Математические методы и модели в управлении проектами

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА и ГОСУДАРСТВЕННОЙ 
СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ
Кафедра информационных технологий
Н.С. Шепелова
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ 
В УПРАВЛЕНИИ ПРОЕКТАМИ
Учебное пособие
Ростов-на-Дону
2023

ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ
Кафедра информационных технологий
Шепелова Н.С. Математические методы и модели в управлении проектами: учебное пособие / Н.С. Шепелова. Ростов-н/Д: Изд-во ЮжноРоссийского института управления – филиала РАНХиГС, 2023. – 69 с.
В учебном пособии рассмотрены математические модели, методы и подходы 
к решению   задач управления проектами (УП). Цель – в доступной форме изложить основополагающие математические идеи, познакомить с математическим 
инструментарием, предназначенным для решения задач управления проектной 
деятельностью. Материал каждой главы проиллюстрирован примерами и сопровождается подборкой задач для практических занятий. 
Учебное пособие предназначено для обучающихся по направлению 38.03.02 
Менеджмент (программа Проектный менеджмент).
ISBN 978-5-6044096-3-3
Печатается по решению кафедры.
Протокол №7 от 12.04.2023 г.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение5
Глава 1. История и теоретические основы проектной 
деятельности9
1.1. Управление проектами: исторические сведения10
1.2. Теоретические основы управления проектами19
1.3. Классификация проектов22
Глава 2. Введение в оптимальное управление. 
Динамическое программирование26
2.1. Общая постановка задачи динамического 
программирования27
2.2. Принцип оптимальности Беллмана29
2.3. Задача об оптимальном распределении средств32
2.4. Распределение средств между двумя предприятиями 
за несколько лет34
Глава 3. Сетевое планирование и управление45
3.1. Сетевая модель46
3.2. Управление проектами с неопределенным временем 
выполнения работ57
Глава 4. Математические методы управления в условиях 
неполной информации71
4.1. Методы экспертных оценок71
4.2. Теоретические основы имитационного моделирования78

Глава 5. Методы оценки эффективности инвестиционных 
проектов86
5.1. Оценка финансовой состоятельности инвестиционных 
проектов87
5.2. Оценка экономической эффективности 
инвестиционных проектов88
5.3. Программные продукты в управлении проектами99
Заключение102
Литература104

ВВЕДЕНИЕ
Ужесточение политических и экономических условий функционирования отечественной экономики требует совершенствования 
управленческой деятельности на всех уровнях системы государственного управления Российской Федерации. Многочисленные 
задачи, стоящие перед Россией, вынуждено решаются в условиях 
нехватки материальных, организационных средств для удовлетворения материальных потребностей субъектов экономических отношений по причине ограничения доступа российских предприятий 
к современным западным технологиям, оборудованию, материалам 
и комплектующим изделиям.
Все вышеуказанное требует от системы государственного 
управления российской экономикой в 2023 г. решения двуединой 
задачи, поставленной перед российским управленческим аппаратом после введения в 2014 г. экономических санкций ЕС и США: 
повышение эффективности управления и улучшение результативности действий. Для этого установлен механизм получения 
лучших результатов в государственном управлении в виде программно-целевого подхода, выражаемого в совокупности способов 
и приемов, взаимоувязанных по задачам, срокам осуществления, 
исполнителям и ресурсам для достижения поставленных целей. 
Основным инструментом реализации этого подхода на практике 
служит проектное управление, включающее разделенные по функциям процессную и проектную деятельности.
Под процессной деятельностью понимается регулярно повторяющаяся последовательность операций, потребляющая ресурсы 
на достижение поставленных целей и создающая некий ценный 
для потребителя результат [1].
Проектная деятельность представляет собой набор мероприятий, ограниченный в выполнении по времени, создающий конечный 
уникальный результат. Объединение набора проектов формирует 
программы проектов [2].
Если процессная деятельность является цикличной, т. е. представляет собой законченный круг действия, то проектная деятель

