Основы современной теории автоматического управления с моделями и алгоритмами в MATLAB

 
 
 
 
 
В. В. Сахаров, А. А. Чертков, Я. Н. Каск 
 
 
 
 
 
 
ОСНОВЫ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ  
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ  
С МОДЕЛЯМИ И АЛГОРИТМАМИ В MATLAB 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2025

УДК 681.5 
ББК 32.972 
 
С22 
 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф. Саушев А. В. 
(ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова»); 
д-р техн. наук, проф. Сикарев И. А. 
(ФГБОУ ВО «РГГМУ») 
 
 
 
 
 
 
 
Сахаров, В. В. 
С22  
Основы современной теории автоматического управления с моде- 
лями и алгоритмами в MATLAB : учебное пособие / В. В. Сахаров,  
А. А. Чертков, Я. Н. Каск. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия,  
2025. - 220 с. : ил., табл.  
ISBN 978-5-9729-2285-7 
 
Рассмотрены основные условия устойчивости, управляемости и наблюдаемости 
объектов управления и синтеза систем с применением численных методов динами- 
ческого программирования, QR-преобразования и оптимального управления. Приведены основы построения, модели и алгоритмы синтеза систем автоматического управления с конкретными примерами их алгоритмизации и моделирования в вычислительной среде MATLAB, позволяющие решать исследовательские и практические задачи 
управления на основе современного инструментария вычислительных и программных 
средств, а также компьютерных технологий. 
Для курсантов, студентов второго и третьего курсов очной и заочной форм  
по направлениям подготовки: 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»,  
23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов», а также 
аспирантов, преподавателей и специалистов в этой предметной области. 
 
УДК 681.5 
ББК 32.972 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-2285-7 
” Сахаров В. В., Чертков А. А., Каск Я. Н., 2025 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2025 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2025 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
 
Введение .................................................................................................... 6 
 
1. 
Общие сведения о системах автоматического управления  
и их классификация ......................................................................... 8 
1.1. Основные понятия и определения ................................................................ .8 
1.2. Основные элементы систем управления ....................................................... 9 
1.3. Структура системы управления ................................................................... 10 
1.4. Классификация систем автоматического управления ............................... 13 
Контрольные вопросы ........................................................................................... 20 
 
2. 
Линейные непрерывные модели САУ ........................................ 22 
2.1. Модели линейных систем ............................................................................. 22 
2.2. Взаимосвязь передаточной функции объекта с его моделью 
 
в пространстве состояний ............................................................................. 29 
2.3. Применение MATLAB для определения изображений  
и оригиналов функций в операторном виде ............................................... 34 
Контрольные вопросы ........................................................................................... 37 
 
3. 
Структурные схемы САУ и способы их преобразования ....... 38 
3.1. Основные теоретические положения .......................................................... 38 
3.2. Основные правила преобразования структурных схем ............................ 38 
3.3. Структурные преобразование с помощью пакета MATLAB ................... 44  
3.4. Способы объединения подсистем в единую систему  
и уравнения ее состояния ............................................................................. 45 
3.5. Составление файла для выполнения индивидуального задания.. ............. 47 
Контрольные вопросы ........................................................................................... 50 
4. 
Характеристики линейных систем  .............................................. 52 
4.1. Коэффициент передачи (усиления) в установившемся режиме .............. 52 
4.2. Импульсная характеристика ........................................................................ 54 
4.3. Переходная характеристика ......................................................................... 55 
4.4. Частотные характеристики ........................................................................... 57 
4.5. Построение частотных характеристик в среде MATLAB ........................ 63  
Контрольные вопросы ........................................................................................... 67 
5. 
Временные характеристики типовых  
динамических звеньев ................................................................... 68 
5.1. Простейшие звенья........................................................................................ 68 
5.2. Динамические звенья первого порядка ........................................................ 74 
 

5.3. Динамические звенья второго порядка ....................................................... 79 
Контрольные вопросы ........................................................................................... 82 
6. 
Частотные характеристики динамических звеньев ................. 84 
6.1. Частотные характеристики простейших звеньев ....................................... 84 
6.2. Частотные характеристики звеньев первого порядка .............................. .86 
6.3. Частотные характеристики звеньев второго порядка................................ 89 
6.4. Правила построения частотных характеристик  
элементарных звеньев ........................................................................................... 94 
Контрольные вопросы  .......................................................................................... 95 
7. 
Устойчивость систем автоматического управления ............... 97 
7.1. Основные понятия и определения устойчивости системы ....................... 97 
7.2. Свободная и вынужденная составляющие уравнения динамики ............ 99 
7.3. Условия устойчивости линейной системы по виду корней  
 
