Основы моделирования промышленных объектов и процессов

 
 
 
 
 
С. В. Карпушкин 
 
 
 
 
 
 
 
ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ 
ПРОМЫШЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ И ПРОЦЕССОВ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2025 
 
 

 
УДК  519.863 
ББК 34.5 
К26  
 
 
 
Рецензенты: 
к. т. н., ведущий инженер-конструктор бюро прочностных 
и технологических расчетов АО «ЗАВКОМ» (г. Тамбов) 
Мариковская Мария Павловна; 
д. т. н., профессор кафедры «Техника и технологии  
производства нанопродуктов» (Тамбовский ГТУ) 
Туголуков Евгений Николаевич 
 
 
 
 
 
 
Карпушкин, С. В. 
К26    Основы моделирования промышленных объектов и процессов : учебное пособие / С. В. Карпушкин. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 
2025. – 180 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-2396-0 
 
Представлены наиболее популярные методы математического моделирования технических систем и численные методы, используемые для решения соотношений математических моделей. Рассмотрены методика планирования и реализации инженерного эксперимента, аналитический и экспериментально-аналитический методы разработки математических моделей промышленных процессов и оборудования. Пособие 
включает лабораторный практикум, содержащий формулировки заданий, исходные данные, рекомендации по выполнению и тестовые задания к защите восьми лабораторных работ по практическому применению методов математического моделирования 
и численных методов решения соотношений математических моделей. Приложения 
содержат справочные данные о значениях критериев Стьюдента, Кохрена и Фишера, 
используемых при обработке результатов инженерных экспериментов, зависимости 
теплофизических характеристик теплохладоагентов от температуры. 
Для студентов, обучающихся по направлениям 15.03.01, 15.04.01 «Машиностроение» дневной и заочной формы обучения. 
 
УДК 519.863 
ББК 34.5 
 
 
ISBN 978-5-9729-2396-0 
” Карпушкин С. В., 2025 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2025 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2025 
Рекомендовано ученым советом федерального государственного 
бюджетного образовательного учреждения высшего образования  
«Тамбовский государственный технический университет»  
в качестве учебного пособия (протокол № 9 от от 03.07.2024) 

 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
1. ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 6 
1.1. Общая характеристика физического моделирования .................................... 6 
1.2. Общая схема математического моделирования ............................................. 7 
 
2. ОБЩАЯ СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ПОСТРОЕНИЯ   
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ......................................................................... 11 
2.1. Сглаживание экспериментальных зависимостей......................................... 11 
2.2. Порядок формирования математической модели ........................................ 12 
 
3. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА: ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ...... 16 
3.1. Основные задачи исследования и назначение математической модели .... 17 
3.2. Алгебраический степенной полином  
как математическая модель объекта исследования ............................................ 18 
3.3. Требования к отклику объекта исследования .............................................. 21 
3.4. Выбор факторов эксперимента ...................................................................... 23 
3.5. Выбор вида уравнения регрессии .................................................................. 24 
 
4. СЛУЧАЙНЫЙ ХАРАКТЕР ОТКЛИКА ОБЪЕКТА ИССЛЕДОВАНИЯ ....... 26 
4.1. Основные понятия математической статистики .......................................... 26 
4.2. Ошибки и точность наблюдений в эксперименте ....................................... 28 
4.3. Стохастическая связь между случайными величинами .............................. 30 
4.4. Корреляция между случайными величинами .............................................. 32 
 
5. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА: ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ  
ОБРАБОТКА ДАННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТА И ПРОВЕРКА  
АДЕКВАТНОСТИ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ................................................... 35 
5.1. Методика предварительной обработки данных эксперимента .................. 35 
5.2. Проверка адекватности уравнения регрессии .............................................. 36 
 
6. ПОЛНЫЙ И ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ............................. 40 
6.1. Полный факторный эксперимент .................................................................. 40 
6.2. Порядок постановки и оценки точности ПФЭ ............................................. 42 
6.3. Дробный факторный эксперимент ................................................................ 43 
 
7. ПЛАНОВО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ..................................... 45 
7.1. Критерий адекватности регрессионной модели .......................................... 45 
7.2. Поиск экстремума поверхности отклика объекта ........................................ 46 
 
8. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ ЭКСПЕРИМЕНТА .................................................. 48 
8.1. Ортогональный центральный композиционный план 
эксперимента........................................................................................................... 48 
 

