Дифференциальные уравнения

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
_________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
Н. Б. ИТКИНА 
 
 
 
 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2023 

УДК 517.9(075.8) 
И927 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук В. А. Вшивков  
канд. физ.-мат. наук М. Ю. Баландин  
 
 
 
Работа подготовлена на кафедре вычислительных технологий 
 
 
 
Иткина Н. Б. 
И927  
Дифференциальные уравнения: учебное пособие / Н. Б. Иткина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2023. – 92 с. 
ISBN 978-5-7782-4984-4 
 
 
Учебное пособие направлено на приобретение теоретических  
и практических навыков решения обыкновенных дифференциальных 
уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.  
Пособие может быть рекомендовано для студентов направления 
01.03.02 «Прикладная математика и информатика» и 02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем».  
 
 
 
 
 
 
 
УДК 517.9(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-4984-4 
© Иткина Н. Б., 2023 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2023 

 
 
 
 
 
 
 
1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 
 
Определение. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или 
нескольких аргументов, причем в уравнение входят не только сами 
функции, но и их производные и/или дифференциалы. Если рассматриваются функции одного независимого аргумента, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). 
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящих в уравнение производных или 
дифференциалов от неизвестных функций.  
Если уравнение содержит производные первого порядка, то его общий вид  
 
( , , )
0,
F x y y
 
(1) 
где x – независимая переменная; 
y – неизвестная функция; 
F – заданная функция от трех переменных. 
Функция F может быть определена не во всей области значений ее 
аргумента, а в некоторой области B, которая называется областью задания F. 
Решением уравнения (1) называется такая функция 
( ),
y
x

 которая определена на интервале a
x
b


 (возможны случаи a   
и 
),
b  что подстановка этой функции в уравнение (1) обращает его 
в тождество на всем интервале. 
Определение. Интервал (a, b) называется интервалом определения решения ( )
x

 и обозначается 
ab
J
Определение. Решение уравнения (1), или интеграл дифференциального уравнения, содержащее число произвольных постоянных, равное порядку дифференциального уравнения, называется общим реше

нием дифференциального уравнения и имеет вид 
( , ),
y
x C

 где С – 
произвольные постоянные. Выбрав некоторое значение С, получим 
частное решение дифференциального уравнения. 
Решение дифференциального уравнения можно полагать найденным, если оно представлено в виде выражения, содержащего квадратуры, т. е. неопределенные интегралы, которые могут быть вычислены 
аналитически или численно.  
Решение всегда может быть проверено подстановкой в дифференциальное уравнение. 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, 
РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ 
В этом случае дифференциальное уравнение определяет переменную y как однозначную функцию переменных , :
x y  
 
( , ).
y
f x y

 
(2) 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА  
С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 
Дифференциальные уравнения вида 
 
2
1
( )
( )
f
y dy
f
x dx

 
(3) 
называются уравнениями с разделенными переменными. Функ- 
ции 
1f  и 
2f  – непрерывные функции. Пусть 
( )
y x  есть решение уравнения (3). Тогда если подставить ( )
y x  в (3), то получим тождество, проинтегрировав которое определим решение:  
 
2
1
( )
( )
.
f
y dy
f
x dx
C


∫
∫
 
(4) 
Интегральному соотношению (4) удовлетворяет каждое решение дифференциального уравнения (3). В свою очередь, решение (4) будет удовлетворять уравнению (3). 
Уравнение Ф( , )
0,
x y 
 определяющее решение 
( ),
y x  называется 
общим интегралом этого уравнения. Частное решение можно получить, задав значение y  в точке 0
x . 

Пример. 1. 
ln
x
dy
e
dx
y

, 
2
ln
x
dy
e
dx
C
y


∫
∫
 – общий интеграл, уравнение не интегрируется в квадратурах.  
2. 
0
,
xdx
ydy
xdx
ydy


⇒

  
2
2
,
2
2
x
y
xdx
ydy
C
C


⇒


∫
∫
 
2
2
.
x
y
C


 
Уравнение вида 
1
1
2
2
( )
( )
( )
( )
,
x
y dx
x
y dy




 в котором коэффициенты при дифференциалах представлены в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента (x или y), 
называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися 
переменными. 
Эти уравнения путем деления на функции 
2( )
x

 и 
1( )
y

 при- 
водятся 
к 
виду 
уравнений 
с 
разделенными 
переменными: 
1
2
2
1
( )
( )
.
( )
( )
x
y
dx
dy
x
y





