Геометрический калейдоскоп

Борис Прицкер
Геометрический  
калейдоскоп

GEOMETRICAL 
KALEIDOSCOPE
Boris Pritsker
NEW JERSEY • LONDON • SINGAPORE • BEIJING • SHANGHAI • HONG KONG • TAIPEI • CHENNAI • TOKYO

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ 
КАЛЕЙДОСКОП
Борис Прицкер
Москва, 2025

УДК	 514
ББК	 22.151
П77
Прицкер Б.
П77	
Геометрический калейдоскоп / пер. с англ. Ю. В. Ревича. – М.: 
ДМК Пресс, 2025. – 198 с.: ил. 
ISBN 978-5-93700-357-7
Эта книга рассказывает о наиболее увлекательных аспектах геометрии и раскрывает множество интересных геометрических закономерностей. Несмотря на разнообразие представленных задач, они не 
выходят за рамки базовых знаний, охватывающих учебную программу 
по геометрии средней школы. Также представлены многочисленные 
задания для самостоятельной тренировки, а их решения приводятся 
в конце книги.
Издание адресовано широкому кругу любителей интеллектуального 
досуга и может быть полезно руководителям математических кружков 
и преподавателям математики.
УДК  514
ББК  22.151
All rights reserved. This book, or parts thereof, may not be reproduced in any 
form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording 
or any information storage and retrieval system now known or to be invented, 
without written permission from the Publisher.
Russian translation arranged with World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 
Singapore.
Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами 
без письменного разрешения владельцев авторских прав.
ISBN 978-9-81128-560-8 (англ.)	
Copyright © 2024 by World 
Scientific Publishing Co Pte Ltd.
ISBN 978-5-93700-357-7 (рус.)	
©  Перевод, оформление, издание, 
ДМК Пресс, 2025

Содержание  5
СОДЕРЖАНИЕ
От издательства............................................................................................ 7
Предисловие....................................................................................................... 8
Об авторе........................................................................................................ 12
Глава 1	
Медианы, геометрический центр и центр масс 
системы точек......................................................................... 14
Глава 2	
Высоты, ортоцентр треугольника и некоторые 
его свойства............................................................................. 28
Глава 3	
Ортоцентрический треугольник и его свойства............. 44
Глава 4	
Биссектрисы треугольника и их свойства........................ 59
Глава 5	
Площадь четырехугольника................................................ 71
Глава 6	
Теорема об отношении площадей подобных 
многоугольников.................................................................... 87
Глава 7	
Применение вращения при решении задач 
как ключевой прием.............................................................. 98
Глава 8	
Вспомогательные элементы в решении задач.............. 108
Глава 9	
Родственные построения................................................... 123

Глава 10	
Одна интересная задача построения и несколько 
ее решений............................................................................. 138
Глава 11	
Альтернативные доказательства теоремы  
Пифагора................................................................................ 150
Глава 12	
Теорема Морли...................................................................... 163
Глава 13	
Решения задач и упражнений........................................... 170
Приложение. Основные избранные определения, формулы 
и теоремы...................................................................................................... 186
Литература.................................................................................................. 193
Предметный указатель.............................................................................. 196

От издательства  7
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Отзывы и пожелания
Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что вы думаете 
об этой книге – что понравилось или, может быть, не понравилось. Отзывы 
важны для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально 
полезны.
Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.com, зайдя на 
страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». 
Также можно послать письмо главному редактору по адресу dmkpress@gmail.
com; при этом укажите название книги в теме письма. 
Если вы являетесь экспертом в  какой-либо области и  заинтересованы 
в написании новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://
dmkpress.com/authors/publish_book/ или напишите в  издательство по адресу 
dmkpress@gmail.com.
Список опечаток
Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое качество наших текстов, ошибки все равно случаются. Если вы найдете 
ошибку в одной из наших книг, мы будем очень благодарны, если вы сообщите о ней главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com. Сделав это, 
вы избавите других читателей от недопонимания и поможете нам улучшить 
последующие издания этой книги. 
Нарушение авторских прав
Пиратство в  интернете по-прежнему остается насущной проблемой. Издательство «ДМК Пресс» очень серьезно относится к вопросам защиты авторских прав и лицензирования. Если вы столкнетесь в интернете с незаконной 
публикацией какой-либо из наших книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на 
интернет-ресурс, чтобы мы могли применить санкции.
Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу электронной почты dmkpress@gmail.com.
Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря 
которой мы можем предоставлять вам качественные материалы.

8  Предисловие
ПРЕДИСЛОВИЕ
В геометрии нет царских путей!
Эвклид, IV до н. э.
«Я больше не могу!» — мой старший сын Алекс отложил домашнее задание по геометрии. — «И пожалуйста, не говори мне, что я когда-нибудь воспользуюсь этим кошмаром где-нибудь, как-нибудь в жизни!» 
Мои героические попытки объяснить ему решение задачи о свойствах биссектрисы треугольника с треском провалились. 
«Тебе должно быть стыдно за себя. Я недавно опубликовал статью 
о свойствах биссектрисы, — (см. главу 4), — а у тебя не хватает терпения даже меня выслушать». 
Я привел этот последний аргумент, пытаясь привлечь его внимание к этой теме. Внезапно в его глазах вспыхнула искра, и он посмотрел на меня с явным выражением интереса на лице.
«Могу я это увидеть?»

