Электротехника и электроника. Цепи периодического несинусоидального тока, трансформаторы, электрические машины постоянного тока и асинхронные машины

Москва 2025
МИНИС ТЕРСТВО Н АУКИ И ВЫСШЕГО ОБР А ЗОВА Н И Я  Р Ф
УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС
ИНСТИТУТ КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
Кафедра инфокоммуникационных технологий
М. С. Анисимова
И. С. Попова
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА 
И ЭЛЕКТРОНИКА
Цепи периодического  
несинусоидального тока, 
трансформаторы, электрические  
машины постоянного тока  
и асинхронные машины
Практикум
Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета
№ 4567

УДК  621.3 
А67
Р е ц е н з е н т 
канд. техн. наук, доц. М.В. Колистратов
Анисимова, Марина Сергеевна.
А67	 	
Электротехника и электроника. Цепи периодического несинусоидального тока, трансформаторы, 
электрические машины постоянного тока и асинхронные машины : практикум / М. С. Анисимова, 
И. С. Попова. – Москва  : Издательский Дом НИТУ 
МИСИС, 2025. – 88 с.
Представлены практические задачи по разделам курса 
«Электротехника и электроника»: цепи периодического несинусоидального тока; трансформаторы; электрические машины 
постоянного тока; асинхронные машины. Изложены основные 
теоретические сведения, приведены примеры решения типовых 
задач с пояснениями, задачи для самостоятельного решения 
и вопросы для самопроверки.
Предназначен для студентов, обучающихся по направлениям 15.03.02 «Технологические машины и оборудование. Инжиниринг оборудования и технологий» и 22.03.02 «Металлургия. 
Технологии материалов» для выполнения домашних заданий 
по курсу «Электротехника и электроника» и подготовки к практическим занятиям.
УДК 621.3
Анисимова М. С.,  
Попова И. С., 2025
НИТУ МИСИС, 2025

СОДЕРЖАНИЕ
1.  Цепи периодического несинусоидального тока. .  .  .  . . . . . . 4
1.1.  Основные понятия и определения. .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 4
1.2.  Разложение несинусоидальных функций  
в тригонометрический ряд Фурье . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . 5
1.3.  Действующие и средние значения несинусоидального 
тока и напряжения. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.  Коэффициенты, характеризующие форму 
несинусоидальных кривых . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.  Мощности цепи несинусоидального тока. .  .  .  .  .  .  . . . . . . 9
1.6.  Анализ линейных электрических цепей 
несинусоидального тока. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7.  Примеры . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8.  Задачи для самостоятельного решения. .  .  .  .  .  .  . . . . . . . 20
1.9.  Вопросы для самопроверки . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . 25
2.  Трансформаторы . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.  Основные формулы и уравнения. .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 28
2.2.  Примеры . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.  Задачи для самостоятельного решения. .  .  .  .  .  .  . . . . . . . 43
2.4.  Вопросы для самопроверки . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . 47
2.5.  Домашнее задание. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.  Электрические машины постоянного тока . .  .  .  .  . . . . . . . 52
3.1. Основные формулы и уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.  Примеры . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.  Задачи для самостоятельного решения. .  .  .  .  .  .  . . . . . . . 63
3.4.  Вопросы для самопроверки . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . 65
3.5.  Пример расчета домашнего задания. .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . 67
3.6.  Домашнее задание. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.  Асинхронные машины. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.  Основные формулы и уравнения. .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 72
4.2.  Примеры . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.  Задачи для самостоятельного решения. .  .  .  .  .  .  . . . . . . . 82
4.4.  Вопросы для самопроверки . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . 84
Библиографический список. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . 87

1. ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО 
НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
1.1.  Основные понятия и определения
Синусоидальные колебания являются самой простой 
формой периодического процесса; по этой причине в сетях 
электроэнергетических систем принимается ряд мер для 
поддержания синусоидальной формы кривых переменных 
токов и напряжений и подавления различных отклонений 
от синусоидальной формы.
Но в цепях электросвязи, электронных и полупроводниковых устройств и т.п. отклонение от синусоидальной формы 
само часто является основой рабочего процесса устройства.
Причины отличия кривых токов и напряжений от синусоидальной формы:
 
