Методы математического моделирования в микроэлектронике. Модели в форме СЛАУ

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования 
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
С. В. КАЛИНИН, А. С. ЧЕРКАЕВ 
 
 
 
 
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
МОДЕЛИРОВАНИЯ 
В МИКРОЭЛЕКТРОНИКЕ 
 
МОДЕЛИ В ФОРМЕ СЛАУ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2025 
 

УДК 621.382:004.94(075.8) 
         К172 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, доцент В. П. Драгунов  
ст. науч. сотр., канд. физ.-мат. наук, доцент Н. Л. Шварц  
канд. физ.-мат. наук, доцент Ю. Н. Владимиров  
Пособие подготовлено на кафедре полупроводниковых приборов  
и микроэлектроники НГТУ 
Калинин С. В. 
К172   
Методы математического моделирования в микроэлектронике. Модели в форме СЛАУ: учебное пособие / С. В. Калинин, 
А. С. Черкаев. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2025. – 134 с. 
ISBN 978-5-7782-5476-3 
В настоящее время математические модели в форме СЛАУ являются 
важнейшим компонентом при разработке сложных моделей и устройств 
в науке и технике. Компьютерные вычислительные методы линейной 
алгебры являются при этом главным практическим инструментом для 
реализации таких моделей на ЭВМ. 
В данном пособии рассматриваются вопросы построения математических моделей в форме СЛАУ, а также численные прямые и итерационные алгоритмы для их практической реализации на ПК с учетом 
объема затрачиваемых ресурсов, обусловленности задачи и оценок 
точности получаемых приближенных решений. 
Материал пособия предназначен для обучения бакалавров по направлениям 11.03.04 – Электроника и наноэлектроника, профиль: «Микроэлектроника и наноэлектроника» и 28.03.01 – Нанотехнологии и микросистемная техника, профиль: «Полупроводниковые микро- и наносистемы». Кроме того, работа может быть полезна для бакалавров и магистров других специальностей факультета РЭФ НГТУ, желающих углубить свои знания в области математического моделирования в микроэлектронике. 
УДК 621.382:004.94(075.8) 
ISBN 978-5-7782-5476-3  
 
 
 
 
© Калинин С. В., Черкаев А. С., 2025 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2025 
 

Задача решения СЛАУ «часто встречается как сама 
по себе, так и в качестве составного элемента в технологической цепочке решения более сложных задач». 
С. П. Шарый 
В 1948 г. по инициативе И. В. Курчатова было принято Постановление Совета министров СССР о создании специальной лаборатории под руководством 
А. Н. Тихонова при Геофизическом институте АН СССР, 
ведущим сотрудником которой назначили А. А. Самарского. Перед коллективом была поставлена беспрецедентная задача – выполнить расчет мощности взрыва 
первой отечественной атомной (а впоследствии термоядерной) бомбы, используя полные математические модели, описывающие газодинамическое движение, перенос тепла и нейтронов, энерговыделение и другие сложные процессы. А. Н. Тихонов предложил к полной системе уравнений в частных производных, описывающей 
эти процессы, применить метод конечных разностей 
(сейчас это кажется очевидным, но тогда Л. Д. Ландау 
сказал, что если бы это случилось, то стало бы научным 
подвигом). 
Б. Н. Четверушкин, А. П. Михайлов 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
Данное учебное пособие по дисциплине «Методы математического 
моделирования» предназначено для студентов III курса бакалавриата 
РЭФ НГТУ, обучающихся по направлениям 11.03.04 – Электроника 
и наноэлектроника, профиль: «Микроэлектроника и наноэлектроника» 
и 28.03.01 – Нанотехнологии и микросистемная техника, профиль: «Полупроводниковые микро- и наносистемы». Оно является продолжением 
одноименного пособия, имеющего подзаголовок «Общие вопросы»,  
и посвящено математическим моделям в форме СЛАУ и численным 
компьютерным методам их решения. В пособии отражен опыт преподавания в НГТУ этого курса в пятом учебном семестре, а также других 

