Математика в профессиональной деятельности

 
 
 
Е. И. Фоминых 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИКА  
В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ  
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 
ПРАКТИКУМ 
 
 
Д опу щ ено М инис терс твом обр аз ования Р ес пуб л ик и Б ел ар ус ь  
в к ачестве у чеб ного пос об ия для у чащ ихся учр еждений  
обр аз ования, реал изу ющ их об раз ователь ные пр огр аммы  
ср еднего с пец иаль ного обр аз ования по с пец иал ь ностя м  
пр офиля обр аз ования « Инфор мац ионно-к омму ник ац ионные тех нол огии »  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Минск 
РИПО 
2025 

 
УДК 51(076.5) 
ББК 22.1я723 
Ф76 
А в т о р:  
преподаватель УО «Гомельский торгово-экономический колледж» Белкоопсоюза Е. И. Фоминых  
 
Р е ц е н з е н т ы: 
цикловая комиссия обособленного подразделения «Колледж информационно-коммуникационных  
технологий» УО «Белорусская государственная академия связи» (И. А. Шестакова); 
доцент кафедры ядерных и медицинских технологий УО «Международный государственный  
экологический университет имени А.Д. Сахарова» Белорусского государственного университета  
кандидат физико-математических наук, доцент Л. А. Хвощинская 
 
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может 
быть осуществлено без разрешения издательства. 
Выпуск издания осуществлен при финансовой поддержке Министерства образования Республики 
Беларусь. 
 
 
Фоминых, Е. И. 
Ф76 
Математика в профессиональной деятельности. Практикум : учеб. пособие / 
Е. И. Фоминых. – Минск : РИПО, 2025. – 440 с. : ил. 
ISBN 978-985-895-308-9. 
 
Учебное пособие разработано в соответствии с примерными тематическими планами по учебному предмету «Математика в профессиональной деятельности». Включает материалы для практических занятий по 14 темам. Содержит алгоритмы решений, порядок действий для выполнения 
учащимися индивидуальных заданий, решения типовых примеров и задач, которые достаточно 
полно отображают суть основных математических понятий. Приведены ответы к заданиям. 
Предназначено для учащихся учреждений образования, реализующих образовательные программы среднего специального образования по специальностям профиля образования «Информационно-коммуникационные технологии», также будет полезно для студентов и преподавателей вузов. 
 
УДК 51(076.5) 
ББК  22.1я723 
 
Учебное издание 
 
Редактор, компьютерная верстка Е.В. Потапейко 
Корректор И.В. Счеснюк 
Дизайн обложки И.В. Дворниковой 
 
Подписано в печать 02.06.25. Формат 6084/16. Гарнитура «Таймс». Бумага офсетная. Цифровая печать. 
Усл. печ. л. 25,65. Уч.-изд. л. 16,0. Тираж 500 экз. Заказ 1096.  
 
Республиканский институт профессионального образования. Свидетельство о государственной 
регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/245 от 27.03.2014. 
Ул. К. Либкнехта, 32, 220004, Минск. Тел.: 374 41 00, 272 43 88. 
Отпечатано в Республиканском институте профессионального образования. Тел. 373 69 45. 
 
 
ISBN 978-985-895-308-9 
 © Фоминых Е. И., 2025 
© Оформление. Республиканский институт 
    профессионального образования, 2025

 
1.1. Операции над множествами. Факториал.  
Метод математической индукции 
Умение 
Алгоритм 
Доказательство  
утверждений, содержащих в своей 
формулировке натуральное число n , 
методом математической индукции 
1. Проверить, выполняется ли утверждение при 
1
n 
, подставив в данную формулу 
1
n 
. 
2. Подставить в данную формулу k  вместо n  и предположить, что полученный 
результат верен.  
3. Доказать, что утверждение верно при 
1
n
k


. 
4. Сделать вывод, что утверждение верно 
при любом n  
Проведение операций над множествами 
1. Определить, какие элементы принадлежат множеству, а какие нет. 
2. Найти объединение множеств. 
3. Найти пересечение множеств 
Вычисление факториала 
Факториал числа n  (обозначается 
!
n ) — 
произведение всех натуральных чисел от 
1 до n  включительно, т. е. 


