Устойчивость в нечетко-логических и нейро-нечетких системах

НАУЧНАЯ МЫСЛЬ
СЕРИЯ ОСНОВАНА В 2008 ГОДУ




БОБЫРЬ М.В.
УСТОЙЧИВОСТЬ
В НЕЧЕТКО-ЛОГИЧЕСКИХ И НЕЙРО-НЕЧЕТКИХ СИСТЕМАХ

МОНОГРАФИЯ



znanium
электронно-библиотечная система
Москва
ИНФРА-М


2026

УДК 510.644.4(075.4)
ББК 22.12
     Б72



     Рецензенты:
        Ронжин А.Л., доктор технических наук, профессор, директор Санкт-Петербургского Федерального исследовательского центра Российской академии наук;
        Мещеряков Р.В., доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник Института проблем управления имени В.А. Трапезникова Российской академии наук



      Бобырь М.В.
Б72 Устойчивость в нечетко-логических и нейро-нечетких системах : монография / М.В. Бобырь. — Москва : ИНФРА-М, 2026. — 271 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/2211139.
         ISBN 978-5-16-021027-8 (print)
         ISBN 978-5-16-113729-1 (online)
         Монография представляет завершенное фундаментальное исследование устойчивости нечетко-логических и нейро-нечетких систем управления, являющихся важным классом интеллектуальных систем, применяемых в инженерии, автоматизации и обработке данных. Систематизирует теоретические основы и практические методы обеспечения устойчивости, предлагая новые подходы к анализу и проектированию систем, учитывающие неопределенности, нелинейности и динамическое поведение. Основное внимание уделено количественным методам оценки устойчивости, включая оригинальные подходы к дефаззификации, бифуркационному анализу и адаптивному обучению. Основана на научных проектах, поддержанных Государственным заданием № 075-03-2025-526 и РНФ № 24-21-00055.
         Адресована ученым, инженерам, аспирантам и студентам, интересующимся нечеткой логикой, теорией управления и интеллектуальными системами.

УДК 510.644.4(075.4)
ББК 22.12












Данная книга доступна в цветном исполнении в электронно-библиотечной системе Znanium





ISBN 978-5-16-021027-8 (print)
ISBN 978-5-16-113729-1 (online)



© Бобырь М.В., 2025

                Оглавление





     Введение                                                 9
     Глава 1. Нечетко-логические
     и нейро-нечеткие системы                                 11
        1.1. Обзор литературных источников в области исследова            ния устойчивости нечётких систем управления .... 11
        1.2. Введение в нечёткую логику и нейро-нечёткое обучение. 22
            1.2.1. Описание базовых понятий нечёткой логики . . 22
            1.2.2. Описание моделей нечётко-логического вывода . 24
        1.3. Базовая структура нечетко-логической системы .... 38
            1.3.1. Модель с треугольными функциями принадлежности з методом центра тяжести...................39
            1.3.2. Модель с упрощенным методом центра тяжести
                  4 синглтонными функциями принадлежности . .40
            1.3.3. Модель дефаззификацнн на основе метода отношения площадей...................................41
            1.3.4. Модель дефаззнфнкации на основе первой модификации метода отношения площадей................43
            1.3.5. Модель дефаззнфнкации на основе второй модификации метода отношения площадей................44
        1.4. Ошибка сужения интервала дефаззификацнн.........45
            1.4.1. Описание ошибки сужения интервала дефаззификацнн...................................45
            1.4.2. Числовые примеры расчета выходных значений . 46
     Глава 2. Устойчивость нечетко-логической системы         50
        2.1. Теорема об устойчивости нечётко-логической системы . 51
            2.1.1. Анализ устойчивости в нечетко-логической системе при использовании дефаззификатора на основе метода центра тяжести.......................53
            2.1.2. Метод центра тяжести. Эксперимент 1.......53
            2.1.3. Метод центра тяжести. Эксперимент 2.......55

3

            2.1.4.  Метод центра тяжести. Эксперимент 3........56
             2.1.5. Анализ данных, полученных в ходе исследования нечетко-логической системы на основе дефаззи-фикатора метода центра тяжести....................58
        2.2. Анализ устойчивости в нечетко-логической системе при использовании дефаззификатора на основе упрощенного метода центра тяжести...............................58
            2.2.1.  Упрощенный метод центра тяжести.
                   Эксперимент 1...............................58
            2.2.2.  Упрощенный метод центра тяжести.
                   Эксперимент 6...............................60
             2.2.3. Упрощенный метод центра тяжести. Эксперимент 3.....................................61
             2.2.4. Анализ данных, полученных в ходе исследования нечетко-логической системы на основе дефаззификатора упрощенного метода центра тяжести . 63
        2.3. Анализ устойчивости в нечетко-логической системе при использовании дефаззификатора на основе метода отношения площадей и его первой модификации .... 63 2.3.1. Метод отношения площадей и его первая моди                   фикация. Эксперимент 1......................63
             2.3.2. Метод отношения площадей и его первая модификация. Эксперимент 6............................65
             2.3.3. Метод отношения площадей и его первая модификация. Эксперимент 3............................66
             2.3.4. Анализ данных, полученных в ходе исследования нечетко-логической системы на основе дефаззификатора метода отношения площадей и его первой модификации...................................68
        2.4. Анализ устойчивости в нечетко-логической системе при использовании дефаззификатора на основе второй модификации метода отношения площадей....................68
            2.4.1.  Вторая модификация метода отношения площа                   дей. Эксперимент 1..........................68
             2.4.2. Вторая модификация метода отношения площадей. Эксперимент 2................................70
             2.4.3. Вторая модификация метода отношения площадей. Эксперимент 3................................71