 Следует отметить, что деление уравнения на произведение функций 
2
1
( )
( )
x
y


 может привести к потере частных решений, обращающих в ноль 
2
1
( )
( ),
x
y


 а если функции 
2( )
x

 и 
1( )
y

 
разрывные, то возможно появление лишних решений, обращающих в 
ноль множитель 
2
1
1
( )
( )
x
y


. 
Пример. dy
y
dx
x

, dy
dx
y
x

, интегрируя, получаем 
ln |
|
ln |
|
,
y
x
C


 С > 0. 
Потенцируя, получаем |
|
|
|
y
C x

. Если полагать решение гладким, 
то оно будет эквивалентно уравнению y
Cx

, 
0
C 
. Однако при делении на y было потеряно решение y = 0, поэтому можно считать, что 
С принимает и нулевое значение. Тогда общее решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде y
Cx
 для любой 
произвольной постоянной С. 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, 
РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ 
1.  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 
имеют вид 
1
1
2
2
( )
( )
( )
( )
.
x
y dx
x
y dy




 
Эти уравнения приводятся к виду уравнений с разделенными переменными: 
1
2
2
1
( )
( )
.
( )
( )
x
y
dx
dy
x
y





  
Проинтегрировав соотношение, получаем общее решение дифференциального уравнения (ДУ): 
1
2
2
1
( )
( )
,
( )
( )
x
y
dx
C
dy
x
y






∫
∫
 здесь C – произвольная постоянная. 
2.  Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными: 
(
),
dy
f ax
by
c
dx 


 
где a, b, c – константы.  
Сделав замену переменных 
,
z
ax
by
с



 получим ДУ с разделяющимися переменными: 
( )
dz
a
bf z
dx 

.  
3.  Однородные дифференциальные уравнения: 
dy
y
f
dx
x
⎛
⎞

⎜
⎟
⎝
⎠
. 
Замена переменных 
y
z
x

 приводит уравнение к виду 
( )
dz
x
z
f z
dx 

. 
4.  Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным ДУ: 
1
1
1
2
2
2
a x
b y
c
dy
f
dx
a x
b y
c
⎛
⎞



⎜
⎟


⎝
⎠

Замена переменных: перенос начала координат в точку пересечения 
прямых 
1
1
2
2
2
0
0
0,
0,
(
, 
).
a x
b y
c
a x
b y
c
x
y



⎧
⎪⎪



⎨
⎪
⎪
⎩
 Новые переменные: 
0
0
,  
.
x
x
x
y
y
y






 
После замены переменных уравнение примет вид 
1
1
2
2
y
a
b
dy
x
f
y
dx
a
b x
⎛
⎞

⎜
⎟

⎜
⎟
⎜
⎟

⎝
⎠






. 
Если прямые 
1
1
1
0
a x
b y
c



 и 
2
2
2
0
a x
b y
c



 параллельны, то 
ДУ приводится к уравнению типа 2. 
5.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка: 
( )
( )
dy
p x y
f x
dx 

. 
Уравнения такого вида решаются методом вариации постоянной: 
1)  решение 
однородного 
линейного 
ДУ 
первого 
порядка: 
( )
0
dy
p x y
dx 

. 
Общее 
решение 
однородного 
ДУ 
имеет 
вид 


( )
exp
( )
y x
C
p x dx

∫
, где C – произвольная постоянная; 
2)  полагаем в решении однородного линейного ДУ первого порядка 
( )
C
C x

 функцией переменной x и определяем эту функцию таким  
образом, чтобы решение 


( )
( )exp
( )
y x
C x
p x dx

∫
 было решением  
неоднородного ДУ. Подставляя решение в исходное неоднородное ДУ, получаем уравнение для определения функции 
( )
C x : 


( )
( )exp
( )
dC x
f x
p x dx
dx

∫
. Общее решение неоднородного ДУ имеет 
вид 






( )
( )exp
( )
exp
( )
y x
f x
p x dx
C
p x dx



∫
∫
∫

, где C – произвольная постоянная. 
6.  Уравнение Бернулли: 
( )
( )
,  
1
n
dy
p x y
f x y
n
dx 
. 