смежных курсов цикла «Математическое моделирование в микроэлектронике», читаемых авторами на протяжении многих лет, и поэтому оно 
может быть полезно студентам (бакалаврам и магистрам) и других специальностей. 
Поскольку математическое моделирование находится на стыке разных наук, например, таких как математика, физика, микроэлектроника, 
информатика, материал настоящего пособия опирается на базовые знания по ряду предшествующих курсов, изучаемых на факультете в первом, втором, третьем и четвертом семестре. К этим курсам относятся: 
«Линейная алгебра», «Математический анализ», «Физика», «Физические 
основы электроники», «Информационные технологии и основы программирования», «Учебная практика: ознакомительная практика». 
В работе предпринята попытка впервые в учебной литературе интегрально рассмотреть как сами линейные модели в форме СЛАУ, так  
и численные методы их решения с ориентацией на их практическую реализацию на ПК. Хорошо известно, что возникающие при этом задачи 
вычислительной линейной алгебры существенно отличаются от классических задач линейной алгебры, в которой не рассматриваются вопросы 
влияния на решение СЛАУ компьютерных ошибок округления, сходимости используемых численных методов и численных оценок приближенных решений. 
В настоящее время существует целый «океан» различных алгоритмов вычислительной линейной алгебры. Образно говоря – это «катастрофа от изобилия». Поэтому главная задача, которую ставили перед 
собой авторы пособия, состояла в том, чтобы познакомить начинающих исследователей и инженеров с первичными понятиями в области 
линейных моделей СЛАУ и численными методами, реализующими их 
на ПК. По этой причине (и прежде всего из-за ограниченного объема 
пособия) в него не вошли многие важные для современной вычислительной микроэлектроники вопросы: вариационные методы, методы 
неполной факторизации, методы параллельных вычислений для больших систем и т. д. 
Структурно пособие состоит из трех глав. В первой главе рассматриваются основные источники возникновения математических линейных моделей, такие как обработка экспериментальных данных, проецирование непрерывных краевых задач на дискретную сетку, сетевые 

задачи в электротехнике и радиотехнике и т. д. Следует отметить, что 
подобные задачи очень часто возникают при разработке различных 
научных и технических проблем. 
Во второй главе кратко обсуждаются теоретические вычислительные особенности численных решений СЛАУ. К ним относятся погрешности и невязки, число обусловленности матрицы системы и его применение для численной оценки точности приближенного компьютерного 
решения. 
Третья глава пособия посвящена основным численным методам решения СЛАУ. В ней рассматриваются причины вычислительной неэффективности классических прямых методов линейной алгебры: правил 
Крамера и метода обратной матрицы. Подробно рассматривается прямой метод Гаусса и различные варианты его реализации, включая метод 
трехдиагональной прогонки с учетом влияния компьютерных ошибок 
округления на численное решение. Здесь же разбираются итерационные 
методы решения СЛАУ: простой итерации, методы Якоби и Гаусса–
Зейделя, методы релаксации (SOR). 
Для лучшего усвоения читателями изучаемого материала по всему 
тексту пособия приводятся многочисленные иллюстративные примеры. 
Авторы использовали такую же «распределенную» схему размещения и 
для вопросов и задач по самостоятельной домашней работе студентов, 
так как, по их мнению, эта форма методически более эффективна, чем 
традиционная, когда задачи описываются в отдельном разделе в отрыве 
от теоретического материала. 
Новосибирск, март 2025 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ ЗАПИСИ СЛАУ 
В математическом моделировании решение многих нелинейных задач (включая задачи математической физики) в конечном итоге часто на 
каком-то этапе алгоритмически сводится к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и поиску их решений на компьютере, т. е. 
СЛАУ – это «составной элемент в технологической цепочке решения 
более сложных задач» [1, с. 430]. 
При этом используются различные формы записи СЛАУ [1–3]. 
Очень широко применяется явная построчная, или каноническая, 
форма: 
 
 
  
 
11 1
1
1
1 1
...
,
.............................
...
.
n
n
n
nn
n
n
a
x
a
x
b
a
x
a
x
b










 
(В.1) 
СЛАУ (В.1) состоит из n уравнений, каждое из которых содержит n 
неизвестных величин 
1,
,
.
n
x
x

 Эту систему можно представить в более сжатом виде 
 
 
 
1
,
1
.
n
ij
j
i
j
a x
b
i
n




 
(В.2) 
В векторной форме система (В.1) может быть записана как линейная 
комбинация векторов 
 
 
11
12
1
1
1
2
1
2
...
...
...
...
... .
n
n
n
n
nn
n
a
a
a
b
x
x
x
a
a
a
b












































 
(В.3) 

Другой формой записи СЛАУ (В.1) является матричная форма 
 


 
11
1
1
1
1
...
.................
...
... ,
...
n
n
n
n
nn
x
A
b
a
a
x
b
x
b
a
a































 
(В.4) 
где 
[
]
ij
A
a

 – квадратная n × n матрица системы; i – номер уравнения;  
j – номер переменной; x – вектор-столбец неизвестных; b

 – векторстолбец правой части. 
Самая краткая форма записи есть компактная (операторная) форма 
 
 .
Ax
b



 
(В.5) 
Один из центральных вопросов линейной алгебры – это вопрос 
о существовании решения СЛАУ (В.1). Теоретически он разрешается 
с помощью теоремы Кронекера–Капелли, согласно которой решение 
существует, если ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы 
[
| ],
B
A b


