Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум

И. Ю. Мацкевич
Н. П. Петрова
Л. И. Тарусина
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
ПРАКТИКУМ 
Допущено Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для учащихся учреждений образования,
реализующих образовательные программы
среднего специального образования по специальностям
«Программирование мобильных устройств», «Разработка и сопровождение 
программного обеспечения информационных систем»
Минск
РИПО

УДК 519.68(075.32)
ББК 22.17я723
М36
А в т о р ы:
старший преподаватель кафедры физико-математических дисциплин
Института информационных технологий УО «Белорусский государственный
университет информатики и радиоэлектроники» И. Ю. Мацкевич
(предисловие, практические работы 1–3, 6, 8,
задачи с профессионально значимым содержанием);
Н. П. Петрова (практические работы 9–12); 
преподаватель УО БГУИР филиала «Минский радиотехнический
колледж» Л. И. Тарусина (практические работы 4, 5, 7)
Р е ц е н з е н т ы:
цикловая комиссия УО «Могилевский государственный экономический
промышленно-технологический колледж» (М. В. Локшина);
профессор кафедры высшей математики УО «Белорусский 
государственный аграрный технический университет» 
доктор физико-математических наук, профессор И. В. Белько
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее 
части не может быть осуществлено без разрешения издательства.
М36
Мацкевич, И. Ю.
Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум : учеб. пособие / И. Ю. Мацкевич, Н. П. Петрова, Л. И. Тарусина. – Минск : РИПО, 2025. – …198 с. : ил.
ISBN 978-985-895-310-2.
Учебное пособие содержит практические работы в соответствии с 
Учебное пособие содержит практические работы в соответствии с 
примерной учебной программой. В каждой работе кроме практических 
примерной учебной программой. В каждой работе кроме практических 
заданий приведены примеры решения и оформления типовых вариантов 
заданий приведены примеры решения и оформления типовых вариантов 
заданий как расчетными методами, так и с использованием электронных 
заданий как расчетными методами, так и с использованием электронных 
таблиц MS Excel, а также все необходимые исходные данные и справочтаблиц MS Excel, а также все необходимые исходные данные и справочные материалы. 
ные материалы. 
Предназначено для учащихся учреждений среднего специальноПредназначено для учащихся учреждений среднего специального образования по специальностям «Программирование мобильных 
го образования по специальностям «Программирование мобильных 
устройств», «Разработка и сопровождение программного обеспечения 
устройств», «Разработка и сопровождение программного обеспечения 
информационных систем».
информационных систем».
УДК 519.68(075.32)
ББК 22.17я723
ISBN 978-985-895-310-2	
       © Мацкевич И. Ю., Петрова Н. П., Тарусина Л. И., 2025
	
	
	
       © Оформление. Республиканский институт
	
	
	
           профессионального образования, 2025

ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие «Теория вероятностей и математическая 
статистика. Практикум» предназначено для закрепления теоретического материала учащимися, формирования умений решения задач по теории вероятностей при проведении практических 
занятий, а также освоения учащимися статистических методов 
обработки данных с использованием современных информационных технологий в ходе проведения практических работ.
В пособие включены 12 практических работ по теории вероятностей и математической статистике по разделам, предусмотренным примерной учебной программой по учебному предмету 
«Теория вероятностей и математическая статистика» для учреждений среднего специального образования.
Каждая работа содержит цель, краткие теоретические сведения, примеры решения типовых заданий с подробным описанием применяемых математических методов, варианты практических заданий примерно одинаковой степени сложности, а также 
контрольные вопросы и задания, способствующие закреплению 
теоретического материала. 
Для каждой практической работы по теории вероятностей в 
конце учебного пособия приведены матрицы ответов; по практическим работам, связанным с математической статистикой, 
предусмотрена самостоятельная обработка учащимися статистических данных. Авторы стремились дать возможность обучающимся самостоятельно найти способ решения той или иной 
задачи и верно произвести вычисления, предварительно внимательно ознакомившись с необходимым теоретическим материалом, предложенным в каждой работе.
В целях обобщения изученного материала и придания процессу обучения профессионально ориентированного характера в 
конце пособия приведены задачи с профессионально значимым 
содержанием, разнообразные по тематике и разделенные на три 
уровня с возрастанием степени сложности. Их можно разобрать 

Предисловие
на практическом занятии, предложить обучающимся для самостоятельного решения или включить в обязательную контрольную работу. Для контроля правильности решения приведены ответы.
Особенностью данного учебного пособия является также то, 
что в практических работах, тематически относящихся к математической статистике, приведены образцы решения типовых заданий не только расчетными методами, но и с использованием 
электронных таблиц MS Excel. Это может значительно облегчить 
процесс самостоятельной обработки учащимися статистических 
данных.
В приложениях приведены выборки для задач по математической статистике (прил. 1), справочный материал, необходимый для расчетов в случае проведения независимых испытаний (прил. 2–4) и решения задач математической статистики 
(прил. 5–7).
Учебное пособие будет полезно обучающимся также для самостоятельного освоения такого важного и широко применяемого раздела математики, как теория вероятностей и математическая статистика.