характеристического уравнения ................................................................ 101 
7.4. Определение условий устойчивости системы  
по уравнениям ее состояния ....................................................................... 103 
7.5. Необходимое условие устойчивости САУ ............................................... 105 
Контрольные вопросы ......................................................................................... 106 
8. 
Критерии устойчивости линейных систем .............................. 107 
8.1. Алгебраический критерий Гурвица ........................................................... 107 
8.2. Частотный критерий Найквиста ................................................................ 110 
8.3. Частотный критерий Михайлова ............................................................... 117 
8.4. Анализ устойчивости САУ по ЛЧХ .......................................................... 120 
Контрольные вопросы ......................................................................................... 122 
9. 
Методы синтеза регуляторов линейных  
непрерывных систем ................................................................... 123 
9.1. Постановка задачи синтеза корректирующих устройств ....................... 123 
9.2. ПИД-регуляторы ......................................................................................... 124 
9.3. Метод размещения полюсов ...................................................................... 126 
9.4. Метод коррекции частотных характеристик системы ............................ 128 
9.5. Пример синтеза корректирующего устройства по ЛАФЧХ ................... 130 
9.6. Комбинированная коррекция системы на онове распределенных 
регуляторов .................................................................................................. 135 
9.7. Параметризация Юла для множества стабилизирующих  
регуляторов  ................................................................................................. 137 
Контрольные вопросы ......................................................................................... 140 
10. Оценка точности регулирования  
в установившехся режимах ........................................................ 141 
10.1. Точность в установившемся режиме ........................................................ 141 
10.2. Временные оценки качества переходного процесса .............................. 142 
10.3. Частотные оценки качества переходного процесса ................................ 144 

10.4. Корневые оценки качества систем ........................................................... 147 
10.5. Робастность ................................................................................................. 148 
Контрольные вопросы ......................................................................................... 151 
11. Модальное управление. Алгоритмизация  
и моделирование в среде MATLAB ........................................... 152 
11.1. Постановка задачи модального управления по спектру матрицы  
замкнутой системы .................................................................................... 152 
11.2. Синтез модального регулятора на базе стандартных полиномов ......... 156 
11.3. Инструментарий MATLAB для синтеза модального регулятора ......... 160 
11.4. Пример синтеза и моделирования системы в среде MATLAB ............. 162 
Контрольные вопросы ......................................................................................... 170 
12. Оценивание состояния объекта и возмущений ...................... 172 
12.1. Постановка задачи оценивания состояния .............................................. 172 
12.2. Алгоритм работы наблюдателя состояния полного порядка ................ 173 
12.3. Синтез наблюдающего устройства полного порядка ............................. 176 
12.4. Инструментарий MATLAB для моделирования наблюдателей ............ 179 
12.5. Алгоритм синтеза наблюдателя полного порядка  
для оценки возмущений и шумов измерений .......................................... 181 
12.6. Пример расчета наблюдателя системы управления курсом судна  
для оценки возмущений и шумов измерений .......................................... 183 
12.7. Синтез наблюдателя для оценивания вектора переменных состояния 
объекта на основе фильтра Калмана ......................................................... 187 
Контрольные вопросы ......................................................................................... 193 
13. Оптимальное управление. Алгоритмизация  
и моделирование в среде MATLAB ........................................... 195 
13.1. Постановка задачи оптимального управления системой  
с полной обратной связью ........................................................................ 195 
13.2. Алгоритм синтеза оптимального управления методом  
 
динамического программирования ......................................................... 196 
13.3. Алгоритм синтеза оптимального управления  
на основе уравнения Риккати ................................................................... 200 
13.4. Инструментарий LQR-оптимизации управления в среде MATLAB .... 206 
Контрольные вопросы ......................................................................................... 211 
Заключение ........................................................................................... 213 
Библиографический сисок ................................................................. 214 
Приложение ........................................................................................... 216 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
  
