Математическое моделирование опорно-двигательного аппарата

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
А. В. ГЛАДКОВ, В. В. КОМИССАРОВ 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  
МОДЕЛИРОВАНИЕ  
ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОГО 
АППАРАТА 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2023 
 

УДК 616.711(075.8) 
         Г522 
 
Рецензенты: 
С. В. Моторин, д-р техн. наук,  
зав. кафедрой информационных систем СГУВТ 
А. В. Пелеганчук, канд. мед. наук, зав. нейрохирургическим отделением 
ФГПУ «НИИТО им. Я. Л. Цивьяна» 
 
 
Работа выполнена на кафедре систем сбора и обработки данных 
и кафедре высшей математики 
 
 
Гладков А. В. 
Г522   
Математическое моделирование опорно-двигательного аппарата : учебное пособие / А. В. Гладков, В. В. Комиссаров. – 
Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2023. – 116 с. 
ISBN 978-5-7782-5023-9 
Учебное пособие предназначено для подготовки магистров по 
направлению 12.04.04 «Биотехнические системы и технологии» при 
изучении дисциплины «Современные проблемы биомедицинской инженерии». 
 
 
 
 
 
 
УДК 616.711(075.8) 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-5023-9  
 
 
 
 
 
 Гладков А. В., Комиссаров В. В., 2023 
 Новосибирский государственный 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    технический университет, 2023 
 

 
 
 
 
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ 
 
Введение .................................................................................................................. 6 
1. Анатомо-физиологические особенности позвоночника человека.   
    Позвоночник как единый орган ...................................................................... 7 
   1.1. Анатомическое строение позвонков .......................................................... 10 
   1.2. Особенности строения шейного отдела позвоночника ............................ 11 
   1.3. Особенности строения грудного отдела позвоночника ............................ 14 
   1.4. Особенности строения поясничного отдела позвоночника ..................... 15 
   1.5. Анатомия и физиология межпозвонковых дисков .................................... 16 
   1.6. Связочный аппарат позвоночника .............................................................. 17 
2. Моделирование опорно-двигательного аппарата ...................................... 20 
   2.1. Моделирование отдельных позвонков ....................................................... 20 
      2.1.1. Параметры отдельных позвонков в сагиттальной плоскости ............ 22 
      2.1.2. Параметры отдельных позвонков во фронтальной плоскости .......... 23 
      2.1.3. Параметры отдельных позвонков в горизонтальной плоскости ........ 25 
      2.1.4. Параметры сегмента позвоночника в сагиттальной плоскости ......... 29 
      2.1.5. Параметры взаимоотношения сочленяющихся позвонков  
                в сагиттальной плоскости ...................................................................... 31 
      2.1.6. Параметры сегмента позвоночника во фронтальной плоскости ....... 32 
      2.1.7. Параметры взаимоотношения сочленяющихся позвонков  
                во фронтальной плоскости .................................................................... 33 
      2.1.8. Параметры сегмента позвоночника горизонтальной плоскости ....... 34 
      2.1.9. Параметры взаимоотношения сочленяющихся позвонков  
                в горизонтальной плоскости ................................................................. 34 
      2.1.10. Моделирование перемещений позвонка в сагиттальной 
                  плоскости .............................................................................................. 35 

      2.1.11. Моделирование перелома тела позвонка ........................................... 40 
      2.1.12. Моделирование перемещения позвонка во фронтальной  
                  плоскости .............................................................................................. 41 
      2.1.13. Моделирование перемещения позвонка в горизонтальной  
                  плоскости .............................................................................................. 46 
      2.1.14. Моделирование сочетания бокового наклона  
                  и ротации позвонка .............................................................................. 50 
   2.2. Формирование позвоночника в сагиттальной плоскости ......................... 52 
      2.2.1. Параметры кинематической цепи позвоночника в сагиттальной 
                плоскости ................................................................................................ 54 
      2.2.2. Параметры тел позвонков от С2 до L5 в сагиттальной плоскости .... 55 
      2.2.3. Параметры позвонка S1 ......................................................................... 56 
      2.2.4. Параметры дисков от С2–С3 до L4–L5 в сагиттальной плоскости ... 56 
      2.2.5. Параметры диска L5–S1 ........................................................................ 58 
      2.2.6. Параметры стандартных отделов позвоночника в сагиттальной 
                плоскости ................................................................................................ 60 
   2.3. Формирование позвоночника во фронтальной плоскости ....................... 63 
      2.3.1. Параметры позвонков от С2 до S1 во фронтальной плоскости ......... 64 
      2.3.2. Параметры дисков от C2–C3 до L5–S1 во фронтальной 
                плоскости ................................................................................................ 65 
      2.3.3. Параметры произвольных отрезков во фронтальной плоскости ....... 66 
   2.4. Параметры нижних конечностей в сагиттальной плоскости ................... 68 
   2.5. Параметры нижних конечностей во фронтальной плоскости ................. 70 
   2.6. Моделирование функции позвоночника .................................................... 73 
   2.7. Моделирование патологических изменений формы  
          и ориентации позвоночника ........................................................................ 73 
      2.7.1. Моделирование патологии позвоночника в сагиттальной  
                плоскости ................................................................................................ 73 
      2.7.2. Расчет изменения координат при моделировании патологии ............ 75 
      2.7.3. Моделирование патологии позвоночника во фронтальной 
                плоскости ................................................................................................ 78 
      2.7.4. Моделирование компенсаторных реакций при патологии  
                позвоночника в сагиттальной плоскости ............................................. 79 