ность обладает некими неповторимыми уникальными особенностями. Разделение процессной и проектной деятельностей с акцентом 
на управлении сменяющими друг друга проектами позволяет не 
только более эффективно по сравнению с исключительно процессным управлением использовать ресурсы, но и получать запланированные результаты деятельности в более сжатые сроки [3]. 
Проектное управление активно внедряется в деятельность российских органов власти, получив законодательное оформление на 
федеральном уровне в 2016 г., а с 2023 г. на первый план выходит 
необходимость контроля не просто над реализацией отдельных 
проектов, а над обеспечением эффективности их реализации как 
взаимосвязанной совокупности проектов, оказывающей влияние на 
обеспечение национальной безопасности Российской Федерации 
как в целом, так и по ее отдельным направлениям [4].
Современный уровень эффективного управления проектами 
требует изучения не только качественных методов и средств управления, но и математических методов и моделей. 
Математическое моделирование – это методология научной 
и практической деятельности людей, основанная на построении, исследовании и использовании математических моделей. 
Математическим моделированием занимался, в сущности, каждый, кто применял математику на практике – от великих ученых 
древности до школьников, решающих задачи «на составление 
уравнений». Однако в самостоятельную научную дисциплину математическое моделирование оформилось лишь в последние несколько десятилетий в связи с широким применением компьютеров. Математическое моделирование тесно связано с прикладной 
математикой и с общей теорией систем, но не совпадает с ними, 
поскольку теория систем, как и другие разделы математики, имеет 
дело лишь с математическими объектами. Предмет математического 
моделирования шире и включает, кроме исследования математических объектов, формализацию постановки практической задачи 
и интерпретацию полученных формальных результатов. Иными 
словами, началом и концом процесса математического моделирования является окружающая действительность, практика.
Центральным понятием математического моделирования явля

ется математическая модель (ММ) – совокупность математических 
объектов и отношений, которые отображают объекты и отношения, 
существующие в некоторой области реального мира (предметной 
области). 
Выделяют три этапа математического моделирования:
– построение ММ (формализация задачи);
– исследование ММ (анализ модели);
– использование ММ (синтез решения).
Использование ММ возможно для различных целей: прогнозирования, исследования, проектирования, управления.
Предмет дисциплины «Математические модели в управлении 
проектами» составляют модели процессов разработки сложных 
проектов, позволяющие осуществлять координацию большого 
числа взаимосвязанных работ различного профиля. Планирование 
процесса рассматривается как неразрывный комплекс взаимосвязанных операций, направленных на достижение конечной цели, 
а коллективы исполнителей как звенья единой сложной системы. 
Кроме того, учитываются все необходимые ресурсы, и в первую 
очередь, ресурс отведенного времени. В основу моделирования 
положены методы динамического программирования, экспертных 
оценок, сетевого планирования и управления (СПУ). Применение 
этих методов опирается на внесение строгих логических элементов 
в формирование плана, позволяющих привлечь для анализа и реализации проектов современный математический аппарат и средства 
компьютерной техники. Универсальный аппарат СПУ позволяет 
использовать его для широкого класса задач производства, строительства, маркетинга, научных исследований, конструкторских 
разработок и многих других сфер. Использование методов сетевого 
планирования способствует сокращению сроков создания новых 
объектов, обеспечению рационального использования трудовых 
ресурсов и техники.
Массовый рост масштабов проектов, необходимость комплексного решения множества задач, составляющих в совокупности 
предмет управления, обосновывают актуальность исследований 
в этой области и формирование дисциплины, а также изучение ее 