 
Кардинальные сдвиги в повышении эффективности производства и всех 
сфер общественной и социальной жизни страны невозможны без создания концепции сквозной автоматизации как фундаментальной платформы цифровой 
экономики, предназначенной для решения сложных отраслевых задач организации и управления. Автоматизация является важным средством повышения эффективности производственных процессов. Изучение основ автоматизации объектов водного транспорта предусмотрено в рамках учебной дисциплины «Теория 
автоматического управления», которая является базовой для других дисциплин, 
таких как «Элементы систем автоматики», «Приводы и автоматика транспортных и транспортно-технологических машин и оборудования» и др.  
Основной целью этого пособия является ознакомление с принципами построения и общими закономерностями функционирования сложных систем автоматического управления на основе их представления адекватными математическими моделями, позволяющими применять самый современный инструментарий вычислительных и программных средств, а также компьютерных технологий для решения исследовательских и практических задач управления. Кроме 
того, экономичное, надежное и безопасное функционирование сложных промышленных объектов, какими являются объекты и предприятия водного транспорта, а также обеспечение режимов функционирования транспортных систем 
при наличии сложных функциональных связей должно также основываться на 
качественно новых цифровых технологиях, построенных на базе мощных вычислительных сред. 
Современные вычислительные средства позволяют без особого труда и затрат времени решать сложные задачи управления в технических системах не инженерными (адаптированными) методами, а с использованием математического 
аппарата и методов любой степени сложности. Все эти функции выполняет такая 
современная математическая система, как MATLAB, основным инструментом 
которой является матричный аппарат. Данная система, предназначенная для выполнения инженерных и научных расчетов и обеспечивающая высокое качество 
визуализации получаемых результатов, позволяет с большой эффективностью 
моделировать сложные технологические процессы, а также переходные и установившиеся режимы в динамических системах различного назначения. Практический опыт использования системы MATLAB для решения задач, относящихся к 
различным сферам научной и инженерной деятельности, а также использованию 
во многих других научных направлениях определил широкое распространение 
MATLAB во многих университетах России и за рубежом. 
Основными методами исследования в теории автоматического управления 
(ТАУ) являются методы численного и математического моделирования, динамического программирования, QR-преобразования и теории обыкновенных дифференциальных уравнений.  

Учебное пособие состоит из тринадцати глав, в которых приводятся необходимые теоретические сведения, рассматриваются примеры и задачи с реализацией решения в среде MATLAB при использовании пакетов прикладных программ Control System Toolbox (CST) и Simulink. Пособие не содержит начальных 
сведений о работе с MATLAB, поскольку в свободном доступе в интернете имеется достаточно пособий и руководств по их применению. Вместе с тем в процессе освоения включенных в текст учебного пособия примеров можно 
научиться пользоваться программными средствами. 
В первой главе книги изложены основные понятия и определения теории 
управления, принципы управления и классификация систем автоматического 
управления (САУ), во второй - рассмотрены математические модели описания 
линейных непрерывных САУ - все четыре способа их представления: в виде 
дифференциальных уравнений, передаточных функций, моделей вида «нули-полюса» и моделей в пространстве состояний. В третьей главе изложены структурные схемы САУ и способы их преобразования, в четвертой и представлены 
основные характеристики САУ и способы их построения в системе MATLAB.  
В пятой главе систематизированы временные характеристики типовых динамических звеньев линейных систем, а частотные характеристики тех же звеньев 
рассмотрены в шестой главе. 
Седьмая и восьмая главы посвящены анализу устойчивости линейных 
САУ с применением инструментария MATLAB, приведены необходимые и достаточные условия устойчивости, описаны алгебраические и частотные критерии устойчивости с анализом областей устойчивости на комплексной плоскости 
и по логарифмическим частотным характеристикам. Девятая глава знакомит с 
методами синтеза регуляторов линейных систем, в частности, ПИД-регуляторов, 
размещения полюсов передаточной функции замкнутой системы, коррекции частотных характеристик разомкнутой системы, а десятая í с оценками точности 
регулирования этих систем в установившихся режимах. В одиннадцатой 
главе подробно рассмотрена задача модального управления по спектру матрицы 
замкнутой системы и синтез модели модального регулятора с реализацией ее в 
MATLAB. Двенадцатая глава посвящена синтезу наблюдателей полного порядка с восстановлением вектора переменных состояния объекта, оценки возмущений и шумов измерений, а также оценки вектора состояния на основе фильтра 
Калмана. Приведены примеры расчета и моделирования наблюдателей с применением пакетов CST и Simulink. Тринадцатая глава знакомит с постановкой  
и реализацией оптимального управления объектами методами динамического 
программирования и QR-синтеза, основанного на решении алгебраического 
уравнения Риккати с использованием инструментария MATLAB. 
 
 

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ  
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ  
И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ 
 