   2.8. Моделирование патологии нижних конечностей в сагиттальной  
          плоскости ...................................................................................................... 79 
   2.9. Моделирование патологии нижних конечностей во фронтальной 
          плоскости ...................................................................................................... 80 
   2.10. Моделирование компенсаторных реакций при патологии нижних 
            конечностей в сагиттальной плоскости ................................................... 86 
   2.11. Моделирование компенсаторных реакций при патологии нижних  
            конечностей во фронтальной плоскости .................................................. 87 
   2.12. Моделирование коррекции деформации позвоночника ......................... 87 
Словарь терминов .................................................................................................. 92 
Библиографический список .................................................................................. 96 
Приложения ............................................................................................................ 98 
Приложение 1. Координаты реперных точек отдельных позвонков 
                           в трех плоскостях ........................................................................ 98 
Приложение 2. Координаты реперных точек тел позвонков ........................... 110 
Приложение 3. Координаты реперных точек нижних конечностей ............... 113 
Приложение 4. Варианты моделирования патологического строения 
                           позвонка и двигательного сегмента позвоночника ................ 114 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
ÂÂÅÄÅÍÈÅ 
Моделирование является особым видом эксперимента, который 
находится в структурно-функциональном сходстве по отношению 
к изучаемому объекту и способен замещать его при изучении. 
Одним из абстрактных методов познания является метод математического моделирования – инструмент, с помощью которого воспроизводится то, что невозможно достаточно объективно изучить в клинической практике или эксперименте из-за большой вариабельности 
ситуаций и влияния множества факторов. Помимо этого, условный 
язык математики позволяет сосредоточить внимание на одном из факторов и проанализировать его влияние на изучаемое явление. 
Форма и ориентация позвоночника в пространстве является отражением всех воздействующих на него сил, как внешних, так и внутренних. 
Учет всего многообразия этих сил на настоящем этапе развития биомеханики представляется трудноразрешимой задачей. Изучение закономерностей изменения формы и ориентации позвоночника с позиций кинематики является адекватным и доступным методом решения вопросов механогенеза различных видов деформаций позвоночника и оценки 
биомеханических результатов проведенного лечения. Для осуществления проектно-изыскательских работ необходимо иметь начальные представления о строении и функциях объекта. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
1. ÀÍÀÒÎÌÎ-ÔÈÇÈÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ  
ÏÎÇÂÎÍÎ×ÍÈÊÀ ×ÅËÎÂÅÊÀ.  
ÏÎÇÂÎÍÎ×ÍÈÊ ÊÀÊ ÅÄÈÍÛÉ ÎÐÃÀÍ 
При описании модели позвоночника неминуемо приходится использовать устоявшиеся медицинские и технические термины, которые требуют расшифровки и пояснений. Список терминов приведен в словаре 
в конце книги. 
Используемый термин «позвоночный столб» не соответствует реальной действительности по ряду причин. Во-первых, позвоночник является сегментарным органом и образован последовательно сочленяющимися позвонками, которые дополнительно соединены между собой 
при помощи межпозвонковых дисков, связок и суставов [12]. Анатомофункциональной единицей этого сегментарного органа является позвоночный двигательный сегмент (ПДС), который представлен двумя 
смежными позвонками и межпозвонковым диском. Во-вторых, форма 
позвоночника в сагиттальной (боковой) проекции скорее напоминает 
латинскую букву S, что явно не соответствует понятию «столб» (рис. 1). 
Исходя из вышеизложенного этот сегментарный, подвижный и искривленный орган следует называть «позвоночник», а термин «позвоночный 
столб» не должен использоваться. 
В позвоночнике выделяют пять отделов: шейный, грудной, поясничный, крестцовый и копчиковый. Позвонки каждого отдела имеют соответствующее буквенно-цифровое обозначение: шейные обозначаются 
буквой С (cervical), грудные – Th (thoracic), поясничные – L (lumbar)  
и крестцовые – S (sacral). Цифра обозначает порядковый номер позвонка 
в соответствующем отделе позвоночника. Нумерация ведется сверху 
вниз. 
В шейном отделе 7 позвонков, в грудном 12, в поясничном 5, а крестец представлен четырьмя слившимися воедино позвонками. 

