Высшая математика

 
 
 
 
Н.Д. Никоненко, М.В. Перова 
 
 
 
 
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону 
2021 
 
 
Южно-Российский институт 
 управления - филиал 
 
Кафедра информационных 
технологий 

УДК 
ББК 
 
 
 
 
 
 
 
 
Никоненко Н.Д., Перова М.В. 
Высшая математика. Ростов н/Д., 2021.- 84с. 
 
ISBN 978-5-6042501-7-4 
 
Данное учебное пособие рекомендуется студентам всех 
форм обучения, изучающим дисциплины «Математика», 
«Высшая математика». 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Печатается по решению кафедры  
Протокол  3 от  10.11.2020 
 
 

Содержание 
Общие сведения ............................................................................ 4 
Тема 1. Математический анализ .................................................. 5 
Пределы и непрерывность ....................................................... 5 
Исследование функции одной переменной ......................... 15 
Производная и дифференциал функции одной переменной. 
Правило Лопиталя .................................................................. 22 
Неопределенный и определенный интеграл ........................ 26 
Тема 2. Основы линейной алгебры ........................................... 33 
Тема 3. Теория вероятностей ..................................................... 52 
Основные понятия теории вероятностей ............................. 52 
Теоремы сложения вероятностей ......................................... 54 
Теорема умножения вероятностей ....................................... 55 
Формула полной вероятности ............................................... 57 
Вероятности гипотез. Формула Бейеса. ............................... 59 
Формула Бернулли ................................................................. 61 
Дискретная случайная величина (ДСВ) ............................... 69 
Непрерывная случайная величина (НСВ) ............................ 80 
Список литературы ..................................................................... 82 
Приложение 1 ......................................................................... 83 
 
 
 

Общие сведения 
В данном учебном пособии рассмотрены основные разделы высшей математики. Поскольку математический аппарат 
широко используется при моделировании управленческих и 
экономических процессов, а эффективное принятие решений 
основывается на оперативной обработке информации с помощью информационных технологий, в учебном пособии рассмотрены примеры решения задач с помощью табличного процессора. 
 
 
 

Тема 1. Математический анализ 
В 
данном 
разделе 
рассматриваются 
практикотеоретические аспекты пределов и непрерывности, дифференцирования функций, интегрирования. 
Пределы и непрерывность  
Число А называется пределом функции 𝑓ሺ𝑥ሻ  при  х, стремящемся к бесконечности (lim௫→ஶ𝑓ሺ𝑥ሻൌ𝐴), если для любого 
(сколь угодно малого) положительного числа 𝜀 ሺ𝜀൐0ሻ, 
найдется такое положительное число, зависящее от  𝜀, 𝛿ൌ
𝛿ሺ𝜀ሻ, что для всех х, таких что |𝑥| ൐𝛿 верно неравенство:  
|𝑓ሺ𝑥ሻെ𝐴| ൏𝜀 
Число А называется пределом функции 𝑓ሺ𝑥ሻ  при  х, стремящемся к a (lim௫→௔𝑓ሺ𝑥ሻൌ𝐴), если для любого (сколь угодно 
малого) положительного числа 𝜀 ሺ𝜀൐0ሻ, найдется такое положительное 
число, 
зависящее 
от 
 
𝜀, 
 𝛿ൌ𝛿ሺ𝜀ሻ, что для всех х, таких что |𝑥െ𝑎| ൏𝛿 верно 
неравенство:  
|𝑓ሺ𝑥ሻെ𝐴| ൏𝜀 
Функция 𝑓ሺ𝑥ሻ называется бесконечно малой величиной при 
𝑥→𝑎, или 𝑥→∞, если ее предел равен нулю: 
lim
௫→௔ሺஶሻ𝑓ሺ𝑥ሻൌ0 
Функция 𝑓ሺ𝑥ሻ называется бесконечно большой величиной при 
𝑥→𝑎, или 𝑥→∞, если ее предел равен бесконечности: 
lim
௫→௔ሺஶሻ𝑓ሺ𝑥ሻൌ∞ 
Теорема о связи предела функции и бесконечно малой величины. 
Если функцию  𝑓ሺ𝑥ሻ  можно представить как число А и бесконечно малую величину (сумма) при 𝑥→𝑎, или 𝑥→∞, то число 
А предел функции при 𝑥→𝑎, или 𝑥→∞. 
Свойства бесконечно малых величин 
 Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая 