4

             2.4.4. Анализ данных, полученных в ходе исследования нечетко-логической системы на основе дефаззи-фикатора второй модификации метода отношения площадей......................................73
        2.5. Анализ результатов оценки устойчивости в нечетко-логических системах на основе пяти методов дефаззификации..........................................73
     Глава 3. Устойчивость нечетко-логической системы с обратной связью                                           80
        3.1. Структурная модель нечетко-логической системы с обратной связью...........................................81
        3.2. Аппроксимация линейной функции первого и второго порядка.................................................82
            3.2.1.  Переход от нечётких параметров к G(ju). . . . 83
             3.2.2. Пример расчёта G(ju) для первого и второго порядка...........................................84
        3.3. Теорема об устойчивости нечётко-логической с обратной связью..............................................85
        3.4. Программная реализация метода оценки устойчивости нечетко-логической системы на основе дефаззификато-ра центра тяжести на Python.............................87
            3.4.1.  Описание функций...........................87
            3.4.2.  Числовой пример............................89
        3.5. Анализ устойчивости по круговому критерию для упрощённого метода центра тяжести...........................98
            3.5.1.  Исходные данные и параметры для второго экс                   перимента упрощенного метода центра тяжести.....................................98
            3.5.2.  Заданные параметры.........................99
            3.5.3.  Оценка устойчивости........................99
            3.5.4.  Результаты................................100
        3.6. Анализ устойчивости по круговому критерию для метода отношения площадей и его первой модификации.....................................101
            3.6.1.  Исходные данные из второго эксперимента для
                   метода отношения площадей и его первой модификации................................102
            3.6.2.  Заданные параметры........................102
            3.6.3.  Оценка устойчивости.......................102
            3.6.4.  Результаты................................103

5

         3.7. Анализ устойчивости по круговому критерию для второй модификации метода отношения площадей . . . .104 3.7.1.     Исходные данные из второго эксперимента для
                   второй модификации метода отношения площадей....................................105
             3.7.2. Заданные параметры.........................105
             3.7.3. Оценка устойчивости........................105
             3.7.4. Результаты.................................106
      Глава 4. Устойчивость нейро-нечеткой системы вывода 108
         4.1. Процесс обучения нейро-нечеткой модели на основе метода отношения площадей...............................108
             4.1.1. Числовой пример обучения нейро-нечеткой си                   стемы на основе метода отношения площадей . .109
         4.2. Определение устойчивости в нейро-нечеткой системе . .114 4.2.1. Третье условие устойчивости нейро-нечеткой си                   стемы:
                   круговая сходимость и фазовый портрет . . . .116
             4.2.2. Вычисление глобального коэффициента для оценки критического значения скорости обучения нейрс нечеткой системы..................................122
             4.2.3. Теорема об устойчивости нейро-нечёткой системы...........................................124

        4.3. Анализ устойчивости нейро-нечёткой системы . . . .125
             4.3.1. Количественный анализ сходимости нейро-нечетко
                   модели.....................................125
             4.3.2. Программная реализация модели MAR
                   на Python..................................138
        4.4. Обучение на основе метода центра тяжести.........150
             4.4.1. Теоретическая часть.......................150
             4.4.2. Процесс обучения..........................150
             4.4.3. Проверка критериев устойчивости...........152
             4.4.4. Варианты обучения.........................152
         4.5. Обучение на основе второй модификации метода отношения площадей.......................................157
             4.5.1. Теоретическая часть.......................157
             4.5.2. Числовой пример расчёта и обучения........158
             4.5.3. Результаты обучения.......................161
             4.5.4. Проверка устойчивости.....................164
        4.6. Сравнительное обучение методов дефаззификации. . . 167
             4.6.1. Метод отношения площадей (MAR)............167
             4.6.2. Метод центра тяжести (CoG)................168

