Математические модели пневматической шины

 
 
 
 
 
А. Б. Дик 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ  
ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ ШИНЫ 
 
 
Монография 
 
 
Под общей редакцией заслуженного деятеля науки Российской Федерации,  
доктора технических наук, профессора А. И. Федотова 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2025 

УДК 629.3.027.5 
ББК 39.79 
Д45 
 
 
Рецензенты: 
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автомобили» Московского 
автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ)  
Иванов Андрей Михайлович; 
доктор технических наук, руководитель Центра испытаний государственного научного 
центра Российской Федерации ФГУП «НАМИ»  
Загарин Денис Александрович 
 
 
 
 
Дик, А. Б. 
Д45  
Математические модели пневматической шины : монография / 
А. Б. Дик ; под общ. ред. А. И. Федотова. - Москва ; Вологда : Инфра- 
Инженерия, 2025. - 232 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-2507-0 
 
Монография посвящена описанию и анализу математических моделей 
эластичных шин для колесных транспортных средств, без которых невозможно выполнять аналитические исследования устойчивости, управляемости, тормозной эффективности и ряда других важнейших эксплуатационных свойств автомобилей, мотоциклов, автопоездов и т. п. Приведено описание методов расчета выходных характеристик шин на основе математических (эмпирических) моделей, полуэмпирических («semi-empiric»),  
а также физических моделей шин, базирующихся на описании физических 
процессов в шине и контакте шины с опорной поверхностью. Приведен  
обширный материал, заполняющий информационный пробел в описа- 
нии наиболее распространенных моделей шин, таких как «Magic Formula 
Tyre Model», «TM-simple», «TM-Easy», а также модели, разработанной  
А. Б. Диком.  
Для научных работников и экспертов, выполняющих исследования, испытания и экспертизы, связанные со взаимодействием шин с опорной поверхностью. Может быть полезно для студентов и магистрантов, обучающихся по образовательным программам транспортных специальностей. 
 
УДК 629.3.027.5 
ББК 39.79 
 
 
ISBN 978-5-9729-2507-0 
” Дик А. Б., 2025 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2025 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2025 

 
 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение ....................................................................................................................... 6 
 
1. ОБЗОР ЭМПИРИЧЕСКИХ (ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ) МОДЕЛЕЙ  
ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ ШИНЫ .............................................................................. 8 
1.1. Модель «Magic-Formula Tire Model» (H.B. Pacejka) .................................... 9 
1.2. Модель «TMEasy» (G. Rill) .......................................................................... 19 
1.3. Модель «TM-simple» (W. Hirschberg) .......................................................... 32 
1.4. Выводы по разделу ........................................................................................ 37 
 
2. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ А.Б. ДИКА ............................................... 39 
2.1. Стационарные характеристики .................................................................... 40 
2.1.1. «Чистое» проскальзывание ................................................................ 41 
2.1.2. Комбинированное проскальзывание ................................................. 44 
2.2. Нестационарные характеристики ................................................................ 51 
2.2.1. Общие положения ............................................................................... 51 
2.2.1.1. Колесо как система с продольным  
и боковым проскальзываниями диска на входе .................... 52 
2.2.1.2. Колесо как система с крутящим моментом  
и углом увода на входе ............................................................. 54 
2.2.2. Нестационарный увод ведомого колеса ............................................ 56 
2.2.2.1. Линейный увод ......................................................................... 57 
2.2.2.2. Нелинейный увод ..................................................................... 62 
2.2.3. Нестационарное торможение при качении без увода ...................... 65 
2.2.4. Торможение с уводом (комбинированное проскальзывание) ......... 71 
2.3. Выводы по разделу ........................................................................................ 75 
 
3. МОДЕЛЬ «TM-D» (РАСШИРЕННАЯ МОДЕЛЬ А.Б. ДИКА) .......................... 76 
3.1. Качение с наклоном (развалом) ................................................................... 76 
3.2. Качение по криволинейной траектории ...................................................... 79 
3.3. Угловой и конусный эффекты шины ........................................................... 83 
3.4. Стабилизирующий момент ........................................................................... 85 
3.5. Выводы по разделу ........................................................................................ 89 
 
4. МОДЕЛЬ «TM-D»: ПАРАМЕТРЫ ....................................................................... 90 
4.1. Параметры 1-го уровня ................................................................................. 90 
4.1.1. Свободный радиус ненагруженного колеса ..................................... 90 
4.1.2. Радиус качения в ведомом режиме  
при условиях нагрузочного индекса .................................................. 91 
4.1.3. Момент инерции колеса ..................................................................... 93 
4.2. Параметры 2-го уровня ................................................................................. 93 

