Методы и алгоритмы финансовой математики

Ю-Д. Люу
МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ
ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
Перевод с английского
С. В. Жуленёва
под редакцией
Е. В. Чепурина
4-е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2025

УДК 519.8+330
ББК 22.19:65.053
Л96
С е р и я
о с н о в а н а
в
2007 г.
Люу Ю-Д.
Л96
Методы и алгоритмы финансовой математики / Ю-Д. Люу ;
пер. с англ. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний,
2025. — 754 с. — (Математика и финансы). — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-93208-544-8
Исчерпывающая фундаментальная монография, в которой на доступном
уровне излагается фактически вся финансовая математика: от классической
и детерминированной финансовой теории до практически всех разделов
современной стохастической финансовой математики. Основной акцент
в книге делается на прикладные вычисления, что выражается, в частности,
обилием приводимых алгоритмов. Многие из них реализованы в виде Javaпрограмм и доступны в Интернете на домашней странице книги.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и специалистов в области
финансов, а также математиков и программистов, интересующихся приложениями теории вероятностей.
УДК 519.8+330
ББК 22.19:65.053
Деривативное издание на основе печатного аналога: Методы и алгоритмы финансовой математики / Ю-Д. Люу ; пер. с англ. — М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2007. — 751 с. : ил. — (Математика и финансы).
ISBN 978-5-94774-333-3.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-544-8
©
Copyright
2002 by Yuh-Dauh Lyuu
This book is in copyright. Subject to
statutory exception and to the
provisions of relevant collective
licensing agreements, no reproduction
of any part may take place without
the written permission of Cambridge
University Press
© Перевод на русский язык.
Лаборатория знаний, 2015

Оглавление
Предисловие редактора перевода
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Часть I.
КЛАССИЧЕСКАЯ ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Глава 1. Введение
. . . . . . . . .
16
1.1. Современные финансы: крат
кая история
. . . . . . . . .
16
1.2. Финансовая технология и фи
нансовые расчеты
. . . . . .
16
1.3. Финансовые рынки
. . . . .
17
1.4. Компьютерная технология . .
20
Глава 2. Анализ алгоритмов
. . . .
25
2.1. Сложность
. . . . . . . . . .
25
2.2. Анализ алгоритмов . . . . . .
26
2.3. Описание алгоритмов
. . . .
27
2.4. Разработка программного обес
печения
. . . . . . . . . . .
28
Глава 3. Основы финансовой мате
матики
. . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1. Временная стоимость денег
.
30
3.2. Ежегодные ренты
. . . . . .
33
3.3. Амортизация
. . . . . . . . .
35
3.4. Доходности
. . . . . . . . .
37
3.5. Облигации
. . . . . . . . . .
46
Глава 4. Волатильность цены обли
гации
. . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.1. Волатильность цены
. . . . .
57
4.2. Дюрация
. . . . . . . . . . .
59
4.3. Выпуклость
. . . . . . . . .
69
Глава 5. Временная
структура
про
центных ставок . . . . . . . . . . .
72
5.1. Введение
. . . . . . . . . . .
72
5.2. Спотставки
. . . . . . . . .
74
5.3. Получение
спотставок
из
кривых доходности
. . . . .
75
5.4. Статический спрэд . . . . . .
77
5.5. Кривая спотставок и кривая
доходности . . . . . . . . . .
77
5.6. Форвардные ставки
. . . . .
79
5.7. Теории временной структуры
85
5.8. Уточнение понятий дюрации
и иммунизации
. . . . . . .
89
Часть II.
ОПЦИОНЫ И ДРУГИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЦЕННЫЕ БУМАГИ
Глава 6. Основные факты теории веро
ятностей и математической статистики
96
6.1. Основные понятия . . . . . .
