Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности

А.А. Прокофьев, Е.А. Разинкова
ОТЛИЧНИК ЕГЭ 
МАТЕМАТИКА 
Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности 
Москва 
Издательство «Интеллект-Центр» 
2026 
Электронное издание

УДК 373.167.1:51(075.3)
ББК 22.1я721
П80 
Рецензенты:
Е. В. Лукьянова – кандидат педагогических наук, 
доцент кафедры математического анализа им. П.С. Новикова ИМИИ МПГУ, 
учитель высшей категории;
Т. Н. Казарихина – кандидат педагогических наук, 
учитель математики и информатики высшей квалификационной категории, 
заместитель директора АНО СОШ «Димитриевская», доцент МПГУ
П80 
Прокофьев, А. А.
Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности : учебное пособие / А. А. Прокофьев, Е. А. Разинкова. — Эл. изд. — 1 файл pdf : 195 с. — 
Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2026. — (Отличник ЕГЭ). — Систем. 
требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : 
электронный.
ISBN 978-5-908080-12-5
Данное пособие создано в помощь старшеклассникам, учителям и родителям при подготовке к решению задач с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности, входящих во вторую часть вариантов ЕГЭ по математике профильного уровня. 
В пособие включены необходимые для этого основные теоретические сведения и решения 
отдельных задач, критерии оценивания и советы по оформлению каждого из заданий второй части. Также читатель найдёт в пособии большое количество заданий для самостоятельного решения, аналогичных заданиям, предлагаемым на экзамене.
Внимательная и вдумчивая работа с этой книгой позволит укрепить знания и развить 
навыки, необходимые для получения самых высоких баллов на ЕГЭ по математике профильного уровня.
УДК 373.167.1:51(075.3) 
ББК 22.1я721
Электронное издание на основе печатного издания: Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности : учебное пособие / А. А. Прокофьев, Е. А. Разинкова. — 
Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2026. — 192 с. — (Отличник ЕГЭ). — ISBN 9785-907985-35-3. — Текст : непосредственный.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими 
средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения 
убытков или выплаты компенсации.
ISBN 978-5-908080-12-5
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2026
© А. А. Прокофьев, Е. А. Разинкова, 2025

ВСТУПЛЕНИЕ 
Получение максимальных баллов за решения заданий с развёрнутым ответом второй части ЕГЭ 
по математике профильного уровня возможно только при условии проведения регулярной подготовки, в процессе которой часто возникает необходимость вспомнить какие-то формулы или теоремы, 
посмотреть примеры решения аналогичных задач или научиться правильно оформлять свои решения 
с учётом критериев оценивания, которыми пользуются эксперты при проверке экзаменационных работ. Всё вышеперечисленное включено в пособие, которое вы держите в руках. 
Каждая из семи глав пособия посвящена отдельному заданию КИМ ЕГЭ повышенного или высокого уровней сложности с развёрнутым ответом. В начале каждой главы читатель может ознакомиться с кратким описанием особенностей рассматриваемого задания и с критериями его оценивания, а также с описанием моментов, на которые стоит обратить внимание при решении задач такого 
типа, и списком основных ошибок, часто совершаемых экзаменуемыми. Понимание того, на что надо 
обращать внимание при работе с заданиями с развёрнутым ответом, поможет избежать повторения 
чужих ошибок. 
В пособии приведены разборы базовых задач и задач, аналоги которых чаще других вызывают 
трудности при решении. При осуществлении самостоятельной подготовки важно прочитывать эти 
разборы, записывая параллельно их решение в тетради. Так будет легче запоминать основные моменты. Авторы старались максимально подробно приводить примеры решений, за исключением, может 
быть, решений квадратных уравнений. Стоит учесть, что математические задачи часто имеют несколько способов решения, в пособии же даны отдельные способы, наиболее понятные выпускникам 
либо интересные с математической точки зрения.  
Все главы разделены на тематические параграфы, в заключении каждого из которых присутствует раздел «Задания для самостоятельного решения». Содержание всех задач этих разделов соответствует содержанию курса математики профильного уровня средней школы и спецификации экзамена 
по математике, опубликованной на сайте Федерального института педагогических измерений 
(https://fipi.ru). Многие задачи имеют парную задачу, идентичную по содержанию, но имеющую другие числовые данные. Это сделано для помощи учителю в организации отработки пройденного материала. 
Авторы, имеющие большой опыт участия в проверке экзаменационных работ в качестве экспертов и ещё больший преподавательский опыт подготовки к Единому государственному экзамену 
по математике профильного уровня старшеклассников с разными начальными математическими способностями, уверены, что данное пособие станет незаменимым помощником всем заинтересованным 
читателям, каждый из которых обязательно найдёт в книге для себя что-то новое или полезное. 
Желаем усердия и сил при подготовке к экзамену! 
Всё получится! 