 
1.1. Основные понятия и определения 
 
Теория автоматического управления (ТАУ) появилась во второй половине XIX века сначала как теория регулирования. Широкое применение паровых 
машин вызвало потребность в регуляторах, то есть в специальных устройствах, 
поддерживающих устойчивый режим работы паровой машины, что послужило 
началом для проведения научных исследований в области управления техническими объектами. Оказалось, что результаты и выводы данной теории могут 
быть применимы к управлению объектами различной природы с различными 
принципами действия. В настоящее время сфера ее влияния распространилась на 
анализ динамики таких систем, как экономические, социальные и т. п. Поэтому 
прежнее название «Теория автоматического регулирования» заменено на более 
широкое - «Теория автоматического управления». 
Управление каким-либо объектом (объект управления на схемах будем 
обозначать ОУ) есть воздействие на него в целях достижения требуемых состояний или процессов. В качестве ОУ может служить самолет, станок, электродвигатель и т.п. Управление объектом с помощью технических средств без участия 
человека называется автоматическим управлением. Соответственно, автоматическая система, это система, работающая без участия человека. В автоматизированных системах рутинные операции (сбор и анализ информации) выполняет компьютер, но управляет всей системой человек-оператор, который и 
принимает решения. Далее будут рассматриваться в основном только автоматические системы. Совокупность ОУ и средств автоматического управления называется системой автоматического управления (САУ). 
Автоматические системы управления применяются для решения трех типов задач: 
x стабилизация, то есть поддержание заданного режима работы, который не меняется длительное время (задающий сигнал  постоянная,  
часто нуль); 
x программное управление  это управление по заранее известной программе (задающий сигнал меняется, но он заранее известен); 
x слежение за неизвестным задающим сигналом. 
К системам стабилизации относятся, например, авторулевые на кораблях и 
судах (поддержание заданного курса), системы регулирования частоты и напряжения генераторов электроэнергии на судах и береговых электростанциях и др.  
Системы программного управления широко используются при управлении перегрузочными процессами в портах, выполнении грузовых операций  

в нефтеналивных терминалах. Также они находят применение в бытовой технике, например, в стиральных машинах, кухонных комбайнах, программируемых мультиварках - скороварках и др.  
Следящие системы используются: 
x в технических комплексах автоматизации судовождения, для автоматического движения судов по траекториям, заданным по электронным 
навигационным картам; 
x в системах дистанционного управления режимами работы главных  
и вспомогательных двигателей на судах; 
x в промышленных роботах для лазерной резки металлов; 
x при изготовлении корпусных конструкций на судостроительных и судоремонтных заводах; 
x в системах безэкипажного и беспилотного управления морскими подвижными объектами и летательными аппаратами и др.  
Широкое применение прецизионные следящие системы нашли в медицине. Они также применяются в приводах при передаче команд через линии 
связи, например, через internet. Особый класс следящих систем используется  
на мобильных объектах военной техники. 
 
 
1.2. Основные элементы систем управления 
 
В задачах управления всегда есть два объекта - управляемый и управ- 
ляющий. Управляемый объект обычно называют объектом управления или 
просто объектом, а управляющий объект - регулятором. Например, при уп- 
равлении частотой вращения объект управления - это двигатель (электро- 
мотор, турбина); в задаче стабилизации курса корабля - корабль, погружен- 
ный в воду; в задаче поддержания уровня громкости - динамик. Принципы  
построения регуляторов могут быть различными. Наиболее распространен- 
ным среди первых механических регуляторов является центробежный ре- 
гулятор Уатта, служащий для стабилизации частоты вращения паровой машины (на рис. 1.1).  
Как видно из рисунка, когда частота вращения вала турбины увели- 
чивается, грузы расходятся под действием увеличивающейся центробежной 
силы. При этом посредством системы рычагов прикрывается заслонка, уменьшая поток пара на турбину (рис. 1.1), что вызывает уменьшение частоты ее вращения.  
Регулятор температуры в бытовом холодильнике или термостат - это 
устройство, которое регулирует температуру в холодильной камере путем включения или отключения электродвигателя фреоновой установки, обеспечивающей 
режим охлаждения.  
 

Рис. 1.1. Центробежный регулятор Уатта 
 
Во многих современных системах используются цифровые регуляторы, 
построенные на микропроцессорах и специальных «бортовых» компьютерах. 
Они успешно управляют самолетами и космическими кораблями без участия человека. Современный автомобиль также буквально «напичкан» управляющей 
электроникой и компьютерной техникой, ориентированной на применение технологии беспилотного управления.  
Обычно регулятор действует на объект управления не прямо, а через исполнительные механизмы (приводы), которые могут усиливать и преобразовывать сигнал управления, например, электрический сигнал может «превращаться» 
в перемещение клапана, регулирующего расход топлива, или в поворот пера руля 
на некоторый заданный угол.  
Чтобы регулятор мог «правильно реагировать» на то, что фактически происходит с объектом, нужны датчики. С помощью», что фактически происходит 
с объектом, нужны датчики. С помощью датчиков чаще всего измеряются те 
характеристики объекта, которыми нужно управлять. Кроме того, качество 
управления можно улучшить, если получать дополнительную информацию -  
измерять «внутренние свойства» объекта. 
 
 
1.3. Структура системы управления 
 
1.3.1. Элементы замкнутой системы управления 
В типовую структурную схемы системы управления входят объект, регулятор, привод и датчики. Однако, совокупность этих элементов - еще не система. 
Для превращения в систему нужны каналы связи, через которые идет обмен информацией между элементами. Для передачи информации могут использоваться 
электрический ток, сжатый воздух (пневматические системы), жидкость под давлением (гидравлические системы), компьютерные сети.