96
6.2. Регрессия
. . . . . . . . . . 103
6.3. Корреляция
. . . . . . . . . 106
6.4. Оценка параметров
. . . . . 107
Глава 7. Основы опционов
. . . . . 111
7.1. Введение
. . . . . . . . . . . 111
7.2. Основные понятия . . . . . . 112
7.3. Биржевые опционы (опционы,
которыми торгуют на бирже)
114
7.4. Основные стратегии в опционах 117
7.5. Комбинация
. . . . . . . . . 121
Глава 8. Арбитраж при оценке стои
мости опциона
. . . . . . . . . . . 123
8.1. Арбитражные соображения
. 123
8.2. Относительная стоимость оп
ционов
. . . . . . . . . . . . 124
8.3. Паритет пут—колл и ряд вы
текающих из него свойств . . 126
8.4. Досрочное
исполнение
Аме
риканских опционов . . . . . 128
8.5. Выпуклость цен опционов . . 131
8.6. Свойство
портфеля,
состав
ленного из опционов
. . . . 132
Глава 9. Модели оценки стоимости
опционов
. . . . . . . . . . . . . . 134
9.1. Введение
. . . . . . . . . . . 134
9.2. Биномиальная модель оценки
стоимости опциона
. . . . . 135
9.3. Формула Блэка—Шоулса
. . 148
9.4. Использование формулы Бл
эка—Шоулса
. . . . . . . . . 155
9.5. Американские опционы пут на
бездивидендные акции . . . . 157
9.6. Опционы на акции с дивиден
дами
. . . . . . . . . . . . . 159
9.7. Пересечение дерева по диаго
нали
. . . . . . . . . . . . . 164

Оглавление
Глава 10. Анализ
чувствительности
опционов
. . . . . . . . . . . . . . 169
10.1. Меры чувствительности
(Гречанки ) . . . . . . . . . 169
10.2. Техника численных расчетов
174
Глава 11. Теория опционов. Продол
жение
. . . . . . . . . . . . . . . 178
11.1. Корпоративные ценные бумаги 178
11.2. Барьерные опционы
. . . . . 185
11.3. Шапки и полы процентных ставок 189
11.4. Опционы на индексы акций . 190
11.5. Форексные опционы . . . . . 193
11.6. Cложные опционы . . . . . . 198
11.7. Производные ценные бумаги,
стоимость которых зависит от
траектории
. . . . . . . . . . 199
Глава 12. Форварды, фьючерсы, оп
ционы на фьючерсы, свопы . . . . . 207
12.1. Введение
. . . . . . . . . . . 207
12.2. Форвардные контракты
. . . 209
12.3. Фьючерсные контракты
. . . 214
12.4. Опционы на фьючерсы и оп
ционы на форварды
. . . . . 223
12.5. Свопы
. . . . . . . . . . . . 230
Часть III.
НЕПРЕРЫВНАЯ ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА И ХЕДЖИРОВАНИЕ
Глава 13. Cтохастические
процессы
и броуновское движение
. . . . . . 236
13.1. Случайные процессы
. . . . 236
13.2. Мартингалы
(справедливые
игры )
. . . . . . . . . . . . 238
13.3. Броуновское движение . . . . 243
13.4. Броуновский мост
. . . . . . 249
Глава 14. Финансовая математика с
непрерывным временем
. . . . . . . 251
14.1. Стохастические интегралы . . 251
14.2. Процессы Ито
. . . . . . . . 254
14.3. Применения
. . . . . . . . . 260
14.4. Финансовые приложения
. . 264
Глава 15. Оценка стоимости произ
водных финансовых инструментов в
случае непрерывного времени . . . . 270
15.1. Дифференциальные уравнения
в частных производных
. . . 270
15.2. Дифференциальное уравнение
Блэка—Шоулса
. . . . . . . 271
15.3. Приложения
. . . . . . . . . 276
15.4. Оценка стоимости производ
ного инструмента общего вида 287
15.5. Стохастическая волатильность 289
Глава 16. Хеджирование
. . . . . . 291
16.1. Введение
. . . . . . . . . . . 291
16.2. Хеджирование и фьючерсы
. 292
16.3. Хеджирование и опционы
. . 297
Часть IV. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ
Глава 17. Деревья
. . . . . . . . . 304
17.1. Оценка стоимости барьерных
опционов комбинаторными ме
тодами
. . . . . . . . . . . . 304
17.2. Алгоритмы триномиального дерева 313
17.3. Оценка стоимости многокомпо
нентных условных требований 316
Глава 18. Численные методы . . . . 321
18.1. Конечноразностные
методы 321
18.2. Моделирование
по
методу
МонтеКарло
. . . . . . . . 328
18.3. Квазиметоды МонтеКарло
. 336
Глава 19. Матричные вычисления
. 343
19.1. Основные определения и ре
зультаты
. . . . . . . . . . . 343
19.2. Проблема метода наименьших
квадратов
. . . . . . . . . . 349
19.3. Сглаживание данных с помо
щью сплайнов
. . . . . . . . 355
Глава 20. Анализ временных рядов . 361
20.1. Введение
. . . . . . . . . . . 361
20.2. Модели
условной
дисперсии
для волатильности цены . . . 369
Часть V.
