Математика. Часть III: Задачи оптимизации

Федеральное государственное  
бюджетное образовательное учреждение 
высшего образования 
«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА 
и ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ 
при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» 
 
ПОВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ 
имени П.А. СТОЛЫПИНА 
 
 
 
 
 
В.А. Иванов, С.Б. Можейко,  
Н.С. Сытник, Н.П. Фадеева 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
ЧАСТЬ III 
 
Задачи оптимизации 
 
 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
Саратов 
2021 
 

УДК 51(07)  
 
 
                       Печатается по решению 
ББК 22.1я73  
 
 
     редакционно-издательского совета 
    И 20 
 
Иванов В.А. 
Математика. Часть III: Задачи оптимизации [Текст] : 
учеб.-метод. пособие / В.А. Иванов, С.Б. Можейко, 
Н.С. Сытник, Н.П. Фадеева. – Саратов: Поволжский 
институт управления имени П.А. Столыпина – филиал 
РАНХиГС, 2021. – 60 с. 
ISBN 978-5-8180-0609-3 
 
Учебно-методическое 
пособие 
содержит 
краткие 
теоретические 
сведения 
об 
основах 
оптимизации 
и 
математического моделирования.  
В третьей части рассмотрены методы решения типовых 
задач и примеры с решением и подробными объяснениями. 
Приведены примеры решения задач оптимизации в среде 
Microsoft Excel. Включены задания для самостоятельного 
решения, 
которые 
также 
могут 
быть 
использованы 
при 
проведении практических занятий.  
Для 
студентов 
и 
слушателей 
экономических 
и 
гуманитарных специальностей и направлений подготовки. 
 
Рекомендует к печати 
кафедра математики и статистики 
 
 
 
 
 
 Авторы, 2021 
 Поволжский институт управления 
    имени П.А. Столыпина –  
ISBN 978-5-8180-0609-3               филиал РАНХиГС, 2021 
 
И 20 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие ................................................................................4 
Глава I. Классические методы оптимизации .......................5 
     Тема 1. Метод множителей Лагранжа ..................................5 
 
Глава II. Задачи линейного программирования ................13  
     Тема 2. Графический метод решения задач  
     линейного программирования ............................................13 
     Тема 3. Решение задач линейного программирования  
     с помощью надстройки Excel «Поиск решения» ...............20 
     Тема 4. Симплексный метод решения задач 
     линейного программирования ............................................28 
     Тема 5. Транспортная задача   
    линейного программирования .............................................39 
Библиографический список  .....................................................58 
 
 
… 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
 
Знание основ математики является необходимым для 
качественной подготовки будущих специалистов в области 
производства, планирования и управления. По меткому 
замечанию великого русского ученого М.В. Ломоносова, 
«математику уже затем знать надо, что она ум в порядок 
приводит». 
В настоящем пособии в доступной форме представлены 
основные 
понятия 
математического 
моделирования 
и 
планирования действий в профессиональной деятельности. 
В третьей части пособия, «Задачи оптимизации», 
изложены 
основные 
положения 
теории 
и 
приведены 
алгоритмы решения стандартных практических задач. 
Пособие 
содержит 
необходимый 
теоретический 
материал, 
примеры 
решения 
задач, 
иллюстрирующих 
изложенные теоретические вопросы, а также примеры 
компьютерной реализации решений в среде Microsoft Excel.  
В каждую тему включены задания для самостоятельного 
решения, что позволит использовать пособие как в домашней 
работе студентов, так и в активной проработке заданий с 
преподавателем на практических занятиях.  
Пособие предназначено для студентов и слушателей 
экономических 
и 
гуманитарных 
специальностей 
и 
направлений подготовки. 
 

ГЛАВА I. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 
ОПТИМИЗАЦИИ 
Тема 1. Метод множителей Лагранжа 
 
 
Оптимизация, 
то 
есть 
нахождение 
всех 
максимизирующих 
или 
минимизирующих 
элементов 
(седловых точек), является основой экономического анализа.  
Существует ряд различных методов, позволяющих 
определить оптимум функции. Обычно интерес представляет 
глобальный 
оптимум 
функции, 
однако 
большинство 
известных методов оптимизации позволяет вычислить только 
локальный оптимум. Именно поэтому большое значение 
имеют условия, гарантирующие, что локальный оптимум 
является 
глобальным. 
Для 
задач 
линейного 
программирования и классических задач на условный 
экстремум имеется хорошо разработанная теория. 
В классических задачах на условный экстремум целевая 
функция и функции, определяющие ограничения, должны 
быть непрерывными и дифференцируемыми. Все ограничения 
должны 
быть 
равенствами; 
отсутствует 
требование 
неотрицательности переменных. 
На практике часто встречаются задачи, в которых 
необходимо 
найти 
экстремум 
функции 
нескольких 
переменных, которые связаны между собой некоторыми 
условиями. 
Рассмотрим функцию z = f(x, y), определенную и 
дифференцируемую в области G, координаты точек которой 
удовлетворяют системе уравнений связи  
 
𝐺= {(𝑥, 𝑦): 𝑔𝑖(𝑥, 𝑦) = 𝑐; 𝑖= 1, 2, … , 𝑚}. 
 

В этой области следует найти такую точку 𝑀0(𝑥0,𝑦0), 
чтобы выполнялось условие  
 
𝑓(𝑀0) ≥ (≤) 𝑓(𝑀) ∀𝑀(𝑥, 𝑦) ∈𝐺. 
 
Такие 
задачи 
называются 
задачами 
отыскания 
условного экстремума функции z = f(x, y). 
Наиболее простым способом нахождения условного 
экстремума функции двух переменных является сведение 
задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. 
Допустим, уравнение связи 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐 удалось разрешить 
относительно одной из переменных, например, выразить y 
через x: 𝑦=  𝜑(𝑥). Подставив полученное выражение в 
функцию двух переменных, получим  
𝑧 =  𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝜑(𝑥)) – функцию одной переменной. 
Ее экстремум и будет условным экстремумом функции z = f(x, y). 
 
Пример. Найти точки максимума и минимума функции  
𝑧= 𝑥2 + 2𝑦2 при условии 3𝑥+ 2𝑦= 11. 
Решение. 
Выразим 
из 
уравнения 
3𝑥+ 2𝑦= 11 
переменную 𝑦=  (11 −3𝑥)/2 и подставим полученное 
выражение в функцию  
𝑧= 𝑥2 + 2((11 −3𝑥)2) или 𝑧=
11
2  (𝑥2 + 6𝑥+ 11).  
Эта функция имеет единственный минимум при 𝑥0 = 3. 
Следовательно, 𝑦0 = (11 −3𝑥0 )/2 = 1.  
Таким образом, точка (3, 1) является точкой условного 
минимума функции 𝑧= 𝑥2 + 2𝑦2. 
В рассмотренном примере уравнение связи линейное, 
поэтому его легко удалось разрешить относительно одной из 
переменных. В более сложных случаях этого сделать не 
удается.