!
1 2 3...
1
.
n
n
n




 Условно считают, 
что 0!
1
 
 
 

 
 
 
Пример 1. Доказать методом математической индукции, что 
для любого натурального n  справедливо равенство  


1
1
1
...
1 2
2 3
1
1
n
n n
n








. 
Решение: 
Алгоритм 
Действие 
1. Проверить, 
выполняется 
ли утверждение 
при 
1
n 
, подставив в данную формулу 
1
n 
 
При 
1
n 
 имеем в левой части равенства 
1
1
1 2
2


, в правой то же самое: 
1
1
1
1
1
2
n
n




. Таким образом, при 
1
n 
  
утверждение верно 
2. Подставить в 
данную формулу k  вместо 
n  и предположить, что полученный результат верен 
При n
k

 утверждение имеет вид 


1
1
1
...
1 2
2 3
1
1
k
k k
k








. 
Считаем это равенство верным 
3. Доказать, 
что утверждение верно при 
1
n
k


 
При 
1
n
k


 утверждение принимает вид 



1
1
1
1
...
1 2
2 3
1
1
1
1
1
k
k
k
k












 
или 



1
1
1
1
...
1 2
2 3
1
2
2
k
k
k
k










. 
Докажем последнее равенство. Для этого преобразуем левую часть, вписав предпоследнее 
слагаемое в сумму дробей в левой части равенства 



1
1
1
...
1 2
2 3
1
2
k
k








 





1
1
1
1
...
.
1 2
2 3
1
1
2
k k
k
k








 
При сделанном предположении сумма первых 

 
 
 
k  дробей равна 
1
k
k 
. В результате в левой 
части имеем 



1
1
1
2
k
k
k
k




. Складывая 
дроби с разными знаменателями, получим  








2
1
1
1
1
2
1
2
k k
k
k
k
k
k
k










 








2
2
1
2
1
1
2
1
2
k
k
k
k
k
k
k










 




1
1
2
2
k
k
k
k






, что и требовалось доказать 
 
 
4. Сделать вывод, что утверждение верно 
при любом n  
Утверждение доказано для любых значений 
n
N

 
 
Пример 2. Доказать, что при любом натуральном n  число 
3
2
3
5
n
n
n


 делится на 3. 
Решение: 
Алгоритм 
Действие 
1. Проверить, выполняется ли утверждение, что 
число 
3
2
3
5
n
n
n


 
делится на 3 при 
1
n 
, подставив в 
данное число 
1
n 
Обозначим 
3
2
3
5
na
n
n
n



. 
При 
1
n 
 имеем: 
3
2
1
1
3 1
5 1
9,
a 





 поэтому 
1a  делится на 3. Таким образом, при 
1
n 
 утверждение верно 
2. Подставить в данное число k  вместо 
n  и предположить, 
что полученный результат верен 
При n
k

 число имеет вид 
3
2
3
5
ka
k
k
k



Считаем, что число 
ka делится на 3 

 
 
 
3. Доказать, что 
утверждение, что 
число 
3
2
3
5
n
n
n


 
делится на 3, верно 
при 
1
n
k


 
Установим, что при 
1
n
k


 число 






3
2
1
1
3
1
5
1
ka
k
k
k






 делится  
на 3.  












3
2
1
3
2
2
3
2
2
2
1
3
1
5
1
3
3
1
3
6
3
5
5
3
5
3
3
3
3
3
3 .
k
k
a
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
a
k
k




























 
Так как каждое слагаемое делится на 3, то 
их сумма также делится на 3, что и требовалось доказать 
4. Сделать вывод, 
что данное утверждение верно при 
любом n 
Утверждение, что число 
3
2
3
5
n
n
n


 делится на 3, доказано для любых значений 
n
N

 
 
Пример 3. Даны два множества: 


2
:
5
6
0
A
x
x
x




 и 


2
:
13
36
0 .
B
x
x
x




 Найти A
B

, A
B

. 
Решение: 
Алгоритм 
Действие 
1. Решить неравенство 
2
5
6
0
x
x



 
методом интервалов 
Решая квадратное уравнение 
2
5
6
0,
x
x



 находим корни 
1
2
5
25
4 6
5
1
,
2
2
x x






, 
1
5
1
2
2
x



, 
2
5
1
3
2
x



. 
Методом интервалов решаем неравенство 



2
3
0
x
x



 
 
                       2          3  
Множеству A  принадлежат все действительные числа из отрезка 

2; 3  

 
 
 
2. Решить неравенство 
2
13
36
0
x
x



 
методом интервалов 
Решая квадратное уравнение 
2
13
36
0
x
x



, находим корни 
1
2
13
169
4 36
13
5
,
2
2
x x






, 
1
13
5
4
2
x



, 
2
13
5
9
2
x



. 
Методом интервалов решаем неравенство 



4
9
0
x
x



 
 
                       4         9 
Множеству B  принадлежат все действительные числа из отрезка 

4; 9  
3. Найти объединение множеств 
Находим объединение множеств: 




2; 3
4; 9
A
B



 
4. Найти пересечение множеств 
Находим пересечение множеств: 
A
B

 
 
Пример 4. Найти 3! 5!
0!
2! 4!