 
ГЛАВА 1 
УРАВНЕНИЯ И ОТБОР КОРНЕЙ 
 
Самым простым заданием на ЕГЭ по профильной математике традиционно является задание, в 
пункте а которого требуется решить уравнение (тригонометрическое, показательное, логарифмическое или комбинированное), а затем в пункте б произвести отбор корней этого уравнения, принадлежащих заданному числовому промежутку.  
При проверке решения таких заданий эксперты руководствуются следующими критериями. 
 
Содержание критерия 
Баллы 
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах  
2 
Обоснованно получен верный ответ в пункте а 
ИЛИ 
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная 
последовательность всех шагов решения обоих пунктов 
1 
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 
0 
Максимальный балл  
2 
 
Важно! 
 
1. При решении уравнений переходы от одной записи к другой должны быть равносильными.  
 
2. Ответы к пунктам а и б должны содержать все найденные решения.  
 
3. Если в первом пункте необоснованно получен верный ответ или получен неверный ответ, то за решение пункта б выставляется 0 баллов, даже при наличии ответа к нему, совпадающего с приведённым в критериях.  
 
4. Решение второго пункта должно содержать следы отбора корней. В случае их отсутствия, даже при 
наличии ответа, совпадающего с приведённым в критериях, за решение пункта б будет выставлено 
0 баллов.  
 
5. Для получения 1 балла допускается только одна (!) вычислительная ошибка, являющаяся ошибкой 
при выполнении одного из следующих действий: сложения, вычитания, умножения или деления. 
 
Основные ошибки  
 
1) Вычислительные ошибки. 
2) Ошибки при использовании тригонометрических формул. 
3) Отсутствие следов отбора корней или ошибки в оформлении этого этапа решения. 
4) Ошибки в действиях с корнями, степенями и логарифмами. 
 
§1.1. Способы отбора значений переменной из заданного промежутка 
 
Одно из заданий ЕГЭ содержит пункт, в котором необходимо отобрать из множества найденных корней уравнения те, которые принадлежат указанному в условии промежутку. Этот отбор можно производить разными способами, но в каждом из них есть свои нюансы, которые следует учитывать при решении и оформлении решения. 
Если уравнение имеет конечное число корней, то каждый из них сравнивают с концами заданного промежутка, записывая обоснования проведённого сравнения. 
Например, сравнение чисел 3 5 и 5 3 можно записать следующим образом. 
Сравним числа  
 
3
5
5
3
∨
, 
 
15
15
3
5
( 5)
( 3)
∨
, 
 
5
3
5
3
∨
. 
Так как 
5
3
5
3125
27
3
=
>
=
, то вместо ∨во всех строках можно записать знак >, следовательно, 
3
5
5
3
>
. 
Пусть уравнение имеет корни вида x = a + bn, где a и b – числа, причём 
0
b ≠
, а n –
 целочисленный параметр ( n∈] ). Рассмотрим на примерах, как в этом случае отобрать значения x, 
принадлежащие какому–либо промежутку. 

 
1.1.1. Перебор значений целочисленного параметра 
 
При использовании этого способа отбора значений переменной важно начинать и заканчивать перебор значениями, которые не принадлежат заданному промежутку (так называемые «недолёт» и «перелёт»). 
Также необходимо приводить доказательство принадлежности значения промежутку, если это 
не является очевидным. Например, обязательно приводить обоснование принадлежности рационального числа промежутку, концы которого являются иррациональными числами (см. пример 3). 
 
