Приближенные методы учета трения в расчетах и проектировании технических систем

 
 
 
 
 
Е.В. Дырдина, В.С. Иванова 
 
 
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ  
УЧЕТА ТРЕНИЯ  
В РАСЧЕТАХ И ПРОЕКТИРОВАНИИ 
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ  
 
 
Учебное пособие 
 
 
2-е издание, стереотипное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2023 

УДК 531.43 (075.8) 
ББК  22.21я73 
         Д90 
 
 
Рецензент 
доктор технических наук, профессор Ю.А. Чирков 
 
 
 
 
 
Дырдина Е.В. 
Д90         Приближенные методы учета трения в расчетах и проектировании 
технических систем : учебное пособие / Е.В. Дырдина, В.С. Иванова. 
– 2-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 2023. – 135 с. – ISBN 978-59765-5357-6. – Текст : электронный. 
 
В учебном пособии рассматриваются все типы и формы трения, методы их 
моделирования и оценки. Задачи с решениями служат углублению и 
практическому применению полученных знаний, а для их закрепления 
приведены задачи для самостоятельного решения и вопросы для самоконтроля.   
Учебное пособие разработано для обучающихся по направлению 
подготовки 15.03.02 Технологические машины и оборудование, профиль 
Надежность и диагностика объектов повышенной опасности, изучающих 
дисциплину «Приближенные методы учета трения при расчетах и 
проектировании». Учебное пособие может быть полезно обучающимся по 
образовательным программам высшего образования по направлениям 
подготовки, входящим в образовательную область «Инженерное дело, 
технологии и технические науки».  
УДК 531.43 (075.8) 
ББК  22.21я73 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9765-5357-6                        © Дырдина Е.В., Иванова В.С., 2023 
                                                 © Издательство «ФЛИНТА», 2023 

 
Содержание 
 
Введение ........................................................................................................................... 5 
1 Основные понятия и определения .............................................................................. 8 
2 Основные этапы развития теории трения ................................................................ 13 
3 Трение скольжения ..................................................................................................... 22 
3.1 Общие положения ................................................................................................ 22 
3.2 Расчетная схема при решении задач с учетом трения ...................................... 31 
4 Особенности решения задач с учетом сил трения скольжения ............................. 39 
4.1 Тело, размерами которого можно пренебречь (материальная точка), покоится 
на наклонной плоскости только под действием силы тяжести ............................. 41 
4.2 Материальная точка на наклонной плоскости под действием силы тяжести и 
силы, параллельной плоскости контакта ................................................................. 42 
4.3 Груз, скользящий вниз или вверх, по наклонной плоскости без учета  
размеров ...................................................................................................................... 46 
4.4 Тело, заданных размеров, на горизонтальной плоскости под действием 
сдвигающей силы ....................................................................................................... 52 
4.5 Блок определенных размеров на наклонной плоскости, опрокинется или  
будет скользить? ......................................................................................................... 55 
4.6  Насколько велика сила трения? ......................................................................... 58 
4.7 Тело, заданных размеров, на наклонной плоскости под действием 
сдвигающей силы ....................................................................................................... 61 
4.8 Равновесие катка на наклонной плоскости ....................................................... 66 
4.9 Будет ли скользить лестница .............................................................................. 68 
4.10 Будет ли лестница скользить, если по ней будет подниматься человек? .... 70 

4.11 Сколько трения нужно цилиндру? ................................................................... 73 
4.12 Равновесие кривошипно-шатунного механизма (заклинивание) ................. 74 
4.13 Равновесие узла: вертикальный стержень – консольная горизонтальная  
балка ............................................................................................................................ 78 
5 Задачи для самостоятельного решения .................................................................... 83 
6 Контрольное задание. Равновесие тел при наличии трения .................................. 91 
7 Трение при качении.................................................................................................... 98 
7.1 Силы, возникающие при качении. Чистое качение .......................................... 98 
7.2 Сопротивление качению .................................................................................... 100 
8 Порядок решения задач на трение при качении ................................................... 109 
8.1 Каток на горизонтальной плоскости ................................................................ 110 
8.2 Каток на наклонной плоскости ......................................................................... 112 
8.3 Тележка на наклонной плоскости..................................................................... 114 
9 Задачи для самостоятельного решения на равновесие с учетом трения  
качения .......................................................................................................................... 117 
10 Контрольное задание. Равновесие тележки на наклонной плоскости .............. 120 
11 Трение в механизмах с гибкими звеньями. Формула Эйлера ........................... 121 
12 Примеры использования формулы Эйлера для расчета гибких нитей с учетом 
сил трения ..................................................................................................................... 125 
12.1 Нить перекинута через неподвижный шкив ................................................. 125 
12.2 Механизм ленточного тормоза ....................................................................... 128 
12.3 Контрольное задание. Механизм ленточного тормоза ................................ 130 
Список использованных источников ........................................................................ 131 
 