. 
Решение: 
Алгоритм 
Действие 
Применить формулу 
факториала 


!
1 2 3...
1
n
n
n




 








3! 5!
1 2 3
1 2 3 4 5
0!
1
4! 5!
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3
1
4 5
6
1
20
1
1
1 2 3 4
1
5
24
1
5
21
7
7
7
8
15
1
1
1
4 6
4 2
8
8
8
















































 
 

 
 
 
1. Найти. 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
2!
3!
4!

 
2!
0!
1!

 
3!
4!
2!

 
1!
3!
4!

 
2!
0!
2!

 
3!
0!
2!

 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
3!
4!
6!

 
3! 4!
4!
2!


 
3
4!
2!

 
2!
3!
4!

 
3! 4!
4!
2!


 
2!
3!
4!

 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
5!
4!
3!

 
2!
6!
5! 2!


 
3!
4!
0!

 
3!
4!
5!

 
3!
4!
2!

 
2!
0!
1!

 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
3!
4!
4!
2!


 
1!
2!
4

 
5!
4!
3!

 
5!
3!
4!

 
3!
8!
4!
2!


 
5!
4!
3!

 
25 
26 
27 
28 
29 
30 
2!
3!
3!

 
0!
4!
5!
2!


 
3!
4!
4!
0!


 
6!
4!
3!

 
3!
7!
5!

 
3!
4!
4!
2!


 
 
2. Найти U
A

, A
B

, B
C

, C
D

, U
A

, U
B

, 
B
C

 и A
D

. 
1 










15,
14,
13,
12,
11
15,
13,
9
18,
12,
11
15,
16
12
U
A
B
C
D














 
2 









10,
5, 5, 10, 15
10, 10
6, 5, 16
5, 10, 18
9
U
A
B
C
D






 
3 










9,
4, 5, 10, 15
8, 6
5, 6, 12
5, 9, 13
5, 10
U
A
B
C
D






 
4 









10, 11, 12, 13, 14
10, 11, 12
12, 13, 14
10, 14
12
U =
A =
B =
C =
D =
 

 
 
 









, , ,
, ,
,
, , ,
,
, ,
,
, ,
,
U
a b c d e f
g
A
a b c d
B
c d e f
g
C
d e f
D
f
g





 
6 










1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
1, 2, 3, 4
4, 5, 6, 7
2, 4, 6
2, 4
U
A
B
C
D





 
7 









А, В, С, Д, Å
А, В, Û
В, С, Р
А, Ë
Д
U
A
B
C
D





 
8 









1, 3, 4, 5, 7, 9
1, 3, 9
5, 7, 9
4, 5
9
U
A
B
C
D





 
9 










16,
14,
13,
12,
11
16,
13,
12
14,
12,
11
15,
11
12
U
A
B
C
D














 
10










1, 2, 3, 4, 5
1, 2, 3, 4
4, 5
2, 4
2, 3
U
A
B
C
D





 
11










, , ,
,
,
, ,
,
,
,
U
a b c d
A
a b
B
c d e
f
g
C
a b
D
b g





 
12










1, 2, 3, 4, 5
1, 2, 3, 4
4, 5
2, 4
2, 3
U
A
B
C
D





 
13









1, 2, 3, 4, 5
1, 3, 6
2, 8
2, 4, 7
5
U
A
B
C
D





 
14









1, 2, 3, 4, 5
1, 3, 5
2, 4
2, 3, 4
5
U
A
B
C
D


 

 
 
 








10, 11, 12, 13, 14
10, 11, 12
12, 13, 14
10, 14
12
U
A
B
C
D





 
16










1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
1, 2, 3, 5
3, 5, 6, 7
1, 4, 6
3, 4
U
A
B
C
D





 
17









10,
5, 5, 10, 15
10, 10
5, 5, 15
5, 10, 15
5
U
A
B
C
D






 
18









,
, , ,
,
,
,
, ,
U
x y z t u
A
t
B
x u
C
x y z
D
y z t





 
19









2, 4, 6, 8, 10
2, 7
4, 6, 7
2, 6, 9
3
U
A
B
C
D





 
20









, , ,
, ,
,
, , ,
,
, ,
,
U
a b c d e f
g
A
a b c d
B
c d e f
C
e f
D
g





 
21









1, 2, 3, 4, 6
1, 2, 6
3, 4
1, 3, 4
3
U
A
B
C
D





 
22









1, 2, 3, 4, 5
1, 3, 5
2, 4
2, 3, 4
5
U
A
B
C
D





 
23









1, 3, 5, 7, 9
1,3, 9
5, 7, 9
4, 5
9
U
A
B
C
D





 
24










10,
5, 5, 15, 18
10,
18
5, 5, 15
5, 15, 18
5
U
A
B
C
D