КЛАСС ЦЕННЫХ БУМАГ, ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ
К ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ, И ЕГО ПРОБЛЕМЫ
Глава 21. Производные ценные бумаги
на процентную ставку
. . . . . . . 374
21.1. Фьючерсы и форварды на про
центную ставку
. . . . . . . 374
21.2. Опционы
с
фиксированной
доходностью
и
опционы
на
процентную ставку . . . . . . 387
21.3. Опционы
на
фьючерсы
по
процентной ставке . . . . . . 392
21.4. Cвопы на процентную ставку
394
Глава 22. Подгонка временной структуры 406
22.1. Введение
. . . . . . . . . . . 406
22.2. Линейная интерполяция . . . 407
22.3. Обычный метод наименьших
квадратов
. . . . . . . . . . 409
22.4. Сплайны
. . . . . . . . . . . 411
22.5. Схема Нельсона—Зигеля . . . 412
Глава 23. Введение в моделирование
временной структуры
. . . . . . . . 414
23.1. Введение
. . . . . . . . . . . 414
23.2. Биномиальное
дерево
про
центной ставки
. . . . . . . 415
23.3. Применения к оценке стоимо
сти и хеджированию . . . . . 426
23.4. Временная структура волатиль
ности . . . . . . . . . . . . . 432

Оглавление
7
Глава 24. Основы моделирования вре
менной структуры
. . . . . . . . . 435
24.1. Терминология
. . . . . . . . 435
24.2. Основные соотношения
. . . 436
24.3. Рискнейтральная оценка сто
имости
. . . . . . . . . . . . 438
24.4. Уравнение временной структуры 441
24.5. Процесс форвардной ставки . 444
24.6. Биномиальная модель с при
ложениями . . . . . . . . . . 445
24.7. Модели Блэка—Шоулса
. . . 451
Глава 25. Равновесные модели вре
менной структуры
. . . . . . . . . 454
25.1. Модель Васичека
. . . . . . 454
25.2. Модель
Кокса—Ингерсолла—
Росса . . . . . . . . . . . . . 457
25.3. Другие модели
. . . . . . . . 465
25.4. Калибровка модели
. . . . . 466
25.5. Однофакторные модели крат
косрочной ставки
. . . . . . 468
Глава 26. Безарбитражные
модели
временной структуры
. . . . . . . . 471
26.1. Введение
. . . . . . . . . . . 471
26.2. Модель Хо—Ли
. . . . . . . 471
26.3. Модель Блэка—Дермана—Тоя
477
26.4. Модели по Халлу и Уайту
. . 481
26.5. Модель Хита—Джэрроу—Мор
тона
. . . . . . . . . . . . . 487
26.6. Модель Ритчкена—Санкарасуб
раманяна . . . . . . . . . . . 495
Часть VI. НАИБОЛЕЕ ИЗВЕСТНЫЕ ЦЕННЫЕ БУМАГИ
Глава 27. Ценные бумаги с фиксиро
ванной доходностью
. . . . . . . . 500
27.1. Введение
. . . . . . . . . . . 500
27.2. Облигации
Казначейства,
агентств и муниципалитетов . 501
27.3. Корпоративные облигации
. 504
27.4. Методы оценки стоимости
. 509
27.5. Дюрации ключевых ставок
. 517
Глава 28. Ценные бумаги, обеспечен
ные закладными. Введение
. . . . . 521
28.1. Введение
. . . . . . . . . . . 521
28.2. Банковская деятельность, свя
занная с закладными
. . . . 523
28.3. Агентства и процесс превращения
закладных в ценные бумаги
. 525
28.4. Ценные бумаги, обеспеченные
закладными
. . . . . . . . . 527
28.5. Программы
федеральных
агентств по ценным бумагам,
обеспеченным закладными
. 531
28.6. Предоплата
. . . . . . . . . 532
Глава 29. Анализ ценных бумаг, обес
печенных закладными . . . . . . . . 537
29.1. Анализ денежного потока
. . 537
29.2. Моделирование предоплаты по
закладным
. . . . . . . . . . 554
29.3. Дюрация и выпуклость
. . . 557
29.4. Методология оценки стоимости 560
Глава 30. Облигации,
обеспеченные
закладными . . . . . . . . . . . . . 567
30.1. Введение
. . . . . . . . . . . 567
30.2. Слои с плавающей ставкой
. 568
30.3. Облигации ЗПК
. . . . . . . 570