4.2.1. Коэффициенты сцепления и снижения сцепления .......................... 93 
4.2.2. Удельная «жесткость» проскальзывания .......................................... 99 
4.2.3. Радиус качения в свободном режиме .............................................. 101 
4.2.4. Условное плечо продольной реакции (силовой радиус) ............... 102 
4.2.5. Коэффициент сопротивления качению ........................................... 104 
4.2.6. Длина релаксации и коэффициент демпфирования ...................... 107 
4.2.6.1. Продольное направление ....................................................... 107 
4.2.6.2. Боковое направление ............................................................. 108 
4.2.7. Соотношение «жесткостей» наклонного  
и «уводного» проскальзывания ....................................................... 109 
4.2.8. Угловой и конусный эффекты шины ............................................... 110 
4.2.9. Показатели стабилизирующего момента ......................................... 111 
4.3. Параметры 3-го уровня ............................................................................... 112 
4.3.1. Параметры, влияющие на сцепление шины  
с опорной поверхностью .................................................................. 112 
4.3.1.1. Влияние радиальной нагрузки .............................................. 116 
4.3.1.2. Влияние давления в шине ..................................................... 119 
4.3.1.3. Влияние скорости движения ................................................. 122 
4.3.2. Параметры, влияющие на удельную «жесткость»  
проскальзывания ............................................................................... 139 
4.3.2.1. Влияние радиальной нагрузки и давления в шине ............. 139 
4.3.2.2. Влияние коэффициента сцепления ...................................... 155 
4.3.2.3. Влияние скорости движения ................................................. 157 
4.3.3. Параметры, влияющие на радиус качения  
    в свободном режиме .............................................................................. 162 
4.3.4. Параметры, влияющие на сопротивление качению ....................... 166 
4.3.4.1. Влияние температуры окружающей среды ......................... 167 
4.3.4.2. Влияние радиальной нагрузки .............................................. 168 
4.3.4.3. Влияние давления в шине ..................................................... 170 
4.3.4.4. Влияние скорости движения ................................................. 172 
4.3.4.5. Влияние кривизны профиля опорной поверхности ........... 174 
4.3.4.6. Влияние прочих факторов ..................................................... 175 
4.3.5. Параметры, влияющие на длину релаксации  
и коэффициент демпфирования ........................................................ 178 
4.3.5.1. Боковое направление ............................................................. 178 
4.3.5.2. Продольное направление ....................................................... 181 
4.3.6. Параметры, влияющие на соотношение «жесткостей»  
наклонного и «уводного» проскальзываний. ................................. 184 
4.3.7. Параметры, влияющие на показатели углового  
и конусного эффектов шины ............................................................ 184 
4.3.8. Параметры, влияющие на показатели  
стабилизирующего момента ............................................................ 185 
4.3.8.1. Влияние относительной радиальной деформации шины  
на начальное плечо боковой реакции ................................... 185 
 

4.3.8.2. Влияние радиальной нагрузки и давления в шине  
на боковую упругость каркаса шины ................................... 188 
4.4. Выводы по разделу ...................................................................................... 189 
 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................................................................................ 190 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................................ 191 
 
ПРИЛОЖЕНИЯ ....................................................................................................... 200 
1. Расчет продольной и боковой реакций по известным значениям  
продольного и бокового проскальзываний ..................................................... 201 
2. Численное определение частных производных ߲1, ߲2, ߲3, ߲4  ....................... 203 
3. Расчет процесса нестационарного нелинейного увода ................................. 204 
4. Расчет нестационарного процесса торможения колеса  
при качении без увода ....................................................................................... 207 
5. Расчет нестационарного процесса торможения колеса  
при качении с уводом ........................................................................................ 210 
6. Расчет касательных реакций с учетом наклона колеса, кривизны траектории 
движения, а также углового и конусного эффектов шины ............................ 213 
7. Расчет стабилизирующего момента ................................................................ 214 
8. Определение текущих значений показателей сцепления .............................. 215 
9. Определение текущих значений удельной «жесткости»  
проскальзывания ............................................................................................... 219 
10. Определение текущего значения радиуса качения в свободном режиме .... 221 
11. Определение текущего значения коэффициента сопротивления 
качению .............................................................................................................. 222 
12. Определение текущих значений длины релаксации ...................................... 223 
13. Определение текущих значений параметров  
стабилизирующего момента ............................................................................. 224 
14. Ориентировочные значения параметров шин  
и опорной поверхности ..................................................................................... 225 
 