          

Введение 
Целью 
учебного 
пособия 
является 
ознакомление 
с 
современным 
представлением о теории и практике учета трения при проектировании конструкций 
и узлов трения машин и механизмов (технических систем).  
Освоение дисциплины предполагает решение следующих задач:   
- ознакомление с основными методами физического (теоретического) 
моделирования трения в технических системах;  
-  ознакомление с инженерными методами учета трения при проектировании 
технических систем;  
-  ознакомление с приемами исследования равновесия и движения технических 
с учетом сил трения.  
На рубеже XVI и XVII веков Галилео Галилей (1564-1642) впервые четко 
разграничил два принципиально различных вида сопротивления тел перемещению: 
сопротивление, связанное с инерцией тела, и сопротивление, обусловленное 
трением. Главная особенность трения, как физического явления, состоит в том, что 
оно никогда не проявляется самостоятельно, как, например, силы всемирного 
тяготения или электромагнитного взаимодействия. Трение проявляется при 
контактном взаимодействии материальных тел и перемещении их относительно 
друг друга. Причем его влияние на различные процессы может быть как 
положительным (в этих случаях стремятся его увеличить), так и отрицательным 
(поэтому разрабатываются способы его уменьшения). Так, передвижение объектов 
с помощью колес, шагающих устройств, весел, возможно только благодаря трению. 
Снижение трения во время гололедицы или в узлах тормозов весьма нежелательно 
и может привести к неблагоприятным последствиям. То, что трение сопровождается 
выделением теплоты, позволило людям на заре цивилизации добывать огонь. К 
отрицательным моментам, связанным с трением, можно отнести электризацию 
порошков, волокон, пленок. Нагрев деталей при трении о воздух является весьма 
неблагоприятным фактором, который необходимо учитывать при проектировании 

сверхскоростных самолетов и космических кораблей. Одной из главных причин 
выхода из эксплуатации машин и механизмом, является износ, вызванный наличием 
трения. Регулирование процессов трения и изнашивания в машинах составляет одну 
из важнейших научно-технических проблем современности. 
Трение в машинах и механизмах играет двоякую роль. С одной стороны, 
трение является основой работы машин, например, трение колес экипажей 
(электровозов, автомобилей, тракторов и других машин), механизмов передвижения 
подъемно-тормозных систем (friction – трение, скольжение), энергия которого 
используется для снижения скорости движения и остановки. С другой стороны, 
наличие трения в звеньях механизмов отрицательно сказывается на эффективности 
их работы: снижается механический коэффициент полезного действия машин; 
происходит изнашивание взаимодействующих деталей и изменение конструктивной 
геометрии элементов, лимитирующей их ресурс; выделяется тепло, отрицательно 
влияющее на условия работы. 
Для создания технически грамотных и экономически обоснованных 
конструкций необходимо уметь управлять трением и износом и, в первую очередь, 
рассчитывать детали машин с учетом трения и износа. 
Существует много теоретических исследований, посвященных вопросам 
трения скольжения и трения качения. Они различаются по своей концепции, уровню 
сложности использования в аналитических или численных расчетах, а также 
точности и области применения. 
Здесь будут представлены самые простые правила учета трения, описаны 
характерные примеры их использования, а затем даны некоторые рекомендации в 
отношении решения более сложных задач. 
Главной целью данного учебного пособия является систематизация 
информации, полученной в курсах общей физики и теоретической механики, и 
увязка её с дисциплинами прикладного характера. Знания, полученные при изучении 
учебного пособия, позволят читателю осознанно решать прикладные проблемы, 
связанные с трением. Задачи с подробными решениями в каждой главе служат 

углублению и практическому применению полученных знаний, а приведенные 
условия задач для самостоятельного решения – их закреплению. 
Учебное пособие рассчитаны на студентов инженерных направлений 
подготовки 
высших 
учебных 
заведений 
в 
рамках 
изучения 
дисциплин 
«Теоретическая механика», «Прикладная механика», «Основы трения и износа», 
«Приближенные методы учета трения при расчетах и проектировании» может 
быть полезно инженерам и научным сотрудникам.  
 
