Математические методы в правоприменительной деятельности

ВЛАДИМИРСКИЙ 
ФИЛИАЛ 
 
 
 
 
 
 
 
С. В. Поляков 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 
В ПРАВОПРИМЕНИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 
 
 
 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Владимир • 2020 
 
 

УДК 51-77 
ББК 22.17 
         Поля54 
 
 
Рецензенты:  
Рузевич О. Р. – кандидат юридических наук, доцент, заведующий кафедрой 
административно-правовых дисциплин Владимирского филиала федерального 
государственного 
бюджетного 
образовательного 
учреждения 
высшего 
образования «Российская академия народного хозяйства и государственной 
службы при Президенте Российской Федерации»; 
Ледащев С. В. – 
кандидат юридических наук, доцент кафедры 
административно-правовых дисциплин Владимирского филиала федерального 
государственного 
бюджетного 
образовательного 
учреждения 
высшего 
образования «Российская академия народного хозяйства и государственной 
службы при Президенте Российской Федерации». 
 
 
 
 
 
Поля54 
Поляков С. В. 
Математические методы в правоприменительной деятельности: 
учебно-методическое пособие. – Владимир : Владимирский филиал 
РАНХиГС, 2020. – 121 с. 
 
ISBN 978-5-907140-96-7 
 
 
В учебно-методическом пособии изложены вопросы применения на 
практике 
некоторых 
математических 
методов 
в 
правоприменительной 
деятельности, 
а 
именно 
основы 
обработки 
результатов 
наблюдений, 
комбинаторика, теория вероятностей и математическая логика. Приводятся 
примеры и даются пояснения по решению типовых задач. Для самостоятельной 
работы в каждый раздел включен перечень заданий.  
Предназначено для студентов, обучающихся по программам подготовки 
бакалавров 
по 
направлению 
40.03.01 
«Юриспруденция». 
Может 
быть 
использовано всеми, кто интересуется вопросами применения математических 
методов в юридической деятельности. 
Печатается по решению ученого совета Владимирского филиала РАНХиГС. 
 
 
 
УДК 51-77 
ББК 22.17 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-907140-96-7 
© С. В. Поляков, 2020 
© Владимирский филиал РАНХиГС, 2020 
 
 
 

Содержание 
 
Введение 
 
4 
Роль математики в юриспруденции 
 
6 
1. Простые вычисления в различных сферах правовой 
деятельности 
8 
1.1. Задания для самостоятельного выполнения 
 
14 
2. Статистическая обработка результатов наблюдений 
24 
2.1. Задания для самостоятельного выполнения 
 
35 
3. Элементы комбинаторики 
40 
3.1. Задания для самостоятельного выполнения 
 
49 
4. Основы теории вероятностей 
53 
4.1. Операции над событиями 
59 
4.2. Теорема о вероятности суммы событий 
61 
4.3. Условная вероятность 
64 
4.4. Формула полной вероятности 
66 
4.5. Задания для самостоятельного выполнения 
 
70 
5. Основы математической логики 
83 
5.1. Логические операции и их свойства 
85 
5.2. Логические возможности. Логически истинные и 
логически ложные высказывания 
98 
5.3. Отношения 
следования, 
эквивалентности 
и 
несовместимости 
102 
5.4. Аргументы правильные и ложные 
104 
5.5. Задания для самостоятельного выполнения 
 
105 
ПРИЛОЖЕНИЕ 
Основные 
математические 
методы, 
применяемые 
в 
юридической сфере 
 
118 
Список литературы 
120 
 
 

