Исследование операций и анализ данных

 
 
 
 
 
 
 
Т.П. Фомина 
 
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И АНАЛИЗ ДАННЫХ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
Липецк  
2025 
 

 
МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ  
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П.П. СЕМЕНОВА-ТЯН-ШАНСКОГО» 
 
ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ, МАТЕМАТИЧЕСКИХ  
И ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК 
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ 
 
 
 
 
 
 
 
Т.П. Фомина 
 
 
 
 
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И АНАЛИЗ ДАННЫХ 
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Липецк 
2025 
 

 
УДК 519.8 
ББК 22.18 
Ф 76 
Печатается по решению кафедры математики и физики ФГБОУ ВО «ЛГПУ 
имени П.П. Семенова-Тян-Шанского».  
Протокол № 7 от 19.02.2025 г. 
 
Ф76      Фомина, Т.П. Исследование операций и анализ данных: учебное  
пособие / Т.П. Фомина. – Липецк: ЛГПУ имени П.П. Семенова-Тян-Шанского, 
2025. – 95  с. 
 
ISBN 978-5-907989-18-4 
 
Пособие содержит материал некоторых разделов курса «Исследование 
операций и оптимизация». Для лучшего усвоения учебного материала рассматриваются решения задач. В конце каждой темы приводятся задачи для практических занятий и самостоятельной работы, а также предлагаются варианты индивидуальных домашних заданий и контрольные вопросы.  
Пособие предназначено для магистрантов, обучающихся по направлению 
подготовки «Прикладная математика и информатика», профиль «Анализ больших данных», изучающих дисциплины «Исследование операций и оптимизация», «Теория игр и стратегическое поведение», но может быть использовано 
студентами других направлений и профилей. Рекомендовано также слушателям 
программ дополнительного профессионального образования соответствующего 
направления подготовки. 
УДК 519.8 
ББК 22.18 
Ф 76 
 
Рецензенты: 
Е.В. Кузнецова,  
кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной 
математики Липецкого государственного технического университета 
В. А. Калитвин,  
кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики  
и физики (ЛГПУ имени П.П. Семенова-Тян-Шанского) 
 
 
 
ISBN 978-5-907989-18-4               © ФГБОУ ВО «Липецкий государственный 
                                                         педагогический университет 
                                                     имени П.П. Семенова-Тян-Шанского», 2025  
                            © Фомина Т.П., 2025                                            
 
 
 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Важным качеством любого человека является умение выбрать и обосновать лучший вариант своих действий в каких бы то ни было условиях.  
Применение математических методов для выяснения рациональных способов управления различными действиями, обоснования принятия решений во 
всех областях целенаправленной человеческой деятельности составляет содержание такого важного направления в математике как исследование операций.  
Как отметил один из основоположников теории Т.Л. Саати, исследование 
операций – это искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на 
которые даются еще худшие ответы другими способами. Это означает, что 
практические ситуации, в которых приходится принимать решение, бывают 
настолько сложными и важными, что даже незначительная помощь со стороны 
математических методов является весьма существенной. 
Таким образом, исследование операций – это раздел прикладной математики, который занимается построением математических моделей анализа реальных задач и процессов управления и принятия решений.  
Математическая модель нужна для детального предварительного анализа 
реального явления. Математика проводит количественный и качественный анализ модели, помогает предсказать, как поведёт себя система в различных условиях и даёт рекомендации для принятия наилучшего решения [20]. 
Знание основных принципов и законов управления, основанных на математических методах исследования операций, позволяет эффективно управлять 
организационными системами, делать прогнозы в финансовой деятельности и 
экономике, управлять космическими аппаратами и влиять на физические и биологические процессы, осуществлять синтез гуманитарных и естественных наук 
и открывать путь к новому пониманию природы, общества и человека. 
Данное учебное пособие включает в себя материал некоторых дополнительных глав исследования операций. 