КЛАССИЧЕСКОЕ, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
И СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ 
Цель: 
•
• изучение основных понятий теории вероятностей; 
•
• ознакомление с различными методами вычисления вероятностей событий; 
•
• практическое применение элементов комбинаторики для 
вычисления вероятностей событий. 
Краткие теоретические сведения
Элементы комбинаторики. Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы, связанные с рассмотрением множеств и подсчетом числа различных комбинаций из 
элементов этих множеств. 
Пусть дано множество Е, содержащее n элементов. Число n 
называют объемом множества Е. 
Извлечение k (k ≤ n) элементов из множества Е называется выбором k элементов, а сам извлеченный набор – выборкой объема k. 
Правило произведения: если имеется множество Е1 объема n1, 
множество Е2 объема n2, ...…, множество Еk объема nk, то число 
способов выбора по одному элементу из каждого множества Е1, 
Е2, …..., Еk равно n1 n2 ⋅⋅⋅ nk. 
Следствие из правила произведения: если множества Е1, Е2, …..., 
Ек содержат по n элементов каждое, то число способов выбора по 
одному элементу из этих множеств равняется nk.
Правило суммы: если имеется множество Е1 объема n1, множество Е2 объема n2, …..., множество Еk объема nk, то число способов выбора одного элемента из совокупности множеств Е1, Е2, ...…, 
Еk равно n1 + n2 + ... + nk.
Перестановкой n элементов называется расположение этих 
элементов в определенном порядке. Число перестановок из n 
элементов определяется формулой
Pn = n(n – 1)(n – 2)∙∙∙ 2 ∙ 1 = n!

Для единообразия записи принято считать, что 0! = 1.
Любой выбор k элементов, взятых в определенном порядке 
из n элементов, называется размещением из n по k. Число таких 
размещений равно
!
(
1)(
2)
(
(
1))
.
(
)!
k
n
n
A
n n
n
n
k
n
k








Любой выбор k элементов из n элементов без учета порядка 
их выбора называется сочетанием из n по k. Число сочетаний из 
n по k равно
!
.
!(
)!
k
n
n
C
k n
k


(1.1)
Основные понятия теории вероятностей. Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям. 
Осуществление определенного комплекса условий или действий 
называется опытом (или экспериментом), возможный результат 
опыта – событием. 
Событие называется достоверным в данном опыте, если в 
этом опыте оно обязательно произойдет. 
Событие называется невозможным, если в данном опыте оно 
произойти не может (обозначается ∅). 
Случайным называется событие, которое в данном опыте может 
произойти, а может и не произойти (обозначается A, B, C, D, …...). 
Множество всех возможных и взаимоисключающих исходов 
опыта называется пространством элементарных событий (обозначается Ω), связанных с данным опытом. Элементы пространства Ω называются элементарными событиями (элементарными исходами). Для конкретного эксперимента понятие элементарного 
события уточняется в зависимости от решаемой задачи. 
События называются несовместными (совместными), если появление одного из них исключает (не исключает) появление других событий в условиях одного и того же эксперимента. 
Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Событие, 
противоположное событию А, обозначается A–.
Группа событий называется полной группой событий, если в 
результате опыта обязательно наступит хотя бы одно из событий, 
входящих в эту группу. 

Пространство элементарных событий (исходов) образует полную группу попарно несовместных событий.
События называются равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.
Элементарные события 
,
1, ,
i i
k


входящие в состав события A = {ω1, ω2, ..., ωk}, называют исходами, благоприятствующими 
событию А. Таким образом, случайное событие понимается как 
подмножество благоприятствующих ему элементарных событий. 
Действия над событиями. Пусть Ω – пространство элементарных событий некоторого эксперимента. Подмножества A ⊂ Ω
и В ⊂ Ω представляют собой случайные события. Пустое множество ∅ соответствует невозможному событию, а все пространство Ω – достоверному событию.
Суммой событий А и В называется такое событие, которое 
состоится при появлении либо события А, либо события В, либо 
обоих событий вместе (обозначается А + В = А ∪ В) (рис. 1.1).
Произведением событий А и В называется такое событие, которое происходит при одновременном наступлении обоих событий (обозначается АВ = А ∩ В) (рис. 1.2).
Использование союза «или» при описании сложного события 
указывает на сумму событий, а союза «и» – на произведение событий.
Если события А и В несовместны, то АВ = ∅, а если же совместны, то АВ ≠ ∅.
Разностью событий А и В называется событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет 
(обозначается А – В = А \ В) (рис. 1.3).
А
В
А
В
А
В
1.1. Сумма событий
Рис. 1.2. Произведение 
событий
Рис. 1.3. Разность событий
Классическая вероятность. Классической вероятностью случайного события А в эксперименте с конечным числом равновозможных элементарных исходов называется отношение числа 
благоприятствующих этому событию исходов k к общему числу 
всех равновозможных исходов n:
P(A) = k
n .
(1.2)