в рамках образовательных программ.
Данное учебное пособие соответствует учебной программе по 
дисциплине, состоит из пяти глав, в каждой из которых рассмотрены модели, методы и подходы к решению основных классов 
задач управления проектами, даны задания и контрольные вопросы, уточняющие понимание содержания. 
Основные понятия проектного управления и исторические 
аспекты становления методов рассматриваются в главе 1.
Глава 2 посвящена математическим проблемам, возникающим 
при исследовании многошаговых процессов принятия решений 
при управлении проектами. 
В главе 3 рассмотрены задачи календарного и ресурсного 
планирования комплексов работ, упрощающие управление и организацию различных технических разработок выполнения работ. 
Глава 4 посвящена экспертным оценкам в управлении проектами и имитационному моделированию. 
Основные методы оценки эффективности инвестиционных 
проектов излагаются в главе 5.
В настоящем учебном пособии наибольшее внимание уделено 
математическим аспектам управления временем в проекте и изучению основных технологий сетевого планирования. В их число 
входят метод критического пути (Critical Path Method, CPM) для 
детерминированных сетей, метод PERT (Program (Project) Evaluation 
and Review Technique) для сетей с детерминированной структурой 
и вероятностным заданием длительностей работ.
 

Глава 1. История и теоретические основы 
проектной деятельности
Проекты существуют с древнейших времен. В жизни мы постоянно наблюдаем реализацию множества сложных и инновационных проектов. 
Термин «проект» используется во всевозможных видах деятельности, в разных аспектах, на различных уровнях ответственности 
и детализации. В самом общем виде «проект» (лат. projectum) – это 
«что-либо, что задумывается или планируется, например, большое 
предприятие» (толковый словарь Webster). 
По определению Мирового Банка [5], «Понятие «проект» 
обозначает комплекс взаимосвязанных мероприятий, предназначенных для достижения в течение заданного периода времени 
и при установленном бюджете поставленных задач с четко определенными целями». 
С точки зрения системного подхода, проект может рассматриваться как процесс перехода из исходного состояния в конечное, 
т. е. в результат, при участии ряда ограничений и механизмов [6]. 
В современном понимании проекты – это то, что изменяет 
мир: строительство жилого массива или промышленного объекта, 
программа научно-исследовательских работ, реконструкция предприятия, создание новой организации, разработка новой техники 
и технологии, сооружение корабля, создание кинофильма, развитие региона – все это можно считать проектами. 
Следует отличать толкование понятия «проект» от принятого 
у нас как документально оформленный план сооружения или конструкции. Для обозначения этого понятия на западе используют 
термин design.
Другой крайностью является отождествление проекта с программой – комплексом мероприятий по достижению долгосрочных 
целей (например, космическая программа, программа здравоохра

нения и др.). Программы, как правило, интегрируют в несколько 
проектов, объединенных общей целью и условиями их выполнения. 
Тем не менее, часто термин «программа» используется как синоним проекта либо как инструментарий для выполнения проекта. 
В отличие от проектной деятельности выделяют деятельность 
операционную: она осуществляется при известных и стабильных 
внешних условиях, при неоднократно повторяемых производственных действиях и определенным составом исполнителей. Примерами 
могут служить строительство типового жилого дома или торгового 
комплекса, организация сайта электронной торговли, прокладка 
трубопровода. В таких случаях вместо термина «проект» предлагается использовать термином «процесс», который следует понимать как последовательность постоянно выполняемых действий 
для выполнения какой-либо функции. 
Проекты и процессы схожи в том смысле, что всегда имеют 
ограничения – по срокам, т. е. проект должен завершиться к конкретной дате; по затратам, т. е. проект ограничен выделенными 
финансовыми и людскими ресурсами; по качеству, т. е. необходимо 
получить результаты определенного уровня качества. Но в отличие 
от повторяющихся процессов, проектные процессы характеризуются тремя особенностями [7,8]:
•	 наличием четко определенной конечной цели, достижение 
которой может быть связано с некоторой неопределенностью; 
•	 созданием нового продукта или нового качества, содержащего 
элементы уникальности по отношению к аналогам;
•	 участием специалистов из разных функциональных подразделений и отделов или внешних подрядчиков, выполняющих 
взаимосвязанные работы.
1.1. Управление проектами: исторические сведения
Управление проектами – это методология (говорят также, искусство) организации, планирования, руководства, координации 
трудовых, финансовых и материально-технических ресурсов на 
протяжении проектного цикла, направленная на эффективное достижение его целей путем применения современных методов, техники