Предисловие  9
«Конечно, вот оно», — я очень гордился собой.
Он просмотрел статью, прочитал несколько абзацев, а затем терпеливо позволил мне закончить объяснение решения его домашнего задания. 
«Не мог бы ты сделать для меня копию этой статьи?» — спросил 
он, когда мы закончили делать домашнее задание. Это было настоящее удовольствие — услышать от него что-то подобное. Очевидно, 
ребенок хотел показать копию своим школьным друзьям и завоевать популярность благодаря математическим способностям отца.
Через несколько дней он вернулся из школы и рассказал мне, что 
получил пятерку за свою последнюю контрольную по геометрии. 
Мои усилия наконец окупились, и я был очень счастлив в течение 
нескольких дней. Потом я встретил его школьного друга. Он рассказал мне правдивую историю о том, как была получена пятерка.
Алекс — очень хороший теннисист. Его интересы всегда были связаны со спортом, и он никогда не был хорошим учеником по математике. Недостаток знаний и желания изучать предмет он компенсировал шутками и рассказами забавных историй во время занятий. 
Учителям всегда было трудно заставить его замолчать. Кстати, он ни 
разу не упомянул на уроках, что его отец был профессиональным 
математиком.
В тот день он раздражал учителя больше, чем обычно. В конце занятия Алекс объявил, что ему не нужно делать домашнее задание, 
поскольку он просто изучал эти свойства вместе со своим отцом, читая опубликованную статью в математическом журнале. Очевидно, 
было трудно представить, что он говорит правду.
«Мне надоели твои фантазии. На этот раз я преподам тебе урок. 
Если ты принесешь эту статью завтра в класс, получишь пятерку на 
следующей контрольной, даже не выполняя ее. Но если у тебя статьи 
нет, домашнее задание увеличится втрое, и тебе придется сдавать 
мне каждую задачу», — сказал учитель.
Желание учителя посмеяться над этим назойливым подростком 
было вполне понятно.
Вы знаете конец истории. Учитель сдержал свое слово.
Это был пока единственный опыт моего сына по использованию 
геометрии в реальной жизни. Признаюсь, хотя на уроках геометрии 
он и не преуспел, но методы, которым я его учил, он применял. Как 
насчет введения вспомогательных элементов (см. главу 8) для достижения цели получить хорошую оценку, не прилагая при этом осо

10  Предисловие
бых усилий? Он использовал мою публикацию как вспомогательный 
элемент, чтобы спровоцировать учителя. Проблему получения хорошей оценки решали, не углубляясь в материал, даже без выполнения 
контрольного задания.
Прошло много лет. Алекс — взрослый мужчина, у него теперь своя 
семья. Когда мы оба вспоминаем эту забавную историю, он сожалеет, 
что не уделил больше времени математическим темам, и признает 
неоспоримую пользу изучения геометрии для развития и укрепления логического мышления.
Нет необходимости упоминать о важности математики, в том числе геометрии, в дошкольном образовании. Однако для многих детей 
математика зачастую является самым трудным предметом, и  они 
теряют интерес и мотивацию.
Я надеюсь, что методы и концепции, обсуждаемые в книге, побудят читателей исследовать незнакомые или малоизвестные аспекты геометрии. Моей целью было пригласить к  геометрии тех, кто 
страстно любит великий мир математики и восхищается им, в том 
числе моего младшего сына Брайана, который только что с отличием окончил колледж со степенью бакалавра по математике (очень 
горжусь им!). Его интерес к  математике был одним из факторов, 
вдохновивших меня на создание этой книги. Он также оказал мне 
большую помощь при редактировании нескольких глав, и я благодарен ему за это.
Обычно мы испытываем самые большие трудности в начале процесса решения проблемы. С чего начать? Как вообще можно связать 
воедино условия задачи? Я думаю, ответом на эти типичные вопросы будет «распознать» проблему сразу после ее обнаружения. Под 
«распознаванием» я подразумеваю способность идентифицировать 
ее тип и определить наиболее важные из заданных условий, которые можно использовать в  качестве кирпичиков при построении 
логической цепочки. Эта книга посвящена геометрическому мышлению — что оно означает, как его развивать и как его распознавать.
Платон, один из величайших философов в истории человечества, 
вывесил перед своей Академией лозунг: «Пусть не войдет сюда никто, не знающий геометрии».
Цель этой книги — дать представление о некоторых интересных 
и увлекательных аспектах геометрии и раскрыть множество интересных геометрических свойств. Темы охватывают хорошо известные 
свойства и теоремы, в том числе классические примеры, такие как за