 
Для лучшего усвоения учебного материала приводятся решения некоторых задач. Задачи для самостоятельного решения даются в конце каждой темы, 
они подобраны таким образом, чтобы проиллюстрировать применение изложенного материала. Решая такие задачи, студенты получат неоценимый опыт 
применения математических методов и алгоритмов на практике. 
Настоящее пособие адресовано магистрантам, обучающимся по различным направлениям, учебные планы которых включают дисциплину «Дискретные и вероятностные модели», «Исследование операций и анализ данных», 
«Теория игр и стратегическое поведение». В более полном объеме оно может 
найти применение при обучении магистрантов по направлениям «Математическое моделирование» и «Анализ больших данных». 
Для более подробного изучения разделов дисциплины рекомендуются 
также учебники и учебные пособия [2-6, 15]. 
 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Развитие общества и технологий на современном этапе неразрывно связано не только с информатизацией различных областей человеческой деятельности, а сколько с повсеместным внедрением технологий изучения и анализа 
данных для выработки грамотных управленческих решений. 
Методы обработки больших данных позволяют организациям осуществлять цифровую трансформацию производственных, экономических и управленческих процессов, более точно предугадывать поведение потребителей, инвесторов, планировать ремонт или замену оборудования, обновление программного обеспечения, оптимизацию транспортных систем, информационных 
потоков, повышать эффективность принимаемых решений за счет более высокой точности прогнозов влияния внешней и внутренней среды на деятельность 
организации.  
Для принятия управленческих решений широко используется тот или 
иной математический аппарат, в частности методы и модели исследования операций и оптимизации. Исследование операций включает в себя очень широкий 
спектр методов и задач, связанных с необходимостью принятия решения, по 
возможности наиболее оптимального. Каждое исследование сопровождается 
выполнением таких этапов, как постановка задачи, построение математической 
модели, нахождение или разработка метода решения, проверка и корректировка 
модели, реализация найденного решения на практике.  
Исследование операций, как направление математической кибернетики, 
занимается разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными и производственными 
системами. Рассмотрим некоторые из этих методов. 

 
1. МЕТОДЫ И МОДЕЛИ  
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 
 
Математическое программирование – раздел исследования операций, который позволяет моделировать ситуации, когда в наличии фиксированный неконтролируемый фактор, либо неконтролируемый фактор отсутствует. Включает в себя линейное и нелинейное программирование, которые, в свою очередь, подразделяются на целочисленное, дробно-линейное, выпуклое, динамическое, квадратичное программирование [13].  
Линейное программирование (ЛП) – раздел математического программирования о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и 
наименьших) значений линейной целевой функции, на переменные которой 
наложены линейные ограничения [10-13].  
Задача линейного программирования допускает различные формы записи: 
стандартная 


n
j
j
jx
c
1
max
 при 









.
,1
,0
,
,1
,
1
n
j
x
m
i
b
x
a
j
n
j
i
j
ij
 
каноническая  


n
j
j
jx
c
1
max
 при 









.
,1
,0
,
,1
,
1
n
j
x
m
i
b
x
a
j
n
j
i
j
ij
 
общая 


n
j
j
jx
c
1
max
 при 





















).
,
(
,1
,0
,
,1
,
,
,1
,
1
1
n
r
m
k
r
j
x
m
k
i
b
x
a
k
i
b
x
a
j
n
j
i
j
ij
n
j
i
j
ij
 
Эти формы легко переводятся одна в другую. Стандартная форма является частным случаем общей при k=m, r=n, каноническая – при k=0, r=n. Общая 
переводится в стандартную путем замены (m–k) равенств на 2(m–k) неравенств, 

 
а в каноническую – путем замены k неравенств на k равенств с помощью k свободных переменных. Аналогично стандартная форма переводится в каноническую, и наоборот. 
Для любой конкретной задачи линейного программирования логически 
возможны три случая относительно множества допустимых решений: 
а) допустимых планов нет, т.е. множество допустимых планов пусто, тогда задача не имеет решения; 
б) множество допустимых планов не пусто, но на этом множестве целевая 
функция не ограничена сверху (для задачи на максимум) или снизу (для задачи 
на минимум), тогда задача не имеет решения; 
в) множество допустимых планов не пусто, и целевая функция ограничена (соответственно сверху или снизу), тогда задача имеет решение (существует 
оптимальный план). 
 
