Интеграл Лебега и пространства Лебега

 
М.Г. Лапшина 
 
 
 
 
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 
И 
ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
Липецк 

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ П.П. СЕМЕНОВА-ТЯН-ШАНСКОГО»
ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ, МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК
Кафедра математики и физики
М.Г. Лапшина
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
И
ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА
Учебное пособие
Липецк

УДК 517.95
Печатается по решению кафедры
ББК 22.161.6
математики и физики
Л 98
ФГБОУ ВО «ЛГПУ имени
П.П. Семенова-Тян-Шанского».
Протокол №11 от 02.07.2025 г.
Лапшина, М.Г. Интеграл Лебега и пространства Лебега:
учебное
пособие
/
М.Г.
Лапшина.
–
Липецк:
ЛГПУ
имени
П.П. Семенова-Тян-Шанского, 2025. – 77 с.
ISBN 978-5-907989-37-5
Учебное пособие посвящено изучению интеграла и пространств Лебега. Предназначено для студентов педагогических специальностей с профилями подготовки: «Математика и физика», «Физика и математика»,
«Математика и информатика».
УДК 517.95
ББК 22.161.6
Л 98
Рецензенты:
Л.Н. Ляхов, доктор физико-математических наук, профессор, профессор факультета прикладной математики, информатики и механики
Воронежского государственного университета;
С.А. Рощупкин, кандидат физико-математических наук, доцент,
директор института цифровых технологий и математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина.
ISBN 978-5-907989-37-5
© ФГБОУ ВО «Липецкий государственный
педагогический университет имени
П.П. Семенова-Тян-Шанского», 2025
© М.Г. Лапшина, 2025

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. Мера Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1. Необходимые определения из теории множеств . . . . . . .
8
1.2. Внешняя и внутренняя меры . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3. Измеримые по Лебегу множества . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.1.
Критерий измеримости ограниченного множества .
16
1.3.2.
Свойства измеримых множеств и меры
. . . . . . .
18
1.4. Существование неизмеримого по Лебегу множества . . . .
22
2. Измеримые по Лебегу функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.1. Определение измеримых функций и их некоторые свойства
24
2.2. Теоремы об измеримых функциях . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3. Последовательности измеримых функций . . . . . . . . . .
28
2.4. Теоремы Егорова и Лузина . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.5. Примеры измеримой и неизмеримой по Лебегу функций
.
34
3. Интеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции .
35
3.2. Основные свойства интеграла Лебега для ограниченых измеримых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.3. Сравнение интегралов Римана и Лебега . . . . . . . . . . .
44
3.4. Первообразная для ограниченной функции . . . . . . . . .
46
3.5. Интеграл Лебега от произвольной неотрицательной измеримой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.5.1.
Свойства интеграла Лебега от произвольных неотрицательных измеримых функций . . . . . . . . . .
49
3.5.2.
Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.6. Интеграл Лебега от суммируемой функции . . . . . . . . .
53
3.6.1.
Свойства суммируемых функций и интегралов от них 53
3.7. Примеры вычисления интеграла Лебега . . . . . . . . . . .

4. Пространства Лебега
61
4.1. Пространство L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.2. Пространство L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.3. Пространство Lp , p ≥1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.4. Пространство L∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Предисловие
Конструкция интеграла Римана на отрезке [a, b] (проще говоря, определенного интеграла) широко известна и востребована. Знакомство с такими интегралами происходит еще в курсе алгебры средней школы, преимущественно в классах с математическим уклоном. Далее определенный интеграл подробно изучается в курсе математического анализа.
Однако не все функции интегрируемы по Риману. Необходимым условием интегрируемости по Риману является ограниченность функции, а
непрерывность – достаточным условием. Например, функция Дирихле
на отрезке [a, b]
f(x) =