 
Рис. 1. Общий вид позвоночника: 
А – вид сбоку; Б – вид спереди; В – вид сзади 
Учитывая большую протяженность грудного отдела позвоночника, 
его принято разделять на три части: 
верхнегрудной кифоз – от Th1 до Th5; 
среднегрудной кифоз – от Th5 до Th9; 
нижнегрудной кифоз – от Th9 до Th12. 
Входя в состав осевого скелета, позвоночник выполняет опорную 
функцию, служит гибкой осью туловища, участвует в образовании 
задней стенки грудной и брюшной полости и таза, а также является 

вместилищем для спинного мозга, который располагается в позвоночном канале. Таким образом, позвоночник принимает участие в защите спинного мозга и внутренних органов от повреждений. 
В вертикальном положении позвоночник образует опору для головы, к нему крепятся органы грудной и брюшной полости. Вертикально направленные силы, включая и силу тяжести верхней части тела 
человека, воспринимаются позвоночником и через таз передаются нижним конечностям. Силы реакции опоры передаются в обратном направлении и гасятся структурами позвоночника, тем самым защищая головной мозг от их воздействия при ходьбе, беге и прыжках. 
Только крестцовый отдел позвоночника является неподвижным, поскольку образующие его позвонки прочно сращены в единое анатомическое образование – крестец. Остальные отделы обладают различной 
степенью подвижности. 
В 5–8 % случаев наблюдается отклонение в формировании поясничного отдела позвоночника, что проявляется уменьшением их числа 
до 23 (сакрализация) или увеличением до 25 подвижных позвонков 
(люмбализация). Размеры позвонков постепенно увеличиваются сверху 
вниз, что способствует сохранению величины нагрузки на единицу его 
площади. 
Позвоночник во фронтальной плоскости занимает строго вертикальное положение, а в сагиттальной плоскости имеет изгибы, которые именуются кифозом и лордозом. Выделяют физиологические изгибы позвоночника, характерные для здорового человека, и патологические, которые возникают вследствие развития различных патологических процессов в структурных элементах самого позвоночника или под воздействием внешних факторов (травмы, нарушение осанки и др.). 
В соответствии с отделами позвоночника различают физиологические изгибы позвоночника: шейный и поясничный лордоз, грудной 
и крестцовый кифоз. Физиологические изгибы позвоночника в положении тела человека лежа несколько распрямляются, в вертикальном 
положении выделяются резче, а при ношении тяжестей (возрастании 
нагрузки) заметно увеличиваются. Различные виды осанки человека 
вызывают изменение изгибов позвоночника. При вялой осанке (опущенная голова, сведенные надплечья) увеличивается грудной кифоз, 
уменьшаются шейный и поясничный лордозы. Усиление грудного кифоза наблюдается также в старческом возрасте. 

На протяжении жизни человека его позвоночник претерпевает целый ряд изменений, достигая стадии зрелости. Длина позвоночника 
новорожденного ребенка составляет 40 % длины всего тела. В процессе развития человека отмечаются скачки роста, что отражается 
в изменении длины позвоночника. Так, в течение первых двух лет его 
длина увеличивается почти в два раза; второй скачок наблюдается 
в 7–12 лет; до 15–16 лет рост медленный, после чего темпы роста вновь 
ускоряются. Развитие позвоночника завершается примерно к 23–25 годам. У взрослого человека позвоночник примерно в 3,5 раза длиннее, 
чем у новорожденного. Имеются и половые различия. У взрослых 
мужчин длина позвоночника колеблется в пределах от 60 до 75 см, 
у женщин – от 60 до 65 см, что составляет около 2/5 длины тела 
взрослого человека. В старческом возрасте длина позвоночника 
уменьшается примерно на 5 см и более вследствие усиления его изгибов и уменьшения высоты межпозвонковых дисков. 
Формирование физиологических изгибов позвоночника происходит 
только после рождения. У новорожденного позвоночник имеет вид единой дуги, обращенной выпуклостью назад. Когда ребенок начинает держать голову под влиянием тонуса затылочных мышц, формируется шейный лордоз. 
При стоянии и хождении у ребенка формируется поясничный лордоз 
как следствие приспособления тела человека к вертикальному положению. Одновременно происходит увеличение грудного и крестцового кифоза. Таким образом, изгибы позвоночника являются функциональными приспособлениями человеческого тела для сохранения равновесия при вертикальном положении. 
Благодаря изгибам увеличивается эластичность позвоночника, смягчаются толчки и сотрясения при ходьбе, прыжках и других физических 
нагрузках тела человека. Эластичность позвоночника оказывает также 
пружинящее противодействие силе тяжести головы, верхних конечностей и туловища человека. 
1.1. ÀÍÀÒÎÌÈ×ÅÑÊÎÅ ÑÒÐÎÅÍÈÅ ÏÎÇÂÎÍÊΠ
Сложное анатомическое строение позвонка можно представить 
в виде совокупности отдельных осесимметричных элементов. 
Передняя часть позвонка представлена массивным телом позвонка, 
которое при взгляде сверху по форме напоминает срез боба. Верхняя