 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
При решении задач, связанных с обеспечением устойчивости, управляемости, тормозной эффективности и ряда других свойств автомобиля необходимо 
располагать характеристиками шины как элемента, через который осуществляется взаимодействие колеса с опорной поверхностью. 
К таким характеристикам относятся прежде всего взаимосвязи между силовыми и кинематическими параметрами движения колеса. 
Для описания этих характеристик используются различные модели шины, 
которые можно, в частности, условно подразделить на следующие категории: 
x  математические (эмпирические) модели, в которых характеристики 
шины описываются феноменологически, без вникания в физику процессов образования напряжений и скольжений в контакте с опорной поверхностью. Контакт шины с опорной поверхностью здесь принимается точечным. Выходные характеристики шины при этом определяются экспериментально и затем по возможности точнее описываются 
математически. Такие модели отличаются значительной стабильностью 
и быстротой расчета. Различные варианты этой категории отличаются 
главным образом применяемыми аппроксимирующими формулами и 
количеством параметров. Целью этих моделей является возможно точное и быстрое описание характеристик шины при возможно меньшем 
количестве параметров. Здесь можно отметить, например, следующие 
модели: 
௅  «Magic-Formula Tyre Model», от версии 5.0 [26, 69, 70]; 
௅  «TM-simple» [40, 51]; 
௅  полиномиальная модель [91] и ряд других; 
x  полуэмпирические «semi-empiric». Такие модели отличаются от «чисто» математических тем, что для описания некоторых взаимосвязей используются физические модели. Это позволяет сократить количество необходимых параметров шины. К таким моделям относятся, например: 
௅  первоначальные версии «Magic-Formula Tyre Model» [25, 98]; 
௅  модель «TMEasy» [108, 109, 115]; 
௅  «MF-Tyre/MF-Swift» [99] и др.; 
x  физические модели, базирующиеся на описании физических процессов 
в шине и контакте шины с опорной поверхностью. Это различные модификации «щеточной» модели, моделей типа «натянутая нить», «балочная» модель или моделей в виде жесткого или эластичного кольца, соединенного со ступицей колеса через вязкоупругие элементы, а также их 
комбинации. К ним относятся, например, следующие: 
௅  TreadSim [69]; 
௅  SWIFT (Short Wavelenght Intermediate Frequency) [99, 100]; 
௅  FTire (Flexible Structure Tire Model) [47, 104, 105]; 

௅  RMOD-K (Reifenmodell fr Komfortuntersuchungen) [112, 113]; 
௅  LuGre [50, 102] и др. 
x  Детальные нелинейные модели, базирующиеся на методе конечных элементов (МКЭ). Эти модели требуют больших затрат времени для расчета 
и используются главным образом для исследования процессов в площадке контакта, износа шины, температурного режима, шумовых характеристик и т. д. Для моделирования динамики автомобиля такие модели 
малопригодны. 
Эмпирические модели для расчета стационарных и нестационарных характеристик шины пригодны, как правило, в низкочастотной области действия сил, 
а физические - и для более высоких частот (до 80-100 Гц), например, для моделирования вибраций шины на неровной опорной поверхности. 
Для моделирования динамики автомобиля более подходят эмпирические и 
полуэмпирические модели, поскольку шина для автомобиля является готовым 
изделием с определенными качествами. Как, например, в электронике диод или 
транзистор: там мало кого интересует, куда и как там перемещаются электроны 
и «дырки», а просто используется готовая вольтамперная характеристика изделия.  
Или другой пример: в теории автомобиля его двигатель также описывается 
скоростной и нагрузочной характеристикой, без углубления в особенности процессов смесеобразования и сгорания. Такие внешние характеристики изделия 
(транзистора, диода, двигателя и т. д.) обычно представлены в сопроводительной 
документации в виде значений ключевых параметров. Для двигателя. например, 
это максимальная мощность и максимальный крутящий момент с соответствующими значениями числа оборотов, а также некоторые другие параметры. 
Так же обстоит и с шиной автомобиля, с той лишь разницей, что параметры, необходимые для описания внешних характеристик шины, значительно 
реже можно найти в справочной литературе или в документации изготовителя. 

 
 
1. ОБЗОР ЭМПИРИЧЕСКИХ (ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ) 
МОДЕЛЕЙ ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ ШИНЫ 
 
Эмпирические модели в свою очередь можно подразделить на 2 группы: 
x  интерполяционные; 
x  феноменологические; 
В интерполяционных моделях экспериментальные выходные характеристики представляются в виде набора таблиц с измеренными значениями входных 
и выходных параметров. Промежуточные значения параметров, для которых отсутствуют экспериментальные данные, при этом определяются интерполяцией 
по наиболее близким имеющимся табличным данным. Такое табличное представление характеристик шины связано не только с большим объемом испытаний 
шин, но и прежде всего со значительными проблемами в методике проведения 
этих испытаний. Поэтому такое «лобовое» решение не нашло широкого распространения. 
Более практичными представляются феноменологические модели, в которых выходные характеристик шин аппроксимируются подходящим эмпирическим выражением, параметры которого непосредственно или косвенно определяются по результатам соответствующих испытаний. Эти модели, в свою очередь, можно подразделить на 2 группы: 
x  линейные (простейшие); 
x  нелинейные. 
В линейных моделях силовые параметры представляются простейшими 
линейными функциями кинематических параметров, как например, в гипотезе 
увода шины И. Рокара [8]: 
 
ܴ௬ = ܭ௬ߜ, 
 
где  ܭ௬ - коэффициент сопротивления боковому уводу; 
 
ߜ - угол бокового увода. 
 