1 ,
если x рационально,
0 ,
если x иррационально
ограничена, но не является непрерывной, т.к. на любом сколь угодно малом промежутке области определения найдутся как рациональная, так
и иррациональная точки. Покажем это. Иррациональное число можно
представить только бесконечной десятичной дробью. Выберем иррациональное число σ (бесконечная десятичная дробь), из которого образуем
два рациональных числа со следующим количеством знаков после запятой — 10m и 10m+p . Разность выбранных рациональных чисел имеет
ровно m + p знаков после запятой, из которых первые m – нули, т.е.
эта разность стремится к нулю при m →∞. Но при m →∞число
m+p тоже
→∞, т.е. превращается в первоначальное иррациональное число σ. Получается, что между любыми рациональными числами
всегда находятся иррациональные (конечную последовательность чисел
после запятой всегда можно дополнить до бесконечной, причем произвольным образом). В теории множеств обычно доказывается, что иррациональных чисел гораздо больше, чем рациональных. Множество рациональных чисел счетное. Это значит, что их можно «пересчитать»,
т.е. поставить во взаимно-однозначное соответствие с членами натурального ряда чисел: 1, 2, 3, . . . (доказательство см., например, [1], с. 14).
Примером несчетного множества является отрезок или интервал (см. [1],

стр. 17). Таким образом, функция Дирихле терпит разрыв в любой точке
с рациональными координатами. Следовательно она не интегрируема в
смысле определения Римана.
Посмотрим на происходящее с точки зрения геометрического смысла
интеграла Римана: площадь над точкой, очевидно, равна нулю и график такой функции имеет площадь прямоугольника со сторонами равными длина основания× на высоту. Т.е. площадь как объект природы
существует, а интеграл Римана — нет. Это требовало нового подхода к
определению определенного интеграла.
Решение проблемы предложил в 1901-1902 гг. французский математик А. Л. Лебег в своей статье и диссертационной работе «Интеграл,
длина, площадь»1, рассмотрев иную конструкцию интеграла.
Определение меры Лебега, измеримого множества и измеримой
функции можно найти, например, в учебнике [1] (стр. 275, 282) или в
[10] (стр. 333, 343).
Построение интеграла Лебега происходит следующим образом. Пусть
на множестве E ⊂R задана некоторая функция f , которая измерима
и ограничена (supE |f|<∞) на всей своей области определения, и пусть
интервал (A, B) – область ее значений. Разобьем (A, B) на части точками A = y0 < y1 < . . . < yn = B . Полученное разбиение обозначим
буквой T , тогда λ(T) = max{yk+1 −yk} – ранг разбиения. Множества
ek = E(yk ≤f < yk+1) (k = 0, 1, . . . , n −1) измеримы, попарно не
пересекаются, причем
n−1
S
k=0
ek = E . Тогда мера µE =
n−1
P
k=0
µek .
Аналогично суммам Дарбу для интеграла Римана вводятся суммы
Лебега:
s(T) =
n−1
X
k=0
yk µek – нижняя сумма Лебега,
S(T) =
n−1
X
k=0
yk+1 µek – верхняя сумма Лебега.
Интегралом Лебега от ограниченной измеримой функции f на
1Работа Лебега была опубликована на русском языке в 1934 г, см. [8].

множестве E называется общее значение I точных границ нижних и
верхних сумм Лебега. Обозначается
R
E
f dµ.
Другими словами, I =
lim
λ(T)→0{s(T)} =
lim
λ(T)→0{S(T)}.
При определении интеграла по Риману на части разбивается область
интегрирования. В определении Лебега исходным служит разбиение не
области определения функции, а области ее значений. Таким образом
происходит обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, интегрируемые по Риману, интегрируемы и по Лебегу.
Но не для всех функций, интегрируемых по Лебегу, существует интеграл
Римана. Например, функция Дирихле, как показали выше, не интегрируема по Риману. Но по Лебегу – интегрируема, и интеграл от нее равен
нулю, поскольку мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю, а на множестве иррациональных чисел сама функция равна нулю,
т.е.
(L)
b
Z
a
f(x)dµ = 1 · µ(Q ∪[a, b]) + 0 · µ([a, b]\Q) = 0 .
Теория интеграла Лебега изучается в рамках курса теории функции действительного (вещественного) переменного. В данном пособии
подробно изложена теория меры и интеграла Лебега и приведены основные сведения о пространствах Лебега.
Учебное пособие предназначено для студентов педагогических специальностей с профилями подготовки: «Математика и физика», «Физика
и математика», «Математика и информатика».