Лекции по теории числовых и функциональных рядов

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ЧИСЛОВЫХ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Учебное пособие
В. А. Ильин, И. С. Ломов
Издательство Московского университета 


Ilyin, V. A., Lomov, I. S.
Lectures on the Theory of Numerical and Functional Series / V. A. Ilyin, 
I. S. Lomov. — Moscow : Moscow University Press, . —  p.
ISBN ----
The manual contains a systematic statement of four important sections of the 
general course of the mathematical analysis: the theory of numerical series, the theory of functional sequences and series, the theory of series of Fourier and the main 
data on Fourier’s integral. The statement is most approached to a lecture course.
The book is intended for bachelors which profoundly study mathematics.
Keywords: a series, sequence, convergence, uniform convergence, operations with 
convergent series, summation of divergent series, double and repeated series, infi nite 
products, power series, Fourier’s series on orthonormalized systems, Fourier’s trigonometrical series, Fourier’s integral
Ильин, В. А., Ломов, И. С.
Лекции по теории числовых и функциональных рядов : учебное пособие / В. А. Ильин, И. С. Ломов. — Москва : Издательство Московского университета, . — , [] с. — (Бакалавриат. Курсы лекций).
ISBN ----
Учебное пособие содержит систематическое изложение четырех важных разделов общего курса математического анализа: теорию числовых рядов, теорию 
функциональных последовательностей и рядов, теорию рядов Фурье и основные сведения по интегралу Фурье. Изложение максимально приближено к лекционному курсу.
Для бакалавров, углубленно изучающих математику.
Ключевые слова: ряд, последовательность, сходимость, равномерная сходимость, операции со сходящимися рядами, суммирование расходящихся рядов, 
двойные и повторные ряды, бесконечные произведения, степенные ряды, ряды Фурье по ортонормированным системам, тригонометрические ряды Фурье, 
интеграл Фурье
УДК 1 (.)
ББК .1я
И
Публикуется по решению Редакционно-издательского совета
Московского государственного университета 
имени М. В. Ломоносова
УДК  (.)
ББК .я
         И
ISBN ----
© Ильин В. А., Ломов И. С., 
© Издательство Московского университета, 

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1. Теория числовых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§ 1. Числовой ряд. Критерий сходимости числового ряда . . . . . . .
9
§ 2. Сходимость рядов с неотрицательными членами . . . . . . . . . .
14
1. Критерий сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2. Три признака сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3. Признаки Даламбера и Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4. Сравнение признаков Даламбера и Коши . . . . . . . . . . . . .
22
5. Интегральный признак Коши–Маклорена . . . . . . . . . . . . .
25
§ 3. О перестановке слагаемых сходящихся числовых рядов . . . . .
28
1. Понятия абсолютно и условно сходящихся рядов. . . . . . . .
28
2. О перестановке членов условно сходящегося ряда . . . . . . .
30
3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда . . . . .
34
§ 4. Сложение и умножение сходящихся числовых рядов . . . . . . .
36
§ 5. Признаки сходимости произвольных числовых рядов . . . . . . .
40
1. Последовательности с ограниченным изменением . . . . . . .
41
2. Преобразование Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3. Признаки сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
§ 6. Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
§ 7. Элементарная теория двойных и повторных рядов . . . . . . . . .
55
§ 8. Обобщенные методы суммирования расходящихся числовых
рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
1. Метод Чезаро (или метод средних арифметических) . . . . .
64
2. Метод суммирования Пуассона–Абеля . . . . . . . . . . . . . . .
66
Глава 2. Функциональные последовательности и ряды . . . . .
71
§ 1. Различные виды сходимости функциональных последовательностей и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
1. Сходимость в точке и на множестве . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2. Равномерная сходимость на множестве . . . . . . . . . . . . . . .
75
3. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности (ряда) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
§ 2. Признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
1. Признак Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2. Функциональные последовательности с равномерно ограниченным изменением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3. Два признака Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