Пример 1. Найдите значения x, принадлежащие промежутку ( 4;3]
− 
, если 
1
3
x
n
= −+
, где n∈] . 
Решение.  
Если n = 2, то   5
(
]
4;3
x= ∉− 
; если n = 1, то 
 2
(
]
4;3
x= ∈− 
; 
если n = 0, то   1
(
]
4;3
x
−
=
 
−∈
; если n = –1, то 
 4
(
]
4;3
x
−
=−∉
. 
Ответ: 2; –1. 
 
Пример 2. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
3
3 ;
2
π
⎡
⎤
−π −
⎢
⎥
⎣
⎦
, если 
,
4
x
n
π
=
+ π
 где n∈] . 
Решение. 
Если n = –1, то 
3
3
2
3
  
;
4
x
π
⎡
⎤
−π −
⎢
⎥
⎣
π
=
∉
⎦
−
; если n = –2, то 
3
3
2
7
  
;
4
x
π
⎡
⎤
−π −
⎢
⎥
⎣
π
=
∈
⎦
−
; 
если n = –3, то 
3
3 ;
2
11
  4
x
π
⎡
⎤
−π −
⎢
⎥
−
π
=
∈
⎣
⎦
; если n = –4, то 
3
3 ;
2
15
  4
x
π
⎡
⎤
−π −
⎢
⎥
−
π
=
∉
⎣
⎦
. 
Ответ: 7
4
−π ; 11
4
−
π . 
 
Пример 3. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
2
2
1
log
; log 3
5
⎛
⎞
 
⎜
⎟
⎝
⎠
, если 
2
3 ,
x
n
=
+
 где n∈] . 
Решение. 
Если n = 0, то 
2
2
2
1
log
; l
  2
log 4
og 3
5
x
⎛
⎞
 
⎜
⎟
=
=
∉
⎝
⎠
; 
если n = 1, то 
2
2
2
l
1
1
log
; o
1
g 3
  
log
5
2
x
⎛
⎞
 
=−=
⎜⎝
∈
⎟⎠
; 
если n = 2, то 
2
2
2
l
1
1
log
; o
4
g 3
  
log
6
5
1
x
⎛
⎞
 
=−=
⎜⎝
∉
⎟⎠
. 
Ответ: – 1. 
 
1.1.2. Решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра 
 
Чтобы отобрать числа вида x = a + bn, где n∈] , принадлежащие, например, отрезку [
]
;
m k , 
можно решить двойное неравенство m
a
bn
k
≤
+
≤
 относительно n, отобрать из полученных значений 
n целые и подставить их в первоначальное равенство. 
Этот способ требует выполнения большого количества вычислений и верного применения 
свойств неравенств, что повышает вероятность появления вычислительных ошибок, поэтому следует 
очень тщательно проверять все шаги решения. 
 
Пример 4. Найдите значения x, принадлежащие промежутку [ 2;5)
−
, если x = –8 + 7n, где n∈] . 
Решение. 
2
8
7
5
n
−≤−+
<
 ⇔ 6
7
13
n
≤
<
 ⇔ 6
6
1
7
7
n
≤
<
Так как n∈] , то n = 1, значит, x = –1. 
 
Ответ: –1. 

 
Пример 5. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
5 ;
π
⎡
⎤
−
 −π
⎢
⎥
⎣
⎦
, если 
2
3
x
n
π
= −
+ π , где n∈] . 
Решение. 
5
2
2
3
n
π
π
−
≤−
+ π ≤−π, 
5
1
2
1
2
3
n
−
≤−
+
≤−, 
15
2
12
6
n
−
≤−+
≤−, 
13
12
4
n
−
≤
≤−, 
1
4
112
12
n
−
≤
≤−
. 
Так как n∈] , то n = –1, значит, x = 
7
3
π
−
. 
Ответ: 
7
3
π
−
. 
 
 
1.1.3. Использование координатной прямой 
 
Для отбора корней с помощью координатной прямой следует отметить на ней концы заданного 
промежутка, а сам промежуток выделить каким-либо образом, затем нанести последовательные значения серии корней уравнения, начиная с тех, которые расположены левее промежутка, и заканчивая 
теми значениями, которые расположены правее него. При этом важно подписать на прямой значения 
всех отмеченных корней. Также при необходимости сравнения рациональных и иррациональных чисел необходимо привести обоснования этого сравнения. 
  
