Финансовая математика
Покупка
Новинка
Основная коллекция
Тематика:
Финансы. Денежное обращение. Кредит
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Год издания: 2026
Кол-во страниц: 304
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
Профессиональное образование
ISBN: 978-5-16-021910-3
ISBN-онлайн: 978-5-16-114690-3
Артикул: 869092.01.01
Доступ онлайн
от 368 ₽
В корзину
Университетский курс современных математических финансов состоит из двух разделов. В первом разделе кратко изложены вопросы теории современных математических финансов. Описаны биномиальная и диффузионная модели финансового рынка.
Рассмотрены методы расчета и хеджирования производных ценных бумаг, включая вопросы оптимального инвестирования и управления рисками. Показано, как техника совершенного хеджирования преобразуется в технику квантильного хеджирования,
применяемую далее к расчетам инновационных схем страхования жизни. Показана связь вычислительных формул и техники, характерных для современных математических финансов и актуарной науки. Сложные факты и подходы современных математических финансов излагаются в упрощенной математической форме. Во втором разделе содержатся адаптированные к тексту примеры и задачи с решениями и указаниями.
Для студентов экономико-математических специальностей университетов, аспирантов и преподавателей. Будет полезен профессионалам финансово-страховой индустрии.
Финансовая математика: Мост между теорией и практикой
В условиях постоянно меняющихся финансовых рынков и растущей сложности страховых продуктов, потребность в глубоком понимании математических основ финансов и актуарной науки становится критически важной. Учебное пособие А.В. Мельникова "Финансовая математика" (ИНФРА-М, 2026) предлагает комплексный подход к изучению современных математических финансов, акцентируя внимание на синтезе теоретических концепций и практических приложений.
Структура и содержание
Книга разделена на две основные части. Первый раздел, "Элементы современной теории математических финансов и страхования", представляет собой концентрированное изложение ключевых теоретических аспектов. Он охватывает фундаментальные понятия финансового рынка, включая биномиальные и диффузионные модели, методы ценообразования и хеджирования производных ценных бумаг, а также вопросы оптимального инвестирования и управления рисками. Особое внимание уделяется связи между математическими финансами и актуарной наукой, демонстрируя, как техника совершенного хеджирования трансформируется в квантильное хеджирование для расчетов инновационных схем страхования жизни. Автор стремится изложить сложные концепции в упрощенной математической форме, делая материал доступным для широкого круга читателей.
Второй раздел, "Задачи и решения", является неотъемлемой частью пособия, предлагая обширный набор адаптированных примеров и задач с подробными решениями и указаниями. Этот практический компонент позволяет студентам закрепить теоретические знания и развить навыки решения реальных финансовых и актуарных проблем.
Ключевые концепции и подходы
Пособие начинается с вводных замечаний о предмете и значении финансовой и страховой математики, определяя важнейшие черты рынка и основные элементы финансовой системы. Далее подробно рассматриваются классические модели финансового рынка: биномиальная модель (с дискретным временем) и модель Блэка-Шоулса (с непрерывным временем). Автор объясняет концепцию риск-нейтральной вероятности и её роль в ценообразовании активов, свободных от арбитража.
Значительное внимание уделяется производным ценным бумагам, таким как опционы, и методам их оценки. Подробно излагаются расчетные формулы цен опционов, включая классическую формулу Кокса-Росса-Рубинштейна и формулу Блэка-Шоулса. Рассматривается также инвестиционная проблематика, основанная на функции полезности, и её применение для определения оптимальных стратегий инвестирования.
Отдельный блок посвящен стохастическому исчислению и винеровскому процессу, которые являются краеугольными камнями современной финансовой математики. Автор объясняет основные концепции стохастического анализа, преобразования в процессах Ито и теорему Гирсанова. Эти инструменты затем применяются для анализа рынков акций и облигаций, включая модели Васичека и формулы Джамшидана.
Важной частью пособия является раздел, посвященный финансово-страховым контрактам и расчетам с учетом фактора смертности. Здесь рассматриваются таблицы смертности, принципы расчета страховых премий (включая чистые дожития и срочное страхование) и резервов. Вводится концепция квантильного хеджирования как альтернатива совершенному хеджированию, особенно актуальная для инновационных страховых продуктов.
Завершающие главы посвящены современным мерам риска, таким как VaR, CVaR и RVaR, а также методам оценивания качества управления активами, включая различные коэффициенты доходности (Шарпа, Сортино, Омега, Каппа) и анализ инвестиционных стилей менеджеров.