Введение 
 
На 
современном 
этапе 
развития 
юридической 
науки 
увеличивается объем нормативной правовой, криминологической, 
уголовно-статистической и иной информации, в связи с этим особую 
актуальность приобретает использование математических средств и 
методов исследования разнообразных правовых явлений и процессов. 
Неотъемлемой частью юридической деятельности является не 
только холодный ум и логика, но и расчет, точность, системность, что 
свойственно математике, математическим методам познания. В 
юридической практике важно использовать возможности теории 
статистики, 
правильно 
обрабатывать 
информацию, 
делать 
достоверный 
вывод 
или прогноз на 
основании 
имеющегося 
информационного 
материала. 
Кроме 
того, 
юриспруденцию 
и 
математику объединяет необходимость использования возможностей 
логики. Любой юрист, как и математик, должен уметь мыслить и 
рассуждать логически, уметь применять на практике законы логики. 
Цель в юриспруденции, как и в математике, – выявить истину, 
обеспечить доказательность выводам, формулируемым по исходной 
информации. Поэтому в юридической практике необходимо активно 
использовать теорию вероятностей, математическую статистику, 
теорию 
информации, 
математическую 
логику, 
математическое 
моделирование, теорию графов, теорию игр, линейное и динамическое 
программирование и другие разделы математики.  
В этой связи можно отметить появление термина «цифровая 
юриспруденция». 
В 
[1] 
приводится 
следующее 
определение: 
«цифровая» 
юриспруденция 
— 
это 
широкое 
внедрение 
в 
правотворчество 
и 
правоприменение 
компьютерной 
техники, 
специального программного обеспечения и математических методов. 

Математику 
можно 
считать 
вспомогательным 
средством 
познания, которое не подменяет юридические науки в их детальном 
содержательном 
анализе 
государственно-правовых 
проблем, 
а 
позволяет дополнить их для более глубокого познания юридической 
реальности [2]. Поэтому речь может идти не об увеличении объема 
математических ресурсов в юридической сфере деятельности, а о 
целесообразности их использования и внедрения. Применение методов 
математики расширяет аналитические возможности в исследовании 
правовых явлений и процессов. 
 
 

Роль математики в юриспруденции 
 
Объекты, изучаемые юридическими науками, многомерны и 
сложны по своей природе. Динамика развития современного общества, 
развитие процессов информатизации всех сторон жизни общества, 
ускорение 
процессов 
получения, 
сохранения, 
производства 
и 
распространения 
информации, 
усложнение 
хозяйственных 
и 
социальных связей вызывают естественное усложнение систем в сфере 
юридической деятельности. Это требует всестороннего, в том числе 
количественного, математического анализа отдельных правовых и 
связанных с ними систем, явлений и процессов в области 
государственного 
управления, 
правового 
регулирования 
предпринимательства, информационного обеспечения в области права, 
криминологии, информационного права, криминалистики и т.д.  
Роль математических методов усиливается в том числе и в 
правовой сфере в связи с реализацией Стратегии развития 
информационного общества в Российской Федерации на 2017-2030 
годы, утвержденной Указом Президента РФ от 9 мая 2017 г. № 203, 
поскольку современные информационные технологии строятся на 
определенных математических методах.  
Юридическое 
сообщество 
все 
активнее 
обсуждает 
предоставление правовых услуг с использованием информационных 
технологий. Так, все активнее применяется такая отрасль бизнеса, как 
Legaltech, специализирующаяся на информационно-технологическом 
обслуживании профессиональной юридической деятельности1.  
Находит свое применение смарт-контракт (умный контракт) – 
электронный протокол, написанный с помощью компьютерного кода, 
реализующего математические методы необходимых вычислений. Его 
                                                           
1 
URL: 
https://xsud.ru/news/legaltech-novoe-sredstvo-avtomatizatsii-primeneniyazakona. 

назначение – передача информации и обеспечение исполнения условий 
контракта обеими сторонами. Смарт-контракты дают возможность 
безопасно обмениваться деньгами, акциями, собственностью и 
другими активами напрямую, без участия посредников. Для того чтобы 
заключить любую сделку, необходимо обратиться к нотариусу или 
адвокату, оплатить документы и ждать их оформления.  
Использование теории вероятности как обоснования позиции 
стороны продемонстрировало (похоже, впервые в судебной практике) 
Агентство по страхованию вкладов (АСВ), предложившее, по сути, 
свое ноу-хау для упрощения доказывания в судах2. 
В приложении приводится перечень некоторых математических 
методов, применяемых в правовой сфере. В учебном пособии 
рассматриваются некоторые из перечисленных методов, а именно: 
арифметические, статистические, комбинаторные, вероятностные и 
логические методы обработки исходной информации. Поскольку 
применение математических методов в современных условиях связано 
с обработкой больших объемов данных или больших чисел, в учебном 
пособии 
приводятся 
примеры 
вычислений 
с 
использованием 
электронной таблицы. Это предполагает знание читателем основ 
работы в электронной таблице. С основными особенностями работы в 
электронной таблице Excel можно ознакомиться в [3]. 
 