Пример 6. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
3
1; 15
⎡
⎤
− 
⎣
⎦, если x = 5 + 4n, где n∈] . 
Решение. 
Так как 1
3
4
<
<
, то 0
3
1 1
<
−< .  
Так как 
9
15
16
<
<
, то 3
15
4
<
<
. 
На координатной прямой укажем значения, принадлежащие заданному промежутку: 
 
 
 
Ответ: 1. 
 
Пример 7. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
3 ;
2
π
⎡
⎤
−
 0
⎢
⎥
⎣
⎦
, если 
6
x
n
π
=
+ π , где n∈] . 
Решение. 
 
 
 
Ответ: 
5
6
π

 
1.1.4. Использование тригонометрической окружности 
 
По мнению авторов, при отборе корней тригонометрического уравнения уменьшить вероятность появления ошибок помогает использование тригонометрической окружности. Этот способ не 
требует громоздких вычислений, его использование предполагает лишь наличие знаний о расположении углов на единичной окружности. 
Также как и в предыдущем способе, только уже на единичной окружности, необходимо отметить концы промежутка и дугу, соответствующую ему. Затем отметить и обязательно подписать значения корней, принадлежащих заданному промежутку. Важно, чтобы никакие другие значения, кроме концов дуги и собственно корней, принадлежащих этой дуге, отмечено не было! 
 
Пример 8. Найдите значения x, принадлежащие промежутку [
]
;
−3π −2π , если 
4
2
x
n
π
π
=
+
, где n∈] . 
Решение. 
С помощью тригонометрической окружности отберём значения x, принадлежащие промежутку: 
1
11
3
4
4
x
π
π
= −π +
= −
, 
2
9
2
4
4
x
π
π
= −π −
= −
. 
 
Ответ: 
11
4
π
−
; 
9
4
π
−
. 
 
Замечание. Большинство пособий по подготовке к сдаче ЕГЭ рекомендуют отмечать заданный в условии таких задач промежуток путём штриховки соответствующей дуги или с помощью выделения дуги более широкой линией. Эти способы не являются универсальными, так как не 
подходят для промежутков любой длины. Так, если длина промежутка будет больше 2π , 
то выделенной такими способами окажется вся окружность и определение числа корней, 
принадлежащих этому промежутку, будет проблематично. Поэтому самым правильным и 
разумным способом выделения промежутков на тригонометрической окружности является 
указание промежутка с помощью стрелки, как это сделано в примере выше. 
 
 
Задания для самостоятельного решения 
 
В заданиях 1–12 отберите значения x из указанного промежутка каждым из способов, приведённых в пунктах 1.1.1–1.1.3. 
 
1. 
Найдите значения x, принадлежащие промежутку (
)
5; 2
− 
, если x = 8 + 3n, где n∈] . 
2. 
Найдите значения x, принадлежащие промежутку [
)
10; 2
−
−
, если x = –14 + 5n, где n∈] . 
3. 
Найдите значения x, принадлежащие промежутку (
]
1;12 , если x = –6 + 9n, где n∈] . 
4. 
Найдите значения x, принадлежащие промежутку (
]
11;9
−
, если x = 25 + 4n, где n∈] . 
5. 
Найдите значения x, принадлежащие промежутку (
)
10; 2
−
, если x = 12 + 5n, где n∈] . 
6. 
Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
)
17; 323
⎡⎣
, если x = –10 + 7n, где n∈] . 
7. 
Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
23;
5
3
⎡
⎤
−
 
+
⎣
⎦, если x = 5 + 2n, где n∈] . 
8. 
Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
35
4; 11
1
⎡
⎤
−
+
 
+
⎣
⎦, если x = –17 + 4n, 
где n∈] . 