Оглавление
4. Признак Дини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Функциональные свойства суммы ряда и предельной функции
последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
1. Почленный переход к пределу. Непрерывность . . . . . . . . .
95
2. Интегрируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3. Дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
§ 4. Сходимость в среднем. Теорема о почленном интегрировании
функциональных последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1. Связь между сходимостью в среднем и другими видами
сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2. Теорема о почленном интегрировании. . . . . . . . . . . . . . . .
113
§ 5. Равностепенная непрерывность последовательности функций.
Теорема Арцела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§ 6. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
1. Степенной ряд и область его сходимости . . . . . . . . . . . . .
125
2. Функциональные свойства степенных рядов . . . . . . . . . . .
129
3. Разложение функций в степенные ряды . . . . . . . . . . . . . .
132
4. Разложение
некоторых
элементарных
функций
в
ряд
Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5. Степенные ряды в комплексной области . . . . . . . . . . . . . .
136
Глава 3. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
§ 1. Задача о наилучшем приближении элементов евклидова пространства. Общие ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1. Бесконечномерные
евклидовы
и
псевдоевклидовы
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2. Ортонормированные системы в ЕП и ПЕП . . . . . . . . . . . .
145
§ 2. Замкнутые и полные ортонормированные системы в ПЕП . . .
151
§ 3. Сходимость средних Чезаро частичных сумм тригонометрического ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1. Лемма об интегралах от периодической функции по отрезку
длиной в период . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2. Интегральное представление для частичных сумм тригонометрического ряда Фурье. Ядро Дирихле . . . . . . . . . . . . . 157
3. Интегральное представление для средних Чезаро частичных
сумм тригонометрического ряда Фурье. Ядро Фейера . . . . 160
4. Теорема Фейера о равномерной сходимости средних Чезаро
162
5. Локальная теорема Фейера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
§ 4. Замкнутость тригонометрической системы. Теоремы Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1. Теорема о замкнутости тригонометрической системы . . . . .
169
2. Следствия замкнутости тригонометрической системы. . . . .
173
3. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывных функций тригонометрическими и алгебраическими
многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Оглавление
§ 5. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного
дифференцирования тригонометрического ряда Фурье . . . . . . 176
1. Вводные замечания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости
тригонометрического ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4. Оценка
скорости
сходимости
тригонометрического
ряда
Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 6. Уточненные условия сходимости тригонометрического ряда
Фурье в точке и на множестве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
1. Свойства коэффициентов Фурье функции двух переменных
185
2. Выделение главной части в частичной сумме тригонометрического ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3. Принцип локализации Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
4. Функциональные классы Гёльдера . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье
для функции из класса Гёльдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье в точке . . . .
198
7. Сходимость
тригонометрического
ряда
Фурье
кусочногёльдеровой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
§ 7. Равномерная
сходимость
тригонометрического
ряда
Фурье
функции из класса Дини–Липшица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Глава 4. Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
§ 1. Свойства преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
§ 2. Разложение функции в интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . .
215
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221

Предисловие
В основу этой книги положены лекции по математическому
анализу, которые авторы читали в течение ряда лет студентам
второго курса факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени
М. В. Ломоносова. В результате многолетнего чтения лекций
в излагаемые в книге разделы были внесены существенные
изменения как в сам подбор материала, так и в стиль и характер
изложения.
При написании книги авторы стремились к систематичности изложения и к выделению важнейших понятий и теорем.
Книга содержит теорию числовых рядов (включая бесконечные
произведения, двойные и повторные ряды и обобщенные методы
суммирования расходящихся рядов), теорию функциональных
последовательностей и рядов, теорию рядов Фурье и интеграл
Фурье.
Ряд разделов курса изложен с большей общностью и при
меньших, чем обычно, ограничениях. Сюда относятся, например,
условия почленного дифференцирования и почленного интегрирования функциональных последовательностей и рядов, связь
между различными видами сходимости и почленным интегрированием функциональных последовательностей и рядов. В разделе
«Ряды Фурье» исследуются общие ряды Фурье по произвольным ортонормированным системам как в евклидовых, так и
в псевдоевклидовых пространствах. Теорема о замкнутости тригонометрической системы функций доказана для класса лишь
интегрируемых по Риману функций, приведены не только простейшие условия равномерной сходимости тригонометрических
рядов Фурье, но и условия равномерной сходимости для функций
из классов Гёльдера, а также доказывается теорема Дини–
Липшица, содержащая окончательные (в терминах модуля непрерывности функции) условия равномерной сходимости тригонометрических рядов Фурье.
Отметим,
что
для
ссылки
на
теоремы
из
предыдущих
глав курса математического анализа мы используем книгу [1]
(Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический
анализ. Начальный курс. М.: Изд-во МГУ, 1985 и последующие
издания). В ссылке указывается номер пункта, параграфа из [1].