 
8.2. Модификации ортогонального центрального 
композиционного плана эксперимента ................................................................ 52 
8.3. Некомпозиционные планы ............................................................................. 54 
 
9. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ  
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ......................................................................... 57 
9.1. Виды аналитических математических моделей ........................................... 57 
9.2. Уравнения гидродинамики ............................................................................. 58 
9.3. Уравнения теплопередачи .............................................................................. 59 
9.4. Уравнения массопереноса .............................................................................. 60 
9.5. Уравнения скорости химических превращений .......................................... 61 
9.6. Дополнительные условия, входящие в аналитические 
математические модели ......................................................................................... 64 
9.7. Аналитические уравнения статики  
и динамики технологических объектов ............................................................... 66 
 
10. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД  
ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ............................................. 71 
10.1. Порядок составления экспериментально-аналитических 
математических моделей ....................................................................................... 71 
10.2. Методика проведения экспериментов и обработки результатов ............. 72 
10.3. Область действия экспериментально-аналитических  
математических моделей ....................................................................................... 74 
10.4. Основные проблемы, возникающие при разработке 
и использовании математических моделей ......................................................... 76 
 
11. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ......................................................................... 77 
11.1. Методы решения нелинейных уравнений .................................................. 78 
11.2. Методы решения систем уравнений ........................................................... 81 
11.3. Формулы численного интегрирования ....................................................... 87 
11.4. Методы численного дифференцирования функций .................................. 91 
11.5. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений ........... 95 
11.6. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений ............. 98 
11.7. Решение уравнений в частных производных ........................................... 101 
 
12. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ .................................................................. 108 
12.1. Лабораторная работа № 1. Составление регрессионной 
математической модели по зависимости одной выходной характеристики 
объекта от одной входной. .................................................................................. 108 
12.2. Лабораторная работа № 2. Формирование полиномов регрессии 
заданной конфигурации и оценка степени их корреляции 
с таблицей данных эксперимента ....................................................................... 114 
 

 
12.3. Лабораторная работа № 3. Предварительная обработка данных 
эксперимента, формирование и проверка адекватности  
уравнения регрессии ............................................................................................ 122 
12.4. Лабораторная работа № 4. Полный/дробный факторный эксперимент 
и обработка его результатов ................................................................................ 131 
12.5. Лабораторная работа № 5. Центральные композиционные планы 
эксперимента и обработка результатов их применения ................................... 138 
12.6. Лабораторная работа № 6. Составление аналитической 
математической модели статики объекта 
с сосредоточенными параметрами ..................................................................... 145 
12.7. Лабораторная работа № 7. Составление 
экспериментально-аналитической математической модели 
кинетики объекта с сосредоточенными параметрами ...................................... 155 
12.8. Лабораторная работа № 8. Решение уравнений математических 
моделей в среде MathCAD .................................................................................. 164 
 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................................... 174 
 
ЛИТЕРАТУРА ......................................................................................................... 176 
 
Приложение А. Значения критериев Стьюдента, Кохрена, Фишера ................. 177 
 
Приложение Б. Зависимости теплофизических характеристик 
теплохладагентов от температуры ......................................................................... 179 

 
1. ВВЕДЕНИЕ 
 
Модель – это упрощенная система, отражающая отдельные характеристики 
исследуемого объекта (процесса). Выбор характеристик определяется целью исследования. Моделирование – это изучение свойств исследуемого объекта (процесса) путем анализа соответствующих характеристик его модели. Различают 
два вида моделирования – физическое и математическое. 
 
1.1. Общая характеристика физического моделирования 
 
Физическое моделирование – это изучение того или иного явления на нем 
самом, путем воспроизведения его в уменьшенных масштабах и анализа влияния на него физических особенностей реализации и геометрических размеров.  
Этот вид моделирования основан на применении принципа подобия объектов и процессов. Подобие объектов характеризуется постоянством отношения 
основных геометрических размеров, например, подобие двух горизонтальных 
цилиндрических емкостей (цистерн) определяется равенством:  
 
D1/D2 = L1/L2 = h1/h2, 
где    D, L, h – диаметр, длина обечайки и высота эллиптической части боковой 
стенки. Подобие процессов характеризуется равенством значений безразмерных комплексов, называемых критериями подобия.  
 