 
9. 
Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
3
1
log
; log 11
13
⎡
⎞
 
⎟
⎢⎣
⎠
, если x = 1 + 4n, где n∈] . 
10. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
5
5
1
log
; log 626
23
⎛
⎤
 
⎜
⎥
⎝
⎦
, если x = –3 + 2n, где n∈] . 
11. Найдите значения x, принадлежащие промежутку (
)
7
7
log 50; log 4
3
−
 
+
, если x = –5 + 3n, 
где n∈] . 
12. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
1
lg
; lg1010
110
⎡
⎤
 
⎢
⎥
⎣
⎦
, если x = –2 + 5n, где n∈] . 
В заданиях 13–20 отберите значения x из указанного промежутка каждым из способов, приведённых в пунктах 1.1.1 – 1.1.4. 
13. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
11 ;
2
π
⎡
⎤
−
 −4π
⎢
⎥
⎣
⎦
, если 
5
2
6
x
n
π
=
+ π , где n∈] . 
14. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 5
7
;
2
2
π
π
⎛
⎞
 
⎜
⎟
⎝
⎠
, если 
4
x
n
π
=
+ π , где n∈] . 
15. Найдите значения x, принадлежащие промежутку [
]
;
−3π −π , если 
3
2
x
n
π
π
= −
+
, где n∈] . 
16. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
7 ;
4
π
⎡
⎤
−
 −π
⎢
⎥
⎣
⎦
, если 
3
x
n
π
= −
+ π , где n∈] . 
17. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 3 ;3
2
π
⎡
⎞
π⎟
⎢⎣
⎠
, если 
2
x
n
π
= −
+ π , где n∈] . 
18. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
11
7
;
3
3
π
π
⎡
⎤
−
 −
⎢
⎥
⎣
⎦
, если 
6
2
x
n
π
π
=
+
, где n∈] . 
19. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
3 ;
2
π
⎡
⎤
−
 0
⎢
⎥
⎣
⎦
, если 
6
3
x
n
π
π
=
+
, где n∈] . 
20. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
7
;
2
π
⎡
⎤
−5π −
⎢
⎥
⎣
⎦
, если 
8
4
x
n
π
π
= −
+
, где n∈] . 
 
В заданиях 21–24 отберите значения x из указанного промежутка с помощью тригонометрической 
окружности. 
 
21. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
3
;
2
2
π
π
⎛
⎤
−
⎜
⎥
⎝
⎦
, если 
arctg2
x
n
=
+ π , где n∈] . 
22. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
; 2
π
⎡
⎤
−π 
⎢
⎥
⎣
⎦
, если 
1
arccos 3
x
n
= −
+ π , где n∈] . 
23. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 5 ; 4
2
π
⎡
⎤
π
⎢
⎥
⎣
⎦
, если 
2
arcsin 5
x
n
=
+ π , где n∈] . 
24. Найдите значения x, принадлежащие промежутку 
9
3 ; 2
π
⎡
⎤
π 
⎢
⎥
⎣
⎦
, если 
3
arcctg 7
x
n
= π −
+ π , где n∈] . 
 

 
§1.2. Иррациональные уравнения 
 
Иррациональные уравнения (уравнения, содержащие переменную под знаком корня) достаточно редко встречаются в заданиях ЕГЭ, но иррациональные выражения могут входить в структуру 
комбинированных уравнений, а значит, на каких-то этапах решения всё же придётся встретиться с 
иррациональными уравнениями.  
 
Простейшие иррациональные уравнения 
2
2
( )
при
0,
( )
нет решений при
0.
n
n
f x
a
a
f x
a
a
⎡
=
 
 ≥
=
⇔⎢
 
 <
⎣
 
2
1
2
1
( )
( )
n
n
f x
a
f x
a
+
+
=
⇔
=
 
2
2
( )
( ( ))
,
( )
( )
( )
0.
n
n
f x
g x
f x
g x
g x
⎧
=
⎪
=
⇔⎨
≥
⎪⎩
 
2
1
2
1
( )
( )
( )
( ( )) n
n
f x
g x
f x
g x
+
+
=
⇔
=
 
 
Пример 1. а) Решите уравнение 
2
2
3
1
0
x
x
−
−
−=
.  
 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (
)
5
3; 3
−
+
. 
 
Решение. 
а) 
2
2
2
2
3
1
0
1
3
x
x
x
x
−
−
−=
⇔
−=
−
⇔ 
2
2
2
2
2
4
2
2
1,
1,
1,
1
0,
2,
1,
1,
(
1)
3
,
2.
2
0,
2,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
⎧
≥
⎡
⎧
≥
⎪
⎡
⎢≤−
⎧
⎡
⎣
−≥
= −
⎪
⎪
⎪
⎢≤−
⇔
⇔
⇔
⇔
⎢
⎣
⎨
⎨
⎨⎡
= −
−
=
−
=
⎢
⎪
⎪
⎪
⎩
⎣
⎢
−
−
=
⎩
⎪
=
⎢⎣
⎩
 
Ответ: 
2;
2
−
 
. 
 