Из определения классической вероятности вытекают следующие основные свойства, присущие и другим определениям вероятности: 1) 0 ≤ Р(А) ≤ 1; 2) Р(Ω) = 1, Р(∅) = 0; 3) Р(А + В) = 
= Р(А) + Р(В) – P(AB); 4) Р(А) = 1 – Р(A–), где A– – противоположное событие.
Пусть имеется N деталей, из которых M – стандартных 
(M < N). Из этой партии случайным образом выбирается n деталей на проверку. Вероятность того, что среди n отобранных 
деталей будет k стандартных, находится по формуле
( )
.
k
n k
M
N M
n
n
N
C C
P k
C



(1.3)
Статистическая вероятность. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов k, в которых событие А наступило, к общему числу проведенных опытов:
W(A) = k / n.
(1.4)
В качестве статистической вероятности события принимают число, вокруг которого колеблются значения относительной 
частоты при неограниченном возрастании числа испытаний. Для 
существования статистической вероятности события А требуются возможность производить неограниченное число испытаний и 
устойчивость относительных частот появления события А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.
Геометрическая вероятность. Пусть A – событие, состоящее 
в попадании точки, брошенной в область D, в область G ⊂ D. 
Когда говорят, что «в некоторую область брошена точка», имеют 
в виду, что брошено тело, размерами которого можно пренебречь 
по сравнению с размерами данных областей.
Если G и D – отрезки, то геометрической вероятностью события А называется отношение
( )
( )
,
(
)
l G
P A
l D

(1.5)
где l(G) и l(D) – длины отрезков G и D соответственно.
Если G и D – плоские области, то геометрической вероятностью события А называется отношение

( )
( )
,
(
)
S G
P A
S D

(1.6)
где S(G) и S(D) – площади областей G и D соответственно.
Если G и D – пространственные области, то геометрической 
вероятностью события А называется отношение
( )
( )
,
(
)
V G
P A
V D

(1.7)
где V(G) и V(D) – объемы областей G и D соответственно.
 Решение типовых заданий
Задание 1. Из коробки, содержащей 25 деталей, среди которых 6 бракованных, произвольно выбраны 3 детали. Какова 
вероятность того, что среди этих деталей 2 бракованные?
Решение. Используя правило произведения, по формулам (1.1) 
и (1.3) получаем
1
3 1
1
2
25 6
6
19
6
3
3
3
25
25
6!
5 6
19
19
2! 4!
2
(1)
0,124.
25!
23 24 25
3! 22!
3 2
C
C
C C
P
C
C















Ответ: ≈0,124.
Задание 2. Определите, сколько существует способов расселения девяти студентов по трем комнатам: двух-, трех- и четырехместной. 
Решение. Согласно правилу произведения и формуле (1.1), 
найдем число способов расселения студентов:
2
3
4
1 2 3
9
7
4
9!
7!
4!
8 9 5 6 7 1 1260.
2! 7! 3! 4! 4! 0!
2
3 2
N
n n n
C C C

 







 




Ответ: 1260.
Задание 3. В ящике находится 10 лотерейных билетов, из них 
4 выигрышных. Из ящика наугад извлекают два билета. Какова 
вероятность того, что: а) оба билета выигрышные (событие А); 
б) оба билета без выигрыша (событие В); в) один билет выигрышный, а второй нет (событие С)?
Решение. Применим формулу классической вероятности (1.2) 
и правило подсчета числа сочетаний (1.1):

а) выбор двух билетов из 10 можно осуществить 
10
n
C

  
10!
9 10
45
2! 8!
2





 
способами, а двух выигрышных билетов из 
четырех 
2
1
4
4!
3 4
6
2! 2!
2
k
C






 способами. Получим, что в данном случае 
1
6
( )
0,133;
45
k
P A
n



б) имеются 
2
2
6
6!
5 6
15
2! 4!
2
k
C






 возможностей выбора 
билета без выигрыша. В таком случае вероятность 
2
( )
k
P B
n


15
0,333;
45


в) существуют 4 возможности вытащить выигрышный билет 
и 6 возможностей – билет без выигрыша. Имеются k3 = 6 ∙ 4 = 24 
возможности вытащить один билет с выигрышем, а другой без 
выигрыша. Тогда
 
3
24
( )
0,533.
45
k
P C
n



Ответ: а) ≈0,133; б) ≈0,333; в) ≈0,533.
Задание 4. На плоскости начерчены две концентрические 
окружности, радиусы которых составляют 5 и 10 см соответственно. Какова вероятность того, что точка, произвольно брошенная в больший круг, попадет в кольцо, образованное данными окружностями?
Решение. Событие А состоит в том, что точка, произвольно 
брошенная в больший круг, попадет в кольцо между данными 
окружностями. Площадь большого круга (фигуры D) S(D) = π ∙ 102 =
= 100π. Площадь кольца (фигуры G) равна S(G) = π(102 – 52) = 
= 75π. Искомую вероятность найдем по формуле (1.6). Тогда
( )
75π
( )
0,75.
(
)
100π
S G
P A
S D



Ответ: 0,75.
Задание 5. Юноша и девушка договорились о свидании в условленном месте. Каждый из них приходит к месту встречи независимо друг от друга между 17.00 и 18.00. Какова вероятность, 
что они встретятся, если пришедший первым ждет другого не 
более 20 мин?