Замена переменных 
1 n
z
y 

 приводит уравнение Бернулли к виду линейного уравнения первого порядка. 
7.  Уравнение Риккати: 
2
( )
( )
( )
dy
p x y
q x y
f x
dx 


. 
Уравнения этого типа в общем виде не интегрируются, но если известно 
хотя бы одно частное решение уравнения, то заменой 
1
( )
( )
( )
y x
y
x
z x


, 
1
(
( )
y
x  – частное решение, ( )
z x  – новая неизвестная функция) уравнение Риккати приводится к виду уравнения Бернулли.  
8.  Уравнения в полных дифференциалах: 
( , )
( , )
0,
M x y dx
N x y dy


 
где M
N
y
x





. Тогда уравнение представляет собой полный дифференциал некоторой функции 
( , ):
U x y
 
( , )
( , )
( , )
.
dU x y
M x y dx
N x y dy


 
Решение этого уравнения имеет вид 
( , ( ))
,
U x y x
C

 где C – произвольная постоянная. Будем искать решение ДУ в полных дифференциалах  
в виде 
( , )
( , )
( )
U x y
M x y dx
C y


∫
. 
Тогда 
( )
( , )
( , )
U
dC y
M x y dx
N x y
y
y
dy

⎡
⎤



⎣
⎦


∫
. Из последнего соотношения определяется вид функции 
( )
C y . 
ЗАДАЧА КОШИ 
Определение. Дифференциальное уравнение  
( , )
y
f x y

 с дополнительным условием 
0
0
(
)
y x
y

 называется задачей Коши или начальной задачей, дополнительное условие – начальным условием или условием Коши. 
Теорема о существовании и единственности решения задачи 
Коши. Пусть в некотором прямоугольнике 


0
0
; 
R
x
x
a
y
y
b





 
функция 
( , )
f x y  непрерывна по совокупности аргументов  x  и  y  удовлетворяет условию Липшица по переменной y: 
1
2
( , 
)
( , 
)
f x y
f x y
  

K y
y


. Тогда на сегменте 
0
,
x
x
H


 где 
min
, b
H
a
M
⎧
⎫

⎨
⎬
⎩
⎭
, 
( , )
sup
( , )
x y
R
M
f x y


, существует единственное решение задачи Коши. 
Доказательство. Существование и единственность решения задачи 
Коши эквивалентно существованию и единственности решения интегрального уравнения: 
0
0
( )
(
)
( , ( ))
.
x
x
y x
y x
f
y
d





∫
 
Построим отображение: 
0
0
( ( ))
(
)
( , ( ))
.
x
x
g y x
y x
f
y
d





∫
 
По теореме о неподвижной точке решение интегрального уравнения существует и единственно, если отображение ( )
g y  будет сжимающим [1]. 
Проверим выполнение условия:  
0
1
2
1
2
1
2
( (
), (
))
max
(
, 
)
 (
, 
)
x
x R x
g y
g y
K
y
y
d
Ka
y
y







∫
. 
При выполнении условия 
1
Ka  отображение будет сжимающим. 
По построению решение интегрального уравнения должно принадлежать прямоугольнику R: 
0
0
( )
(
)
( , ( ))
,
x
x
y x
y x
f
y
d
Ma
b






∫
 т. е. 
стороны прямоугольника связаны соотношением 
b
a
M


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, 
НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ 
Определение. Дифференциальные уравнения вида  
 
( , , )
0,
F x y y
 
(5)  
называют уравнениями, не разрешенными относительно производной. 
Уравнение (5) можно проинтегрировать, введя параметризацию: 
( , ), 
( , ), 
( , ).
x
u v
y
u v
y
u v




 Так как 
,
dy
y dx


 то  
( , )
du
dv
u v
du
dv
u
v
u
v




⎡
⎤



⎢
⎥




⎣
⎦
. 
Выражая из последнего соотношения dv
du , получаем уравнение, разрешенное относительно производной. Особый интерес представляют два 
частных случая уравнений, не разрешенных относительно производной [2]. 
1.  Если исходное уравнение можно разрешить относительно y: 
( , ),
y
f x y

 то, считая параметрами х и 
,
p
y

 получаем 
( , ),
y
f x p

 
.
f
f
dy
dx
dp
x
p






 Подставляя это соотношение в исходное уравнение, 
получаем 
уравнение, 
разрешенное 
относительно 
производной: 
f
f dp
p
x
p dx






. Наиболее известные уравнения такого типа – это уравнения Клеро и Лагранжа. 
Уравнение Лагранжа: 
(
)
(
)
y
x
y
y




. 
Уравнение Клеро: 
(
)
y
xy
y




. 
2.  Если исходное уравнение можно разрешить относительно х: 
( , ),
x
f y y

 то, выбрав в качестве параметров у и 
,
p
y

 получим дифференциальное уравнение: 1
f
f dp
p
y
p dy





