Симметрия кристаллов

Москва 2023
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
Университет науки и технологий МИСИС
ИНСТИТУТ НОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
Кафедра физического материаловедения
С.В. Салихов
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
Практикум
Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета
№ 4513

УДК 548.12:548.713 (075.8)
ББК 22.37
 
С16
Р е ц е н з е н т ы:
канд. физ.-мат. наук А.М. Поляков; 
канд. техн. наук, доц. А.И. Новиков
Салихов, Сергей Владимирович.
С16  
Симметрия кристаллов : практикум / С.В. Салихов. – 
Москва  : Издательский Дом НИТУ МИСИС, 2023.  – 
55 с.
ISBN 978-5-907833-20-3
Практикум подготовлен в соответствии с рабочей программой 
учебной дисциплины «Кристаллография» для проведения практических занятий по  симметрии внешней формы кристаллов 
и симметрии кристаллических структур.
Предназначен для обучающихся в бакалавриате по направлениям подготовки 03.03.02 «Физика», 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов», 28.00.00 «Нанотехнологии и наноматериалы», а также может быть рекомендован обучающимся 
по смежным направлениям.
УДК  548.12:548.713 (075.8)
Салихов С.В., 2023
ISBN 978-5-907833-20-3
НИТУ МИСИС, 2023

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.................................................................4
Практическое занятие  1.  Определение класса симметрии 
по моделям многогранников............................................5
Практическое занятие  2.  Определение пространственной 
группы по модели кристаллической структуры................ 18
Приложение  А  Определяющие элементы симметрии 
и главные направления................................................. 33
Приложение  Б  Категории, сингонии, кристаллические 
системы, кристаллографические координаты и решетки 
Бравэ в трехмерном пространстве................................... 34
Приложение  В  Символика элементов точечной 
симметрии.................................................................. 36
Приложение  Г  Кристаллографические точечные 
группы симметрии в трехмерном пространстве................ 37
Приложение  Д  Установка кристаллов........................... 43
Приложение  Е  Типы систем трансляций Бравэ 
в трехмерном пространстве............................................ 45
Приложение  Ж  Системы трансляций Бравэ 
в трехмерном пространстве............................................ 46
Приложение  И  Символы элементов пространственных 
групп симметрии......................................................... 48
Приложение  К  Матрицы метрического тензора прямой 
и обратной решетки для примитивных решеток Бравэ...... 53

ПРЕДИСЛОВИЕ
Кристаллография является базовым и  по  сути первым специальным курсом при подготовке физиков, материаловедов и  металлургов. Развитию практических навыков 
в  процессе освоения кристаллографии наилучшим образом 
способствует выполнение соответствующих практических 
заданий.
Практикум содержит две работы по  точечной и  пространственной симметрии, необходимые для формирования 
базовых навыков по  описанию симметрийных отношений 
в кристаллах. В издание включены приложения, не только 
необходимые для  выполнения практических работ по  кристаллографии, но и имеющие самостоятельную ценность.
Для того чтобы сохранить преемственность и высокие 
стандарты, принятые на кафедре физического материаловедения, данный практикум был подробно обсужден с доцентом кафедры Н.П. Дьяконовой, а его рецензентами выступили доцент кафедры А.И. Новиков и начальник управления 
науки НИТУ МИСИС, кандидат физико-математических 
наук А.М. Поляков.
В заключение выражаю признательность Редакционноиздательскому совету и Издательскому Дому НИТУ МИСИС 
за оперативную помощь в подготовке и издании практикума.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ  1  
Определение класса симметрии по моделям 
многогранников
1.1  Цель работы
Научиться выявлять элементы симметрии кристаллических многогранников, определять точечную группу симметрии и  использовать принятые символики для  точечных 
групп, проводить классификацию точечных групп по их принадлежности к кристаллическим системам и категориям.
Развить навыки индицирования граней и ребер, а также стереографического проецирования элементов симметрии 
и граней кристаллических многогранников.
1.2  Теоретическое введение
Традиционно под  кристаллом понимали однородное 
анизотропное твердое тело с  плоскими гранями и  прямыми 
ребрами, способное самоограняться в подходящих условиях 
[1]. В настоящее время принято два эквивалентных определения кристалла. Оба эти определения основаны на понятии 
дальнего порядка – проявляющейся на неограниченно больших расстояниях закономерности в  расположении атомов 
или иных структурных единиц, составляющих вещество.
Преобразования, при которых объект преобразования 
переходит сам в себя, называются операциями или преобразованиями симметрии. Изучение видов симметрии, присущих 
кристаллам, мы начнем с  тех преобразований симметрии, 
которые, как минимум, оставляют одну точку кристаллического пространства неподвижной [2]. Такие преобразования 
называются конечными или точечными. В этом случае объектом преобразования может служить геометрическая фигу

ра, соответствующая форме кристалла,  – кристаллический 
многогранник.
Рассмотрим подробнее указанные выше преобразования симметрии, а именно повороты, отражения и инверсии. 
Прежде всего отметим, что с каждым преобразованием симметрии связан геометрический образ (линия, плоскость или 
точка), обнаруживающий симметрию системы по отношению 
к этому преобразованию симметрии. Именно эти образы (геометрические места точек), которые остаются неподвижными в  случае применения преобразования симметрии, будем 
в  дальнейшем называть элементами симметрии. Так, ось 
симметрии – это прямая линия, при повороте вокруг которой 
на угол ϕ фигура (физическая система) совмещается сама с собой. Поскольку при полном обороте фигура также должна совместиться сама с собой, угол поворота ϕ должен содержаться 
в 2π целое число раз. Очевидно, что в этом случае, при полном 
повороте вокруг оси, фигура совместится сама с собой n = 2p/j 
раз, а число n называется порядком оси поворота.
Положительным считается направление поворота против часовой стрелки (рисунок  1.1).
   
   
	
а	
б	
в	
Рисунок  1.1 – Поворотная ось симметрии (а), 
флаг Республики Ингушетия с солярным знаком, 
обладающим только осью симметрии 3-го порядка (б), 
и кристаллический многогранник, обладающий 
только одной осью симметрии – 4-го порядка (в)