 причем решение будет единственным, если эти ранги равны n. 
Упражнение В.1. Поясните понятие ранга матрицы и приведите численные примеры алгоритмов его вычисления для матриц 3 × 3 и 3 × 4. 
Из курса «Линейная алгебра» хорошо известно, что для решения 
СЛАУ используются такие прямые алгоритмы, как «правило Крамера», 
обратной матрицы и Гаусса, которые позволяют найти точное решение 
системы за конечное число арифметических действий. Особенности 
этих алгоритмов при применении их в компьютерных вычислениях будут рассмотрены в третьей главе этого пособия. Здесь же следует отметить, что кроме перечисленных выше в «арсенале» линейной алгебры 
имеется большое число других методов. 
Каноническая система (В.1) характеризуется важной особенностью: количество уравнений в ней совпадает с количеством неизвестных. Однако в математическом моделировании случаются ситуации, 
когда количество уравнений больше, чем количество неизвестных. 
Это имеет место быть, например, при обработке экспериментальных 

данных. Такие системы называются переопределенными. Сразу же 
здесь возникает теоретический вопрос: а что следует понимать в этом 
случае под решением такой СЛАУ? Ниже, при обсуждении метода 
наименьших квадратов, с помощью сведения переопределенной системы (В.1) к нормальной СЛАУ ответ на поставленный вопрос будет 
получен. 
Упражнение В.2 (*). Пусть СЛАУ состоит из трех уравнений 
с двумя неизвестными. Поясните, как можно получить решение 
такой системы. Возможно ли для этого использовать умножение 
левой и правой части СЛАУ на транспонированную матрицу системы? 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК К ВВЕДЕНИЮ 
1. Шарый С. П. Курс вычислительных методов [Электронный учебник] / 
С. П. Шарый. – Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2025. – 
807 с. – URL: http://www.ict.nsc.ru/matmod/files/textbooks/SharyNuMeth.pdf (дата 
обращения: 03.06.2025). 
2. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений: пер. 
с англ. / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. – М.: Мир, 1980. – С. 43–54, 
210–220. 
3. Гладких Л. С. Курс вычислительной математики: учебное пособие /  
Л. С. Гладких. – Новосибирск: Art-Avenue, 2004. – С 69–73. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Г Л А В А  1 
ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
МОДЕЛИРОВАНИЯ В ФОРМЕ СЛАУ 
 
 
 
1.1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ МОДЕЛЬ 
ПРИ ОБРАБОТКЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 
Обстоятельства, когда требуется найти аналитическое выражение 
для функциональной зависимости, наилучшим образом соответствующее данным измерений или наблюдений, довольно часто встречаются 
на практике. Модели такого рода относятся к классу задач, которые принято называть задачами восстановления зависимостей. 
Пусть в процессе наблюдения за каким-либо физическим явлением, 
описываемым зависимостью вида y = f(x), была получена таблица экспериментальных данных: 
x 
x1 
x2 
… 
xm 
y 
y1 
y2 
… 
ym 
Будем считать, что в измеряемых данных шумы измерения отсутствуют. 
Под интерполяционной моделью понимается построение какойлибо непрерывной функции, определенной на интервале наблюдений, которая точно проходит через все заданные экспериментальные 
точки (рис. 1.1). 
Понятно, что такая явная функция позволяет найти значение переменной y в любой точке x из интервала наблюдений. 

Рис. 1.1. Геометрический смысл модели интерполяции 
экспериментальных данных 
Математическую интерполяционную модель, описывающую такие 
эксперименты, можно представить следующим образом. Требуется найти 
непрерывную функцию y = f(x), где 
1
[
,
]
m
x
x
x

, которая во всех экспериментальных узлах xi удовлетворяет условиям интерполяции 
 
 
 
(
)
,
1, ..., .
i
i
f x
y
i
m


 
(1.1) 
Очевидно, что задача интерполяции в такой формулировке имеет 
множество решений, т. е. здесь имеет место случай «катастрофы от 
изобилия». Поэтому для того чтобы получить единственное решение, 
необходимо наложить дополнительные требования на вид функции 
y = f(x). Чаще всего выбирают самую простую функцию в виде алгебраического полинома (многочлена) степени n = m − 1: 
 
2
0
1
2
0
( )
( )
...
.
n
i
n
n
i
n
i
f x
P x
a x
a
a x
a x
a x









 
(1.2) 
Теперь построение интерполяционной модели сводится к нахождению неизвестных коэффициентов 
0
1 
,
,
n
a
a
a

 полинома 
 
).
(
n
P
x  В вычислительной математике для этой цели используются различные методы. Здесь будет рассмотрен метод неопределенных коэффициентов, 
который базируется на явном выполнении условий интерполяции (1.1)