Силовые параметры в линейных моделях рассматриваются как независимые друг от друга. 
Нелинейные модели различаются главным образом используемыми аппроксимирующими формулами. Коэффициенты этих аппроксимирующих выражений (параметры модели) можно условно подразделить на 3 уровня: 
x  первый уровень:  
номинальные данные шины, не зависящие от эксплуатационных факторов; 
x  второй уровень:  
параметры, определяющие коэффициенты, непосредственно входящие в 
аппроксимирующие выражения; 
 

x  третий уровень: 
коэффициенты, определяющие влияние эксплуатационных факторов на 
параметры второго уровня. 
Из феноменологических и полуэмпирических моделей, получивших распространение для моделирования динамики автомобиля, можно отметить следующие: 
x  «Magic-Formula Tyre Model», разработанная сотрудниками фирмы 
«Volvo Car Corporation» E. Bakker и L. Nyborg под руководством профессора «Delft University of Technology» H. B. Pacejka. Исходная версия этой 
модели впервые опубликована в 1987 г. в работе [98]; 
x  Модель «TMEasy» (Tire Model easy to use), первоначальная версия которой разработана G. Rill в 1994 г. для моделирования динамики сельскохозяйственных тракторов [74, 76, 115]; 
x  Модель «TM-simple», разработанная W. Hirschberg в 2009 г. [40]; 
x  полуэмпирическая-модель (А.Б. Дик), одна из первых версий которой 
опубликована в 1983 г. в работе [15]. 
Эти модели рассмотрим более подробно. 
 
 
1.1. Модель «Magic-Formula» (H.B. Pacejka) 
 
В модели «Magic-Formula Tyre Model» шина рассматривается как «черный 
ящик» с входными и выходными параметрами, рис. 1.1. 
 
Рис. 1.1. Входные и выходные параметры модели «Magic-Formula», в соответствии с [98] 
 
В основе этой модели лежит гипотеза об аналогичном протекании характеристик боковой и продольной реакции, а также стабилизирующего момента от 
соответствующих кинематических параметров, определяющих процесс качения 
эластичного колеса в стационарном режиме, рис. 1.2. 
Общее аппроксимирующее выражение модели «Magic-Formula» имеет следующий вид: 
 
 
ݕሺݔሻ = ܦ•‹൫ܥܽݎܿݐ݃ሺܤ߮ሻ൯ 
 (1.1) 
 
где 
߮ = ሺͳ െܧሻݔ
ா
஻ܽݎܿݐ݃ሺܤݔሻ; 
 
ܦ - «пиковый» параметр; 

 
ܥ - фактор формы кривой; 
 
ܤ - фактор «крутизны» изменения выходного параметра в начале координат; 
 
ܧ - фактор «кривизны». 
 
 
Рис. 1.2. Типичные стационарные силовые характеристики шины [98] 
 
Произведение ܤܥܦǡ определяющее крутизну нарастания функции ݕሺݔሻ при 
нулевом значении параметра x: 
 
ܤ൉ܥ൉ܦ = 
డ௬
డ௫ (при ݔ՜ Ͳ) 
при этом соответствует: 
x  для боковой реакции - «жесткости» бокового проскальзывания (коэффициенту сопротивления боковому уводу); 
x  для продольной реакции - «жесткости» продольного проскальзывания; 
x  для стабилизирующего момента - «жесткости» стабилизирующего момента. 
Иногда выражение (1.1) еще дополняется так называемым фактором 
«остроты» ܪ и принимает тогда следующий вид: 
 
 
ݕሺݔሻ = ܦ൉•‹൫ܥܽݎܿݐ݃ሺܤ൉߶ሻ൯ܪܽݎܿݐ݃ሺܤ൉ݔሻ  
(1.2) 
 
Но в большинстве случаев «Magic-Formula» ограничивается использованием 4 коэффициентов ሺܤǡ ܥǡ ܦǡ ܧሻǡ то есть применяется выражение (1.1). 
Для учета некоторых особенностей протекания характеристик, связанных 
главным образом с асимметрией оболочки шины, учетом сопротивления качению 
и качением колеса с наклоном (развалом) вводится горизонтальное и вертикальное смещение начала координат. 
Выходной параметр ܻሺܺሻ тогда определяется как 
 
 
ܻሺܺሻ = ݕሺݔሻ  ܵ௏, 
(1.3) 
 
ܺ - входной параметр; ݔ = ܺ൅ܵு; 
 
ܵ௏ǡ ܵு - соответственно вертикальное и горизонтальное смещение, рис. 1.3.