислить обратную матрицу для матрицы A:
A = 



4
6
7
8 .
Р е ш е н и е. Определитель матрицы |A| = 4 ⋅ 8 - 6 ⋅ 7 = -10 ≠ 0.
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, для 
матрицы А существует единственная обратная матрица. Вычислим 
присоединенную матрицу А*:
A11 = 8,    A12 = -7,    A21 = -6,    A22 = 4,
т.е. 
A*
.
=
−
−




8
6
7
4

Тогда
A−= −
−
−



=
−
−
−
−
−
−










=
−
1
1
10
8
6
7
4
8
10
6
10
7
10
4
10
0 8
0 6
0
,
,
,
,
.
7
0 4
−




Проверкой убеждаемся, что АА-1 = Е.
Второй способ нахождения обратной матрицы. Обратную матрицу можно вычислить на основании следующих элементарных преобразований (преобразований Жордана — Гаусса) над строками 
матрицы:
•	 перемена местами двух строк;
•	 умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля;
•	 прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число, отличное от нуля.
Для того чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы А, 
необходимо составить матрицу B = (A|E), затем путем элементарных преобразований привести матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу А-1.
Пример 1.1.7. Вычислить обратную матрицу для матрицы А:
A =
−








1
3
4
1
0
0
2
6
12
.
Р е ш е н и е. Составим матрицу В(0) вида
B( )
.
0
1
3
4
1
0
0
1
0
0
0
1
0
2
6
12
0
0
1
=
−








Элемент b11
(0) = 1 и первую строку, содержащую данный элемент, 
назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный столбец с единицей в первой строке. Для этого ко второй и 
третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и -2. В результате данных преобразований получим 
матрицу