30.4. Облигации ЦПК . . . . . . . 575
30.5. Полосы ОЗЗ
. . . . . . . . . 575
30.6. Остатки
. . . . . . . . . . . 576
Часть VII. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ
Глава 31. Cовременная портфельная
теория
. . . . . . . . . . . . . . . 578
31.1. Анализ риска и доходности с
помощью среднего и дисперсии 578
31.2. Модель оценки стоимости фи
нансовых активов
. . . . . . 587
31.3. Факторные модели . . . . . . 594
31.4. Cтоимость под риском . . . . 598
Часть VIII. ДОПОЛНЕНИЕ
Глава 32. Программное обеспечение
608
32.1. Программирование в сети
. . 608
32.2. Использование программного
обеспечения на странице The
Capitals
. . . . . . . . . . . . 608
32.3. Другие темы
. . . . . . . . . 611
Глава 33. Решения к упражнениям и
заданиям по программированию . . . 613
Глава 34. Русские и английские со
кращения . . . . . . . . . . . . . . 696
34.1. Используемые русские сокра
щения и их английские экви
валенты
. . . . . . . . . . . 696
34.2. Используемые английские со
кращения
. . . . . . . . . . 698
Глава 35. Некоторые из основных по
нятий современной финансовой теории 700
Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

Предисловие
редактора перевода
Книга, которую Вы держите в руках, обязательно должна была появиться в ряду изданных в России монографий, посвященных финансовой
теории, математическим моделям и практическим аспектам расчета характеристик эффективности инвестиций в ценные бумаги на фондовых
рынках финансовой индустрии. Заметим, что, не имея непосредственного
отношения к материальному производству, финансовая индустрия в конечном итоге перераспределяет финансовые ресурсы инвесторов именно
в материальное производство. В определенном смысле, она является
и индикатором, и стимулятором развития экономики в целом. Поэтому
детальный анализ явлений, происходящих на финансовом рынке, имеет
и научную, и еще более актуальную прикладную значимость.
Цель инвесторов Ҹ получение дохода за предоставление финансовых
ресурсов. Однако на этом пути их ожидают и риски финансовых потерь:
они связаны с неопределенностью, порождаемой временной изменчивостью экономической ситуации, существенным образом влияющей на
ценообразование финансовых активов и на степень рискованности тех
или иных инструментов инвестирования. Для выбора пути уменьшения
риска при инвестиционном процессе в теории финансов рекомендуется использовать процедуры, разработанные на основе весьма тонких
и изысканных методов математики. Ознакомиться с этими рекомендациями можно, в основном, или по книгам, где изложение ведется на базе
математики высокого уровня, или по литературе описательного характера
с фрагментарным включением формульного аппарата. Удачных изданий,
являющихся своеобразным мостиком между двумя упомянутыми выше
тенденциями, явно недостаточно. Именно к такому типу изданий, в которых сложные математические факты и их интерпретация выводятся
максимально упрощенно, без использования усложненной символики
и необязательных абстрактных понятий, относится книга профессора
Ю-Дау Люу, известного специалиста в области финансов и информатики. В связи со второй специализацией автора заметим, что именно
уникальные достижения информационных технологий во многом предопределили интенсификацию и глобализацию операций на фондовом
рынке, привлечение на рынок гигантских финансовых средств. Естественно, что этот аспект нашел свое отражение в книге.