– в генераторах переменного тока кривая распределения магнитной индукции вдоль воздушного зазора из-за 
конструктивного несовершенства машин может отличаться 
от синусоиды. Это приводит к возникновению в обмотках несинусоидальной ЭДС;
 
– появление в цепи несинусоидальных токов и напряжений может быть связано с включением в цепь различных нелинейных элементов – нелинейных катушек, конденсаторов, выпрямителей и др.;
 
– во многих электротехнических и радиотехнических 
устройствах используют источники сигналов – импульсы, 
у которых выходные напряжения и токи несинусоидальные. 
Форма импульсов может быть самой различной: пилообразной, прямоугольной и др.;
 
– применение в электротехнических устройствах источников синусоидальных ЭДС разной частоты вызывает появление несинусоидальных напряжений и токов.
Периодические несинусоидальные токи и напряжения – это токи и напряжения, изменяющиеся во времени 
по периодическому несинусоидальному закону.

Несинусоидальная функция является периодической, 
когда она удовлетворяет условию
	
=
+
( )
(
);
i
F t
F t
T
 	
(1.1)
где T – период функции, т.е. промежуток времени, по истечении которого весь процесс повторяется сначала.
1.2.  Разложение несинусоидальных функций 
в тригонометрический ряд Фурье
Явления, происходящие в линейных электрических цепях при периодических, но не синусоидальных ЭДС, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если 
функцию ЭДС, напряжения или тока представить в виде 
тригонометрического ряда Фурье, например:
(
)
(
)
(
)
(
)
ω
=
+
ω + ψ
+
+
⋅ω + ψ
+
+
⋅ω + ψ
=
(0)
(1)
(1)
(2)
(2)
( )
( )
sin
sin 2
...
sin
m
m
k m
k
f
t
A
A
t
A
t
A
k
t
	
(
)
∞
=
=
⋅ω + ψ
∑
( )
( )
0
sin
,
k m
k
k
A
k
t
	
 (1.2)
где 
(0)
A
– постоянная составляющая (нулевая гармоника, k = 0);
(
)
ω + ψ
(1)
(1)
sin
m
A
t
 – первая (основная) гармоника, период которой равен периоду исходной несинусоидальной 
функции (все остальные слагаемые называют высшими 
гармониками);
k – порядковый номер гармоники;
(1)
(2)
( )
, 
,...,
m
m
k m
A
A
A
 – амплитуды соответствующих гармоник;
ψ
ψ
ψ
(1)
(2)
( )
, 
,...,
k  – начальные фазы гармоник;
π
ω = 2
T  – основная частота;
T – период несинусоидальной периодической функции.

Гармоники, для которых k – число нечетное, называются 
нечетными, если k – число четное, то гармоники называются 
четными.
Таким образом, несинусоидальный ток изображается 
в виде суммы постоянного тока и синусоидальных токов 
различной частоты с различными начальными фазами. 
Такая форма изображения периодического колебания удобна при расчетах цепей несинусоидальных токов.
1.3.  Действующие и средние значения 
несинусоидального тока и напряжения
Периодическую несинусоидальную величину (например, 
ток) обычно характеризуют следующими значениями:
 
– максимальным (Imaх);
 
– действующим (I);
 
– средним по модулю (Iср.мод);
 
– постоянной составляющей I(0).
На практике важны действующие значения напряжений 
и токов, измеряемые вольтметрами и амперметрами.
Действующее значение периодического несинусоидального тока определяется в общем виде как среднеквадратическое значение за период:
	
=
∫
2
0
1
( )
T
I
i
t dt
T
. 	
(1.3)
Раскладывая i(t) в ряд Фурье, получим
	
=
+
⋅
ω + ψ
+
⋅
⋅ω + ψ
+
(0)
(1)
(1)
(2)
(2)
sin(
)
sin(2
)
...,
m
m
i
I
I
t
I
t
	 (1.4)
после интегрирования действующее значение несинусоидального тока принимает вид
	
=
+
+
+
+
2
2
2
2
(0)
(1)
(2)
( )
...
k
I
I
I
I
I
,	
где I(0) – постоянная составляющая;
I(1), I(2) I, …, I(к) – действующие значения гармоник тока.