 Произведение бесконечно малой величины на ограниченную (в т.ч. на постоянную, на другую бесконечно малую) - 
величина бесконечно малая. 
 Частное от деления бесконечно малой величины на 
функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая. 
Свойства бесконечно больших величин 
• Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая  
• Сумма бесконечно большой величины и ограниченной 
функции - величина бесконечно большая 
• Частное от деления бесконечно большой величины  на 
функцию, имеющей предел, есть величина бесконечно большая 
Связи между бесконечно большими и бесконечно малыми 
величинами 
Если lim௫→௔ሺஶሻ𝑓ሺ𝑥ሻൌ∞, тогда lim௫→௔ሺஶሻ
ଵ
௙ሺ௫ሻൌ0. 
Если lim௫→௔ሺஶሻ𝑓ሺ𝑥ሻൌ0, тогда lim௫→௔ሺஶሻ
ଵ
௙ሺ௫ሻൌ∞. 
Основные теоремы о пределах 
• Функция не может иметь больше одного предела 
• Предел алгебраической суммы конечного числа  функций равен такой же сумме  пределов этих функций 
• Предел конечного числа функций равен произведению 
пределов этих функций. 
• Предел частного двух функций равен частному пределу 
этих функций, при условии, что предел функции, стоящей в 
знаменателе отличен от нуля 
 
Замечательные пределы 
Первый замечательный предел: 
1
sin
lim
0


x
x
x
 
 
 

Второй замечательный предел: 
e
n
n
n









1
1
lim
 
Эквивалентные бесконечно малые 
Эквивалентность при х0: 
sinxx 
𝑒௫-1x 
tgxx 
ln(1+x) x 
arcsinxx 
ሺ1 ൅𝑥ሻఈ-1𝛼x 
arctgxx 
1-cosx
௫మ
ଶ 
sinx²x² 
 
Эквивалентность в терминах бесконечно малых 
sinx=x+o(x), х0 
e୶-1x+o(x),  х0 
tgx=x +o(x), х0 
ln(1+x)=x +o(x), х0 
arcsinx=x +o(x), х0 
ሺ1 ൅xሻ஑=1αx+o(x),  х0 
arctgx=x+o(x),  х0 
 
Виды неопределенности 
∞/∞,0/0,0·∞,∞-∞,1∞ 
Правила раскрытия неопределенностей 
∞/∞ 
В числителе и знаменателе за скобки выносится старшая бесконечно большая величина 
0/0 
1) Выделяется множитель, дающий 0 (могут использованы эквивалентные бесконечно малые, но в сумме и суперпозиции их 
использовать нельзя). 
2) Избавление от иррациональности (умножение на сопряженное) 
0·∞ 
Переход к 0/0 или ∞/∞ с помощью замены 

a·b=a/(1/b)=b/(1/a) 
∞-∞ 
1) Приведение к общему знаменателю 
2) Избавление от иррациональности (умножение на сопряженное) 
1∞ 
Чаще - второй замечательный предел 
Пример 1.  
lim௫→ହ
ଷ௫ାହ
௫ିହ. 
Решение: 
lim
௫→ହ
3𝑥൅5
𝑥െ5 ൌቀ3𝑥൅5 →20
𝑥→5
, 𝑥െ5 →0
𝑥→5
ቁൌlim
௫→ହ
ሺ3𝑥൅5ሻ
1
𝑥െ5 
ൌ൭
по теореме о связи бесконечно больших и бесконечно
 малых 
1
𝑥െ5 →∞
൱
ൌ 
Воспользуемся свойством бесконечно больших величин.  
В данном случае в пределе стоит произведение. Значит, 
воспользуемся первым свойством: 
lim௫→ହሺ3𝑥൅5ሻൌ20. 
Тогда, получаем 
lim
௫→ହ
3𝑥൅5
𝑥െ5 ൌቀ3𝑥൅5 →20
𝑥→5
, 𝑥െ5 →0
𝑥→5
ቁൌlim
௫→ହ
ሺ3𝑥൅5ሻ
1
𝑥െ5 
ൌ
ቆ
по теореме о связи бесконечно больших и бесконечно
 малых 
ଵ
௫ିହ→∞
ቇൌ
∞. 
 
 

Пример 2.  
lim௫→ஶቀ
௫
௫ାଵቁ
௫
. 
Решение: 
 Сначала определим вид неопределённости: 
lim
௫→ஶ
𝑥
𝑥൅1 ൌቀ∞
∞ቁൌ
⎝
⎜⎜
⎛
согласно правилу расрытия 
неопределенностей,   в числителе 
и 
знаменателе старшую 
бесконечно  
большую
⎠
⎟⎟
⎞
ൌ 
ൌ
lim௫→ஶ
௫
௫ቀଵାభ
ೣቁൌlim௫→ஶ
ଵ
ଵାభ
ೣ
ൌ
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎛
𝑥→∞, тогда согласно 
связи бесконечно 
больших и бесконечно
малых величин,
ଵ
௫→0 ,
1 ൅
ଵ
௫ →1 െсогласно 
теореме о связи предела
функции и бесконечно
малой величины
 
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞
ൌ
1. 
Основание степени стремится к 1 при 𝑥→∞, показатель степени к бесконечности, таким образом, неопределенность 1∞.  
Для раскрытия данной неопределенности нужно привести 
функцию  к виду, аналогичному функции во втором замечательном пределе. 
Выделяем в основании степени  единицу. Тогда в числителе 
должен стоять знаменатель минус некоторое число. Чтобы в 
числителе сделать знаменатель, необходимо в числителе записать знаменатель и вычесть значение, которое приводит к числителю. Затем поделим поэлементно разность в числителе на 
знаменатель.