 

1 Основные понятия и определения 
В данном параграфе приводятся определения терминов и понятий, которые 
будут упоминаться в этом учебном пособии. 
Под трением понимают сопротивление, возникающее при перемещении 
одного тела относительно другого, прижатого к первому. 
Изнашивание – изменение состояния поверхности изделия или инструмента 
вследствие разрушения поверхностного слоя изделия при трении. 
Трение и изнашивание – две стороны одного и того же явления, 
обусловленного взаимодействием двух тел, сжимаемых нормальной нагрузкой и 
перемещающихся друг по другу в плоскости их касания. Трение проявляется в виде 
противодействия относительному перемещению, то есть характеризует силовую 
сторону явления. Изнашивание проявляется в виде разрушения поверхностных 
слоев взаимодействующих тел и изменения вследствие этого их размеров и формы. 
По признаку состояния трущихся поверхностей в зависимости от наличия на 
них смазки различают следующие виды трения: 
а) сухое трение, возникающее при отсутствии смазки и загрязнения между 
трущимися поверхностями деталей; 
б) граничное трение, возникающее на трущихся поверхностях деталей, 
разделенных слоем смазки весьма небольшой толщины (10 – 20 мкм). При таких 
условиях масляная пленка полностью не разделяет поверхности и обычные 
уравнения гидродинамики для вязкой жидкости в этом случае неприемлемы. Износ 
трущихся поверхностей при граничном трении протекает во много раз медленнее, 
чем при сухом трении; 
в) жидкостное трение, при котором трущиеся поверхности полностью 
разделены 
слоем 
смазки. 
Внешнее 
давление 
при 
жидкостном 
трении 

воспринимается смазочной жидкостью. Жидкостное трение значительно уменьшает 
потери энергии на преодоление вредных сопротивлений и износ деталей машин. 
В рамках данного учебного пособия будут рассматрены задачи только сухого 
трения. 
В зависимости от наличия или отсутствия относительного движения 
различают трение покоя и трение движения. 
Трение покоя – это трение двух тел при микросмещениях до перехода к 
относительному движению. 
Силой трения покоя (𝐹𝐹тр.покоя) (рисунок 1.1а) называют сдвиговое усилие, 
прикладываемое к контактирующим телам, и не вызывающее их взаимного 
скольжения. При этом взаимное перемещение (lпокоя) достигается за счет 
деформации материала выступов шероховатости в зоне контакта и называется 
предварительным смещением. Оно носит в основном упругий характер и исчезает 
при снятии сдвигающего усилия. Однако по мере роста сдвигающего усилия 
предварительное смещение приобретает пластический характер и становится 
частично необратимым. 
Трение движения – трение двух тел, находящихся в относительном 
движении. 
Скольжение – относительное движение, при котором одни и те же точки 
одного тела приходят в соприкосновение все с новыми и новыми точками другого 
тела. 
Качение (Rolling contact) – относительное движение, при котором 
следующие одна за другой точки одного тела переходят в соприкосновение со 
следующими одна за другой точками другого тела, причем мгновенный центр 
вращения одного тела относительно другого совпадает с одной из точек касания. 

По характеру относительного движения различают трение скольжения и 
трение качения  
Трение скольжения (рисунок 1.1б) – сопротивление взаимному скольжению. 
Трение качения (рисунок 1.1в) – сопротивление качению одного тела по 
поверхности другого.  
Сила трения скольжения – сила, возникающая при поступательном 
перемещении одного из контактирующих тел относительно другого и действующая 
на это тело в направлении, противоположном направлению скольжения, вдоль 
касательной к общей границе между телами. 
 
 
  
 
 
Момент сопротивления качению – момент сил, возникающий при качении 
одного из двух контактирующих тел относительно другого, препятствующий 
качению.  
Коэффициент трения скольжения (f) – безразмерная величина, равная 
отношению силы трения к нормальной нагрузке (в литературных источниках часто 
коэффициент трения обозначен μ) (рисунок 1.2). 
𝐹𝐹തтр 
𝑉𝑉ത= 0 
൫𝐹𝐹тр൯𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑓𝑓𝑓𝑓 
а) 
Трение покоя 
𝐹𝐹തтр 
𝑉𝑉ത 
𝐹𝐹= 𝑓𝑓𝑓𝑓 
б) 
Трение 
скольжения 
𝐹𝐹തтр 
𝑉𝑉ത 
в) 
Трение 
качения 
г) 
𝜔𝜔 
Трение 
верчения 
Рисунок 1.1 – Виды трения