 
                                                           
2 URL: https://www.kommersant.ru/doc/3548489?from=author_finance. 

1. Простые вычисления 
в различных сферах правовой деятельности 
 
В данном разделе рассмотрим арифметические вычисления 
(доли, пропорции, проценты), которые применяются в различных 
сферах деятельности человека, в том числе в правовой сфере.  
Для нахождения размера (величины) какой-либо доли от числа 
необходимо умножить величину этой доли на число 
y = dx,                                             (1.1) 
где x – число,  
d – доля от числа x, 
y – размер (величина) доли d от числа x. 
Пример 1.1. 
Количество 
безработных 
граждан 
от 
общего 
числа 
работоспособного населения составляет 1450 человек. Общее число 
работоспособного 
населения 
– 
36250 
человек. 
Какова 
доля 
безработных граждан от общего числа работоспособного населения в 
районе? Решение привести в том числе в электронной таблице Excel. 
Решение. 
По условию примера имеем y = 1450 человек, x = 36250 человек. 
Долю d безработных граждан от общего числа работоспособного 
населения в районе получаем из формулы 1.1: 
d = y / x = 1450 / 36250 = 0,04. 
На рис. 1.1 приведен фрагмент рабочего листа электронной 
таблицы Excel с решением этого примера. Формула расчета занесена в 
ячейку B2. Вид формулы можно видеть в строке формул. 
 
 
 
Рис. 1.1. Реализация примера 1.1 в Excel 

Пропорцию можно представить как равенство двух дробей: 
d
c
b
a 
.                                          (1.2) 
Если умножить равенство (1.2) на (db) и выполнить необходимые 
сокращения, получим: 
ad = cb.                                           (1.3)  
Результат (1.3) называется основным свойством пропорции. При 
этом применяется такое выражение: «в пропорции произведение 
крайних членов равно произведению средних». Слова «крайний» и 
«средний» приобретают смысл, если пропорция записана не в виде 
равенства дробей, а в виде равенства результатов деления: 
a / b = c / d.                                          (1.4) 
Из выражения (1.4) имеем a и d – крайние члены пропорции, b и 
c – средние члены пропорции. 
Нередко пропорции представляют в форме таблицы, что делает 
решение задач нагляднее. Такая таблица имеет следующий вид 
(таблица 1.1). 
Таблица 1.1 
Таблица для решения задач на пропорции 
Наименование единицы 
измерения 
Наименование единицы 
измерения 
a 
c 
b 
d 
 
Если в пропорции какая-то переменная неизвестна, то, согласно 
таблице 1.1, перемножаются известные переменные, расположенные 
по диагонали, и полученный результат делится на известную 
переменную из другой диагонали. Например, если известны a, b, d, то 
c находится по формуле c = (ad) / b.  
Пример 1.2. 
Скорая помощь обслуживает определенный район. Для прибытия 
в самый отдаленный населенный пункт, находящийся на расстоянии 

45 км, машине скорой помощи требуется 2 часа, или 120 мин. Сколько 
времени потребуется скорой помощи для прибытия в населенный 
пункт, расположенный на расстоянии 18 км, при той же скорости 
движения. Решение привести в том числе в электронной таблице Excel.  
Решение. По условию примера имеем a = 45 км, c = 120 мин, 
b = 18 км. Неизвестную величину d получаем из формулы (1.3) 
d = (bc) / a. 
Подставляя 
заданные 
значения, 
получим: 
d = (18 × 120) / 45 = 48 (мин). 
Можно воспользоваться другим способом для вычисления 
искомого значения d. В таблице 1.2 показано заполнение ячеек, 
согласно заданным значениям и искомой величине. 
Таблица 1.2 
Представление данных примера 1.2 
км 
мин 
45 
120 
18 
d 
 
По таблице 1.2 получаем расчет искомой величины d 
перемножением известных значений, расположенных по диагонали 
(18 × 120) с последующим делением на оставшуюся известную 
величину из другой диагонали, т.е. d = (18 × 120) / 45 = 48 (мин). 
На рис. 1.2 приведен фрагмент рабочего листа электронной 
таблицы Excel с решением примера 1.2. Формула расчета занесена в 
ячейку B3. Вид формулы можно видеть в строке формул. 
 
 
 
Рис. 1.2. Реализация решения примера 1.2 в Excel