б) Сравним числа 
2
5
3
−
∨−
+
, 
5
2
3
∨
+
, 
2
2
( 5)
( 2
3)
∨
+
, 5
11
6 2
∨
+
, 6
6 2
−∨
. 
Так как 6
6 2
−<
, то вместо ∨во всех строках можно записать знак <, следовательно, 
2
5
3
−
< −
+ , 
а значит, корень 
2
−
 не принадлежит указанному промежутку. 
Сравним числа 
2
5
3
∨−
+
, 
5
2
3
+
∨
, 
2
2
( 5
2)
3
+
∨
, 7
2 10
9
+
∨
, 2 10
2
∨
, 10
1
∨
. 
Так как 
10
1
>
, то вместо символа ∨во всех строках можно записать знак >, следовательно, 
2
5
3
> −
+ . При этом 
2
3
<
, а значит, корень уравнения 
2 принадлежит указанному промежутку. 
Ответ: 
2 . 
 
Пример 2. а) Решите уравнение 
3
2
2
19
84
3
x
x
x
x
−
−
+
=
+ .  
 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (
27; 11)
−
. 
 
Решение. 
а) 
3
2
3
2
2
3
0,
2
19
84
3
2
19
84
(
3) ,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
≥
⎧⎪
−
−
+
=
+
⇔
⇔
⎨
−
−
+
=
+
⎪⎩
 
3
2
2
3
3
3,
5.
3
25
75
0,
(
3)(
25)
0,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
≥−
≥−
⎧
⎧
=
⎡
⎪
⎪
⇔
⇔
⇔
⎨
⎨
⎢=
−
−
+
=
−
−
=
⎪
⎪
⎣
⎩
⎩
 
Ответ:3; 5. 
 
б) Так как 
27
0
9
11
25
−
<
<
<
<
, то указанному промежутку принадлежит число 3. 
 
Ответ: 3. 

 
Пример 3. а) Решите уравнение 
7
x
x
−
=
−
+
.  
 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [
70; 7]
−
. 
 
Решение. 
а) 
7
14
7
x
x
−
=
−
+
⇔ 
2
7
0,
7,
7,
7
0,
7,
7.
( 7
7)
14.
2 7
7
0,
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
⎧
+
≥
⎧
≥−
=
⎡
⎪
⎪−
≥
⇔
≤
⇔
⎨
⎨
⎢= −
⎣
⎪
⎪
−
+
+
=
−
+
=
⎩
⎩
 
Ответ: –7; 7. 
 
б) Так как 
70
49
7
49
−
< −
<
<
, то указанному промежутку принадлежит число –7. 
 
Ответ: –7. 
 
Задания для самостоятельного решения 
 
1. а) Решите уравнение 
2
2
7
1
0
x
x
−
−
−=
.  
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (
)
11
2; 5
−
+
. 
 
2. а) Решите уравнение 
2
2
40
3
4
0
x
x
−
−
−
=
.  
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
7
3; 20
⎡
⎤
−
+
⎣
⎦. 
 
3. а) Решите уравнение 
3
11
10
1
x
x
x
−
+
=
−.  
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (
)
3 2; 6
−
. 
 
4. а) Решите уравнение 
3
2
3
20
28
2
x
x
x
x
+
−
−
=
−
.  
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
3 3;
5
⎡
⎤
−
 −
⎣
⎦. 
 
5. а) Решите уравнение 4
2
13
36
x
x
−
=
.  
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (
)
2
2
log 3;log 7 . 
 
6. а) Решите уравнение 4
2
29
100
x
x
−
=
.  
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (
)
ln3;ln10 . 
 
7. а) Решите уравнение 
4
3
2
4
2
27
14
1
14
0
x
x
x
x
x
−
+
+ −
+
=
.  
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
0,2
0,2
log
2; log
0,3
⎡
⎤
 
⎣
⎦. 
 
8. а) Решите уравнение 
4
3
2
4
3
10
8
15
75
10
8
0
x
x
x
x
x
+
−
+
−
+
=
.  
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [
]
3
3
log 8; log 30