Связи между критериями подобия называют критериальными уравнениями. Например, одномерное установившееся движение жидкости характеризуется уравнением:  
 
f(Fr, Eu, Re) = 0, 
где    Fr = w2/g˜l – критерий Фруда (отношение силы инерции в потоке к силе 
тяжести);  
Eu = 'p/U˜w2 – критерий Эйлера (отношение силы давления в потоке к силе инерции);  
Re = w˜l˜U/P – критерий Рейнольдса (отношение силы инерции в потоке 
к силе трения);  
w – скорость потока; 
U, P – плотность и динамическая вязкость жидкости;  
'р – перепад давления;  
l – определяющий геометрический размер (например, диаметр трубы).  
 
Критериальное уравнение в общем виде можно получить двумя способами: преобразованием дифференциального уравнения процесса к безразмерному виду или путем анализа размерностей физических величин, оказывающих 
влияние на процесс (применяется в случаях, когда уравнение процесса неиз

 
вестно). Конкретный вид критериального уравнения может быть установлен только опытным путем в результате анализа результатов экспериментов на модельных установках. Целью экспериментов, как правило, является определение наиболее выгодных условий реализации процесса и перенос этих условий на промышленные объекты при соблюдении условий геометрического и физического 
подобия. 
Таким образом, физическое моделирование сводится к воспроизведению 
постоянства определяющих критериев геометрического и физического подобия 
в модели и исследуемом объекте. Этот подход оправдан лишь при изучении сравнительно несложных процессов (гидродинамических или тепловых с одномерным потоком). При исследовании систем, характеризующихся комплексом гидродинамических, тепловых, массообменных и химических процессов (гетерогенная химическая реакция в трубчатом реакторе) физическое моделирование 
может привести к большому набору критериев подобия, которые часто оказываются несовместимыми (равенство одних исключает равенство других). В настоящее время методы физического моделирования используются для нахождения доверительных интервалов изменения коэффициентов, входящих в уравнения математических моделей (например, констант скорости химических реакций), т. е. для оценки адекватности математических моделей объектам исследования. 
 
1.2. Общая схема математического моделирования 
 
Математическое моделирование – это представление закономерностей поведения объекта исследования в виде математических соотношений. Математической моделью называют систему уравнений и неравенств, которые включают 
наиболее значимые характеристики исследуемого объекта или процесса и упрощенно отражают взаимосвязи между ними. Математическая модель позволяет 
определить значения выходных и внутренних характеристик объекта или процесса по известным значениям входных характеристик с учетом возмущающих 
и управляющих воздействий без экспериментальных исследований (в том числе 
и при отсутствии самого объекта). 
Общий вид математической модели:  
 
( , , )
y
F x z u
 
, 
где    
1
2
( ,
, ...,
)
n
x
x x
x
 
 – входные параметры объекта исследования (независимые 
переменные); 
1
2
(
,
, ...,
)
m
y
y y
y
 
 – выходные параметры объекта (зависимые переменные); 
1
2
( ,
, ...,
)
k
z
z
z
z
 
 – возмущающие воздействия; 
1
2
( ,
, ...,
)
l
u
u u
u
 
 – управляющие воздействия. Все величины, входящие в математические модели, имеют физические размерности. 
 
 

 
Например, для кожухотрубчатого теплообменника входными параметрами могут быть требуемая тепловая нагрузка, виды теплоносителей, их начальные температуры; выходными параметрами – диаметр и длина корпуса, толщина стенки, число труб, конечные температуры теплоносителей; возмущающими воздействиями – наличие застойных зон, «проскока» теплоносителей, загрязнение поверхности теплообмена, управлениями – расходы теплоносителей.  
Общая схема процесса математического моделирования:  
 
 
 
Постановка задачи – это определение цели моделирования (например, 
прогноз поведения объекта в заданных условиях, поиск наивыгоднейших управляющих воздействий).  
При изучении объекта выделяются происходящие в нем «элементарные» 
процессы (механические, гидромеханические, тепловые, массообменные, химические), наиболее существенные для целей моделирования. Какими-то процессами на этом этапе, как правило, пренебрегают, поэтому математические модели чаще всего являются моделями неполной аналогии.  
Выбор вида математического описания «элементарных» процессов зависит от цели моделирования и представлений исследователя о характере изменения параметров объекта. Для описания процессов могут быть выбраны алгебраические уравнения и неравенства, дифференциальные уравнения (обыкновенные или в частных производных) и их системы. 
Из уравнений «элементарных» процессов формируется математическая 
модель объекта как целого. Обычно модель объекта химической технологии 
включает следующие группы соотношений:  
1) уравнения баланса масс и энергии, записанные с учетом гидродинамической структуры движения потоков;  
2) уравнения «элементарных» процессов для локальных элементов потоков;  
3) теоретические, полуэмпирические или эмпирические соотношения между параметрами различных «элементарных» процессов, например, зависимость 
коэффициента массопередачи от скоростей потоков фаз, зависимость теплоемкости раствора от его состава и т. п.;  
4) объективно существующие ограничения на диапазон изменения параметров объекта (диапазон допустимых температур, давлений и т. п.). 
Выбор метода решения зависит от вида соотношений модели (используются методы решения линейных, нелинейных, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и их систем).  
 