Книга профессора Люу является самодостаточной по финансовой
теории и практике функционирования фондовых рынков, а также по
математическому моделированию и статистическому анализу инструмен

Предисловие редактора перевода
9
тов фондового рынка, по компьютерной реализации этих инструментов.
Поэтому она может служить важным пособием для специалистов сферы
финансовой индустрии, имеющих базовое математическое или техническое образование, и способствовать достижению ими необходимого
высокого профессионального уровня. Финансовые менеджеры найдут
в данной книге своеобразный справочник по формированию портфеля ценных бумаг и необходимые сведения по форме постановки задач
для IT-специалистов при планировании подготовки сопровождающего
компьютерного продукта.
Как справедливо отмечает автор, данная книга окажется также полезной студентам, осваивающим теорию и практику оборота ценных бумаг.
Для меня же, как для преподавателя, книга профессора Люу ценна как
источник конкретных сведений о фондовом рынке, как авторитетный
учебник, к которому можно отсылать при чтении курсов по современной
финансовой теории, как весьма содержательный задачник по расчетам
характеристик инструментов рынка ценных бумаг.
Заглядывая в недалекое будущее с учетом развития информационных
технологий, обеспечивающих функционирование фондового рынка, легко предвидеть, что наряду с институциональными инвесторами вскоре на
нем появится значительная прослойка индивидуальных инвесторов. Для
многих из них присутствие на рынке ценных бумаг явится своеобразной
интеллектуальной игрой вне зависимости от конечного финансового результата. Игрой, будоражащей эмоции в не меньшей степени, чем все
любые другие игры, без которых человечество не может существовать.
Для таких инвесторов-индивидуалов данную книгу можно рекомендовать
как серьезное введение в теорию финансовой игры в Kценные бумагиL.
Предлагаемая вниманию читателя монография встречена за рубежом
с большим интересом. Уверен, что книга профессора Люу приобретет
такую же популярность и в России.
Е. В. Чепурин

В пямять любимых
Рэчел и Джошуа
Предисловие
[Книга] — это узел в сети.
Мишель Фуко (1926—1984),
Археология знания
На кого рассчитана книга
Как и предполагает название этой книги, современная кни
га по финансовой технологии должна включать в себя в равной мере
как теорию капиталовложений, финансовую математику, так и компью
терные науки. Причем этот междисциплинарный расклад приспособлен
больше к тем рынкам капитала, где используется количественный ана
лиз. В конце концов, даже экономика заметно отошла от того времени,
когда «основная часть потенциальных читателей (Альфреда Маршалла)
были не только неспособны, но и не желали читать экономику в ма
тематической форме», в соответствии с высказыванием Винера (1892—
1970) [860], и перешла к новым стандартам, о которых Марковиц писал
в 1987 г.: «более половины моих студентов не могут записать формальное
определение (предела последовательности)» [642].
Этот материал написан главным образом для студентов, получающих ин
женерное и естественнонаучное образование, которые желают изучать количе
ственную сторону финансов в связи с учебным процессом или в связи с же
ланием стать профессионалами в этой области. Никаких предварительных
знаний по финансам не требуется. Годы работы со студентами в области бизнеса
убедили меня в том, что ориентированные на MBA*) студенты получат
пользу от акцента книги на вычисления. Ну а при обширной библиографии
книга сможет служить и справочным пособием для научных работников.
Этот текст предназначен также и для практиков. Системные ана
литики найдут здесь много компактных и полезных алгоритмов. Управ
ляющие портфелями ценных бумаг и брокеры смогут познакомиться
с количественными инновациями, полезными в их повседневной де
ятельности. При построении новых финансовых инструментов данная
книга послужит и финансовым инженерам тем, что в ней дается объяс
нение базовым принципам и вычислительным подходам, используемым
при оценке стоимости этих инструментов.
Рынок уже предложил несколько великолепных книг по производным
ценным бумагам ([236, 470, 514, 746, 878]), финансовой технологии ([369,
646, 647]), финансовой теории ([290, 492]), эконометрике ([147]), числен
ным методам ([62, 215]) и финансовой математике ([59, 575, 692, 725]).
Однако существует не много книг, в которых делается попытка объединить
*) MBA  Master of Business Administration — магистр экономики управления. — Прим. ред.