6

            4.6.3. Вторая модификация метода отношения площадей (MAR2).......................................169
            4.6.4. Условия эксперимента......................169
            4.6.5. Результаты обучения.......................170
     Глава 5. Гиперустойчивость нечётко-логических систем                                                  186
        5.1. Основное условие гиперустойчивости..............186
        5.2. Теорема и доказательство гиперустойчивости нечеткологической системы с обратной связью.................188
        5.3. Моделирование гиперустойчивости в нечетко-логической системе с обратной связью............................189
        5.4. Переход к траектории Попова для анализа гиперустойчивости....................................191
     Глава 6. Теория бифуркаций и оценка нейро-нечеткой модели                                                  194
        6.1. Типы бифуркаций в дискретных системах...........195
            6.1.1. Седло-узловая бифуркация..................195
            6.1.2. Бифуркация Неймарка-Сакера................198
            6.1.3. Бифуркация удвоения периода...............201
        6.2. Математический анализ бифуркаций................205
            6.2.1. Анализ седло-узловой бифуркации...........206
            6.2.2. Анализ бифуркации Неймарка-Сакера.........208
            6.2.3. Анализ бифуркации удвоения периода........210
        6.3. Бифуркационная диаграмма........................217
        6.4. Значимость анализа бифуркаций в нейро-нечётких
            системах.........................................219
     Глава 7. Устойчивость нейро-нечётких систем на основе метода Ляпунова                                      221
        7.1. Теоретические основы............................221
        7.2. Переход от модели Ляпунова к нейро-нечёткой системе . 222
            7.2.1. Аналитический вывод.......................222
            7.2.2. Вывод об устойчивости на основе анализа функций Ляпунова ................................... 225
     Глава 8. Дополнительные виды устойчивости                226
        8.1. Устойчивость BIBO...............................226
            8.1.1. Теоретические основы......................226
            8.1.2. Методика анализа В1ВО-устойчивости........227
            8.1.3. Численные результаты и анализ.............228

7

         8.2. Робастная устойчивость...........................233
             8.2.1. Теоретические основы.......................233
             8.2.2. Пошаговый анализ...........................234
             8.2.3. Численные результаты и анализ робастной устойчивости нейро-нечеткой      системы...............236
         8.3. Структурная устойчивость.........................243
             8.3.1. Теоретические основы.......................243
             8.3.2. Пошаговый анализ устойчивости на основе структурного метода....................................244
             8.3.3. Численные результаты и анализ..............245
Заключение                                               253

     Список использованной литературы

257

8

     Настоящая монография представляет завершённое исследование устойчивости нечётко-логических и нейро-нечётких систем, составляющих важный класс интеллектуальных систем управления, применяемых в инженерии, автоматизации и обработке данных. Работа адресована учёным, инженерам, аспирантам и студентам старших курсов технических специальностей, интересующимся методами управления и моделирования в условиях неопределённости. Основное внимание уделено анализу устойчивости с использованием классических и авторских подходов, включая методы дефаззификации, робастный анализ и структурную устойчивость.
        Монография ориентирована на специалистов в области автоматизированных систем управления, мехатроники, искусственного интеллекта и прикладной математики, а также разработчиков программного обеспечения и оборудования, решающих задачи адаптивного управления технологическими процессами, такими как обработка на станках с ЧПУ, управление мобильными роботами и диагностика сложных систем. Материал предполагает базовые знания в области нечёткой логики, теории управления и численных методов, что делает его доступным для исследователей и профессионалов.
        Целью работы является систематизация теоретических основ и практических методов обеспечения устойчивости нечётко-логических и нейро-нечётких систем, а также представление оригинальных разработок автора в области дефаззификации и обучения нейро-нечётких моделей. Монография основана на многолетних исследованиях автора и его коллег, опубликованных в ведущих научных журналах и апробированных в инженерных задачах. Читатель найдёт здесь обзор существующих методов и новые подходы, обеспечивающие надёжное управление в условиях неопределённости.
        Исследование посвящено анализу устойчивости систем, сочетающих интерпретируемость логических правил с адаптивностью машин
9

     кого обучения, что делает их востребованными в мехатронике, робототехнике и автоматизации. Основной задачей является разработка теоретических основ и практических методов анализа устойчивости с учётом дефаззификации, обучения и динамического поведения. Для достижения цели решены следующие задачи, соответствующие главам монографии:

        1. Систематизация теоретических основ нечёткой логики и нейро-нечёткого обучения, включая анализ моделей Мамдани, Такаги-Сугено и ANFIS, а также разработка и сравнение методов дефаззификации (глава 1).

        2. Разработка методов оценки устойчивости нечётко-логических систем, формулировка теоремы устойчивости и её доказательство (глава 2).

        3. Анализ устойчивости систем с обратной связью с использованием кругового критерия и доказательство соответствующей теоремы (глава 3).

        4. Исследование устойчивости нейро-нечётких систем, разработка нового метода оценки, подкреплённого теоремой, и сравнительный анализ методов дефаззификации (глава 4).

        5. Исследование гиперустойчивости нечётко-логических систем и определение условий её достижения (глава 5).

        6. Анализ бифуркаций в нечётко-логических системах и их влияния на поведение системы (глава 6).

        7. Адаптация методов Ляпунова к нейро-нечётким системам для оценки устойчивости (глава 7).

        8. Исследование дополнительных видов устойчивости (BIBO, робастная, структурная) с программными реализациями и примерами (глава 8).

        9. Формулировка обобщённых выводов и практических рекомендаций для инженерной практики (Заключение).


10