 
Решение математической модели – это процесс определения значений 
выходных характеристик объекта yi, i = 1, 2, ..., m при заданных значениях 
входных характеристик xj, j = 1, 2, ..., n, известном уровне помех zp, p = 1, 2, ..., k 
и управляющих воздействиях uq, q = 1, 2, ..., l.  
Анализ результатов решения математической модели проводится с целью определения степени ее адекватности объекту исследования. Если объект 
не существует в натуре, результаты оцениваются с точки зрения их соответствия физическому смыслу характеристик объекта (значения характеристик 
не должны быть явно недостоверными). Если же подобный объект существует, 
то результаты решения модели должны соответствовать результатам экспериментов на объекте. Анализ результатов может выявить необходимость изменения условий реализации некоторых предыдущих этапов моделирования и их 
повторного выполнения. 
Преимущества математических моделей перед физическими:  
а) существенно меньшие затраты времени на моделирование;  
б) не требуют затрат материалов, сырья, энергоресурсов;  
в) за одинаковое время позволяют провести много большее количество 
«экспериментов» (пуск, изменения режима работы, останов модельной установки требуют значительных затрат времени);  
г) пригодны для описания целого класса подобных объектов.  
Недостаток: учесть и описать математически все явления, присущие 
объекту, невозможно. 
Области практического использования математических моделей: 
- изучение закономерностей протекания природных и производственных 
процессов (научные исследования); 
- воспроизведение условий протекания процессов по известным результатам (косвенные измерения, медицинская диагностика); 
- прогнозирование хода процессов и их результатов (автоматическое управление, метеорология, социология, военное дело); 
- решение оптимизационных задач (оптимальное управление, оптимальное планирование, оптимальное конструирование).    
Часто целью математического моделирования является определение оптимальной конструкции и режима функционирования исследуемого объекта. 
Задачи определения оптимальных значений характеристик режима функционирования или (и) конструктивных характеристик объектов химической технологии формулируются следующим образом: 
найти такие значения x1*, x2*, ..., xn*, что функция  
 
f (x1, x2, ..., xn) 
 
достигает экстремума и одновременно выполняются условия:   
 
gi (x1, x2, ..., xn ) t 0, i = 1, 2, ..., m 
 
hk (x1, x2, ..., xn) = 0, k = 1, 2, ..., p. 
 

 
Параметры объекта x1, x2, ..., xn, определяющие качество его функционирования, могут быть входными, выходными, внутренними характеристиками 
объекта. Целевая функция f(x1, x2, ..., xn) в подобных задачах, как правило, записывается неявно: для определения ее значения необходимо решить математическую модель объекта при фиксированных значениях x1, x2, ..., xn. Таким образом, в постановках задач оптимизации реальных промышленных объектов их 
математические модели используются для записи закономерностей функционирования объектов, вычисления целевых функций (критериев оптимальности), 
а также в качестве ограничений на изменение параметров объектов. 
Методы математического моделирования: 
1. Экспериментальный (метод «черного ящика») – составление математического описания объекта путем обработки зависимостей его выходных характеристик от входных, получаемых при проведении экспериментов (применяется 
для существующих объектов в случаях, когда не удается сформировать математические соотношения, описывающие их свойства или в этом нет смысла). 
2. Аналитический – составление математического описания объекта только 
на основе имеющихся представлений о протекающих в нем процессах и их взаимосвязи (характерно для проектируемых объектов). 
3. Экспериментально-аналитический – выбор аналитических зависимостей, характеризующих процессы, которые протекают в объекте, и определение значений входящих в них констант с учетом результатов экспериментов 
на объекте или его физической модели (экспериментальное определение констант частично компенсирует неполную аналогию математического описания 
объекту).