§ 1. Числовой ряд. Критерий сходимости
числового ряда
Рассмотрим произвольную числовую последовательность
{uk}∞
k=1, формально просуммируем все ее члены:
u1 +u2 +...+uk +... ≡
∞
X
k=1
uk,
(1)
полученное выражение назовем числовым рядом, в котором
uk — общий член ряда, знак P (греческая буква сигма) означает сумму; сумму первых n слагаемых, Sn =
nP
k=1
uk, назовем
n-й частичной суммой ряда (1).
Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если сходится
последовательность {Sn} частичных сумм этого ряда.
Предел S последовательности {Sn} называется суммой
этого ряда. Для сходящегося ряда можно формально записать
S =
∞
X
k=1
uk;
выражение
S −Sn =
∞
X
k=n+1
uk ≡rn
называется n-м остатком ряда. Из определения предела
последовательности получаем, что1
1 Для придания компактной формы математическим высказываниям
будем использовать общепринятые символы: ∃—
«существует», ∀—
«для любого», «любой», а также обозначения N и R для множества натуральных и вещественных чисел соответственно. Кроме того, множество
[a,b] = {x ∈R: a ⩽x ⩽b} называем отрезком (сегментом) с концами a
и b, множество (a,b) = {x ∈R: a < x < b} — интервалом, а множества
[a,b) и (a,b] — полуинтервалами.

∃S: ∀ε > 0 ∃N ∈N: ∀n ⩾N
|Sn −S| = |rn| < ε,
то есть rn = o(1), остаток сходящегося ряда, является бесконечно малой величиной.
Если конечного предела последовательности {Sn} не существует, то ряд называется расходящимся. Формально это
можно записать так:
∀S ∈R ∃ε > 0: ∀N ∈N ∃n ⩾N: |Sn −S| ⩾ε.
Вопросы суммирования расходящихся числовых рядов мы
рассмотрим позже в § 8. Заметим, что индексов суммирования
в числовых рядах может быть более одного. В § 7 мы рассмотрим так называемые двойные и повторные ряды, у которых
два индекса суммирования.
Наша ближайшая цель — установить признаки сходимости и расходимости числовых рядов (1), ввести арифметические операции над сходящимися числовыми рядами.
Рассмотрим три примера числовых рядов.
Пример 1. Из курса элементарной математики хорошо
известны формулы суммы конечного числа членов геометрической прогрессии и суммы всех членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии. Выясним вопрос о сходимости
ряда, представляющего сумму членов геометрической прогрессии:
1+q +q2 +...+qk−1 +... =
∞
X
k=1
qk−1,
q ̸= 0.
(2)
Если q ̸= 1, то сумма Sn первых n слагаемых этого ряда
равна Sn = 1−qn
1−q . В случае когда |q| > 1, последовательность
{Sn} расходится, а следовательно, расходится и ряд (2). При
|q| < 1 последовательность {Sn} сходится, а следовательно,
сходится и ряд (2), при этом сумма ряда S = lim
n→∞Sn =
1
1−q,
а остаток ряда rn = S −Sn =
qn
1−q быстро стремится к нулю.
В случае |q| = 1 последовательность {Sn} расходится: Sn =
= n →+∞при q = 1, Sn ∈{0,1} при q = −1 — последовательность имеет две предельные точки.
Таким образом, ряд (2) сходится только в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии {qk−1}.

Пример 2. Рассмотрим функцию y = ex. Зафиксируем
произвольное значение x ∈R и покажем, что число S = ex
является суммой следующего числового ряда:
1+ x
1! + x2
2! + x3
3! +...+ xk
k! +... = 1+
∞
X
k=1
xk
k! ≡
∞
X
k=0
xk
k! .
(3)
Воспользуемся известной формулой Маклорена для функции ex, справедливой для каждого x ∈R, в том числе для
зафиксированного нами значения x (см. п. 2 § 9 гл. 6 из [1]1):
ex = 1+ x
1! + x2
2! + x3
3! +...+
xn−1
(n−1)! +Rn(x),
Rn(x) = xn
n! eθx,
θ ∈(0,1).
Обозначим частичную сумму ряда (3)
Sn = 1+ x
1! + x2
2! +...+
xn−1
(n−1)!,
тогда
|ex −Sn| = |Rn(x)| ⩽|x|n
n! e|x| →0,
n →∞.
Таким образом, ряд (3) сходится и его сумма S = lim
n→∞Sn =
= ex для данного значения x. Поскольку x мы фиксировали
произвольным образом, то ряд (3) сходится для каждого x на
числовой прямой R.
Пример 3. Исследуем на сходимость следующий числовой
ряд:
1
2·1 + 1
3·2 + 1
4·3 +...+
1
k(k−1) +... =
∞
X
k=2
1
k(k−1).
Воспользуемся простым преобразованием
1
k(k−1) =
1
(k−1) −1
k
для членов частичной суммы исследуемого ряда:
1 Здесь и далее дается ссылка на книгу, указанную в предисловии.