1.1 ЗАДАЧА ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 
 
Некоторые задачи линейного программирования требуют целочисленного 
решения. К ним относятся задачи по производству и распределению неделимой 
продукции (разработка программного обеспечения, выпуск компьютеров и 
т.п.), об оптимальном назначении, теории расписания и задачи с дополнительными логическими условиями и т.д. Математическая модель задачи целочисленного программирования имеет вид [2]: 
 
L(x)=

n
i
i
i х
с
1
→extr 










.
,1
,
,0
,
,1
,
1
n
j
Z
x
x
m
i
b
x
a
j
j
n
j
i
j
ij
 
 
Замечание. Ограничения, связанные с целочисленностью, могут быть 
наложены не на все переменные, а лишь на часть из них. 
Оптимальное решение задачи часто не является целочисленным. Его 
можно округлить до ближайших целых чисел. Однако такое округление дает не 

 
лучшее решение среди целочисленных решений, или приводит к решению, которое не удовлетворяет системе ограничений. Поэтому для нахождения целочисленного решения нужен особый алгоритм. На сегодняшний день разработаны специальные методы решения целочисленных задач, среди которых можно 
выделить следующие направления: 
1) методы отсечения; 
2) комбинаторные методы;  
3) приближенные методы. 
Первая группа состоит в построении дополнительного ограничения, исключающего нецелочисленность. Один из них – метод Гомори. Представление 
о второй группе дает метод ветвей и границ. Также можно использовать и графический метод. 
Рассмотрим методы решения на примерах. 
 
1.1.1 Графический метод 
 
При наличии в задачах линейного программирования двух переменных, а 
в системе ограничений – неравенств можно использовать графический метод. В 
системе координат XOY строят область допустимых решений U, нормаль n и 
линию уровня. Перемещая линию уровня по направлению нормали n для задач 
на максимум, находим оптимальное решение. 
Если координаты этой точки нецелочисленные, в U строят целочисленную решетку и находят в ней такие точки, целочисленные координаты которых 
удовлетворяют системе ограничений и при которых значение целевой функции 
наиболее близко к экстремальному решению. Координаты этих точек и являются целочисленным решением. 
Пример 1. Чтобы улучшить свое финансовое положение, предприятие 
приняло решение увеличить выпуск конкурентоспособной продукции. Для этого необходимо установить дополнительное оборудование, которое занимает 
19/3 м² площади. На приобретение предприятие выделило 10 ден. ед. При этом 
можно купить оборудование двух видов: стоимость комплекта 1-го вида – 

ден. ед., комплекта 2-го вида – 3 ден. ед. Приобретение одного комплекта 
оборудования 1-го вида позволит увеличить выпуск продукции в смену на 2 
единицы, а 2-го вида – на 4 единицы. Для установки одного комплекта оборудования 1-го вида требуется 2 м² площади, а для 2-го вида – 1 м². 
Определите набор дополнительного оборудования, которое позволит 
максимизировать выпуск продукции. 
Решение. Составим математическую модель задачи.  
Пусть x1 – количество комплектов 1-го вида, x2 – количество комплектов 
2-го вида. Тогда  
f(x)=2x1+4x2→max 
при ограничениях 









.
,0
,
10
3
,3
/
19
2
2
,1
2
,1
2
1
2
1
Z
x
x
стоимости
по
x
x
площади
по
x
x
 
Получили задачу линейного целочисленного программирования. Найдем 
решение графическим методом (рис. 1): 
 
 
Рисунок 1 – Решение задачи графическим методом