Целевая аудитория и значимость
Данное учебное пособие предназначено для студентов экономико-маматематических специальностей университетов, аспирантов и преподавателей. Оно также будет полезно профессионалам финансово-страховой индустрии, стремящимся углубить свои знания в области количественного анализа. Книга А.В. Мельникова является ценным ресурсом, который не только предоставляет фундаментальные теоретические знания, но и вооружает читателя практическими инструментами для решения актуальных задач в сфере финансов и страхования. Её синтетический характер, сочетающий теорию с обширным практическим материалом, делает её незаменимой для адекватного образования в актуарно-финансовых программах.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
- 01.03.05: Статистика
- 38.03.01: Экономика
- 38.03.02: Менеджмент
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
- 01.04.02: Прикладная математика и информатика
- 01.04.03: Механика и математическое моделирование
- 01.04.04: Прикладная математика
- 01.04.05: Статистика
- 38.04.01: Экономика
- 38.04.02: Менеджмент
- 38.04.08: Финансы и кредит
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
- 38.05.01: Экономическая безопасность
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
А. В. Мельников Финансовая математика 2026 Москва ИНФРА-М Учебное пособие
УДК 336(075.8) ББК 65.261я73 М48 Р е ц е н з е н т ы: Смирнов С. Н., д-р физ.-мат. наук (профессор кафедры системного анализа факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова); Шамраева В.В., канд. физ.-мат. наук (доцент кафедры математики и анализа данных факультета информационных технологий и анализа больших данных Финансового университета при Правительстве РФ) Рекомендовано к изданию решением Ученого совета МШЭ МГУ имени М. В. Ломоносова (протокол № 1 от 05 февраля 2026 г.) Мельников А. В. Финансовая математика : учебное пособие / А. В. Мельников. — Москва : ИНФРА-М, 2026. — 304 c. (Магистр) ISBN 978-5-16-021910-3 (print) ISBN 978-5-16-114690-3 (online) Университетский курс современных математических финансов состоит из двух разделов. В первом разделе кратко изложены вопросы теории современных математических финансов. Описаны биномиальная и диффузионная модели финансового рынка. Рассмотрены методы расчета и хеджирования производных ценных бумаг, включая вопросы оптимального инвестирования и управления рисками. Показано, как техника совершенного хеджирования преобразуется в технику квантильного хеджирования, применяемую далее к расчетам инновационных схем страхования жизни. Показана связь вычислительных формул и техники, характерных для современных математических финансов и актуарной науки. Сложные факты и подходы современных математических финансов излагаются в упрощенной математической форме. Во втором разделе содержатся адаптированные к тексту примеры и задачи с решениями и указаниями. Для студентов экономико-математических специальностей университетов, аспирантов и преподавателей. Будет полезен профессионалам финансово-страховой индустрии. Электронная версия книги доступна в электронной библиотечной системе www.znanium.com УДК 336(075.8) ББК 65.261я73 ISBN 978-5-16-021910-3 (print) ISBN 978-5-16-114690-3 (online) © Мельников А. В., 2026 М48
Финансовая математика 5 Содержание Содержание Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Раздел I Элементы современной теории математических финансов и страхования 1 Вводные замечания о предмете и значении финансовой и страховой математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Важнейшие черты рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Основные элементы финансовой системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Классические модели финансового рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Биномиальная модель (модель с дискретным временем) . . . . . . . . . 16 Модель Блэка — Шоулса (модель с непрерывным временем) . . . . . 17 Определение оптимальной стратегии инвестирования . . . . . . . . . . . . . . 18 Расчет премии опциона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Расчет на основе функции полезности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Страхование как элемент финансовой системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Расчет страховой премии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Страхование жизни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Биномиальная модель рынка и элементы дискретного стохастического анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Динамика цен базовых активов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Инвестиционная стратегия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Полнота биномиального рынка и расчетные формулы цен опционов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Расчет справедливой стоимости опциона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Опцион покупателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Опцион продавца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Оценка страховых контрактов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Финансовая матемитика Содержание 4 Неполнота мультиномиального рынка: верхние и нижние цены опционов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Изменение цен базовых активов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Спред на неполном рынке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Суперхеджирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5 Инвестиционная проблематика в рамках биномиального рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Динамические платежные обязательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Определение стратегии инвестирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Расчет хеджа американского опциона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Расчет на базе функции полезности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6 Винеровский процесс и стохастическое исчисление . . . . . . . . . . . . 52 Основные концепции стохастического анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Преобразования в процессах Ито . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7 Рынки акций и облигаций, построенные с помощью винеровского процесса: формулы Блэка — Шоулса, Маргрейба и Джамшидана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Модель Блэка — Шоулса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Задача оптимального инвестирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Оптимальная пропорция рискового капитала в портфеле . . . . . . . . . 66 Портфель с двумя рисковыми активами и банковским счетом . . . . 67 Метод разделения банковского счета на сберегательный и кредитный . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Сравнение капиталов самофинансируемых стратегий . . . . . . . . . . . . 70 Облигации как рисковый актив . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Модель Васичека . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Формула Джамшидана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8 Финансово-страховые контракты и расчеты с учетом фактора смертности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Таблицы смертности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Расчет страховых премий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Премия при чистом дожитии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Финансовая математика 7 Содержание Премия при срочном страховании . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Премия при гарантированной выплате . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Периодическая премия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Резервы для выплаты премий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 9 Квантильное хеджирование и его применение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Задача квантильного хеджирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Квантильное хеджирование опциона покупателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Расчеты контрактов страхования жизни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 10 Модель и формула Башелье и их обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Модель Башелье для (B, S)-рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Обобщение модели Башелье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Границы цены опциона по модели Блэка — Шоулса . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Вероятностные аспекты расчетов доходности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11 Современные меры риска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Понятие меры риска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Мера VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Мера CVaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Мера RVaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Построение хеджирующей стратегии с использованием RvaR . . . . . . . 108 12 Оценивание качества управления активами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Стиль менеджера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Категории менеджеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Выбор индекса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Методолгия сопоставлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Коэффициент доходности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Раздел II Задачи и решения 1 Стохастический анализ 1. 1. Общие вопросы стохастического анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Содержание 1.2. Стохастические модели с дискретным временем . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.3. Стохастическое исчисление и процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 2 Элементы математических финансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2.1. Общие вопросы математических финансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 2.2. Биномиальная модель рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 2.3. Диффузионные модели рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 2.4. Облигации и структура процентных ставок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 3 Управление рисками и страхование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 3.1. Анализ качества управления активами и рисками . . . . . . . . . . . . . 260 3.2. Элементы страховой математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 Об авторе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Финансовая математика 9 Предисловие Предисловие За последние три десятилетия произошли существенные изменения в таких смежных областях знания, как стохастический анализ, математические финансы и актуарная наука. С одной стороны, техника и методы стохастического анализа оказались чрезвычайно полезными для математических финансов и страхования. С другой стороны, указанные области приложения привнесли в стохастический анализ свежие идеи и позволили получить новые результаты фундаментальной значимости. Указанная тенденция была поддержана институционально через появление университетских актуарно-финансовых программ, в том числе и через публикации в этих областях целого ряда монографий и учебников теоретического характера. Для обеспечения адекватного образования требуются учебники синтетического характера, сочетающие в себе элементы теории и аккуратно подобранные учебно-практические задачи с решениями. Предлагаемая читателю книга попадает именно в такую востребованную категорию. Отличительной чертой и безусловным достоинством книги является большой список адаптированных к теории задач с решениями и указаниями. Теоретический материал в данной книге играет вспомогательную роль и поэтому излагается схематично, без излишней детализации доказательств целого ряда важных фактов. Читателям, зинтересованным в раскрытии опущенных деталей теории, автор рекомендует свою книгу “Risk Analysis in Finance and Insurance”, 3rd edition, Chapman&Hall/CRC, 2026; можно использовать и 2-е издание книги: Мельников А. В. Анализ риска в финансах и страховании. М.: Анкил, 2015. — 414 с. Книга написана на основе большого числа курсов лекций, прочитанных автором на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова, в Московской школе экономики МГУ, ГУ-Высшая школа экономики, а также в Лаборатории актуарной математики Копенгагенского университета и Программе математических финансов Университета Альберты. Она может быть использована студентами и преподавателями соответствующих курсов финансовой математики, а также смежных дисциплин, таких как случайные процессы и актуарная математика.
Предисловие При подготовке книги большую помощь автору оказали его студенты в рамках Программы математических финансов Университета Альберты. Автор считает своим долгом выразить им, особенно Илье Васильеву и Натаван Сафихановой, свою искреннюю благодарность. Автор благодарен академику РАН А. Д. Некипелову, оказавшему автору помощь в нахождении подходящего издательства для осуществления данного книжного проекта. Наконец, неоценимую и по-настоящему профессиональную помощь в редактировании и издании книги оказала автору руководитель издательства «Магистр» И. К. Безумнова, которой автор приносит свою самую искреннюю благодарность. А. В. Мельников Университет Альберты, Эдмонтон, Канада
Раздел I Элементы современной теории математических финансов и страхования
Доступ онлайн
от 368 ₽
В корзину