Или
	
+∑
2
2
(0)
( )
1
.
n
k
k
I
I
I
	
 (1.6)
Действующее значение несинусоидальной электрической величины равно корню квадратному из суммы 
квадратов постоянной составляющей и действующих 
значений всех гармоник. Оно не зависит от начальных фаз 
гармоник.
На тех же основаниях аналогичной формулой определяется и действующее значение несинусоидального напряжения:
	
=
=
+∑
2
2
(0)
( )
1
n
k
k
U
U
U
. 	
(1.7)
Средним по модулю значением функции называют 
среднее значение модуля этой функции за период. В отличие от действующего значения оно зависит от начальных фаз 
гармоник.
	
= ∫
ср.мод
0
1
( )
T
I
i t dt
Т
. 	
(1.8)
Постоянная составляющая представляет собой среднее 
значение функции за период:
	
= ∫
(0)
0
1
( )
T
I
i t dt
T
. 	
(1.9)
Она равна нулю, когда площади положительных и отрицательных значений функции одинаковы.
1.4.  Коэффициенты, характеризующие форму 
несинусоидальных кривых
Существует несколько коэффициентов, по значениям 
которых можно судить о форме несинусоидальных кривых. 

Важнейшими из них являются коэффициенты амплитуды, 
формы, искажения и пульсаций.
Коэффициент амплитуды Kа равен отношению максимального значения электрической величины (например, напряжения) к ее действующему значению:
	
=
max
a
U
K
U
.	
 (1.10)
Для синусоидальных величин 
=
a
2
K
. Заметим, что чем 
острее кривая, тем больше значение Ka.
Коэффициент формы Kф равен отношению действующего значения электрической величины к ее среднему по модулю значению:
	
=
ф
ср.мод
U
K
U
. 	
(1.11)
Для синусоидальных величин 
(
)
= π
=
ф
/ 2 2
1,11
K
.
Коэффициент искажения Kи определяется как отношение действующего значения первой (основной) гармоники 
к действующему значению:
	
=
(1)
и
U
K
U .	
 (1.12)
Для синусоидальных величин Kи = 1.
Коэффициент пульсаций Kп определяется отношением 
амплитуды первой (основной) гармоники к постоянной составляющей:
	
=
(1)
п
(0)
m
U
K
U
Этим коэффициентом пользуются для оценки содержания переменной составляющей в кривых напряжений и токов выпрямителей.

1.5.  Мощности цепи несинусоидального тока
Активная мощность несинусоидального тока Р равна 
сумме активных мощностей всех гармонических составляющих и еще мощности постоянных составляющих (мощности 
постоянного тока):
	
=
=
+
ϕ
∑
(0) (0)
( ) ( )
( )
1
cos
n
k
k
k
k
P
U
I
U
I
 	
(1.14)
или
	
=
+
+
+
+
(0)
(1)
(2)
( )
...
k
P
P
P
P
P . 	
(1.15)
Реактивная мощность несинусоидального тока Q равна алгебраической сумме реактивных мощностей всех гармонических составляющих:
	
=
=
ϕ
∑
( ) ( )
( )
1
sin
n
k
k
k
k
Q
U
I
 	
(1.16)
или
	
=
+
+
+
(1)
(2)
( )
...
k
Q
Q
Q
Q
. 	
(1.17)
Полная мощность S определяется как произведение действующих значений несинусоидального тока и напряжения:
	
∞
∞
=
=
=
⋅
=
⋅
∑
∑
2
2
( )
( )
0
0
k
k
k
k
S
U I
U
I
, 	
(1.18)
где 
=
+
+
+
+
2
2
2
2
(0)
(1)
(2)
( )
...
k
U
U
U
U
U
;
=
+
+
+
+
2
2
2
2
(0)
(1)
(2)
( )
...
k
I
I
I
I
I
.
В цепях периодического несинусоидального тока
	
≠
+
2
2
S
P
Q .