Кинетические квантовые процессы в полупроводниковых материалах

 
 
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное  
образовательное учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
Инженерно-технологическая академия 
 
 
 
 
И. В. МАЛЫШЕВ    
Н. В. ПАРШИНА 
 
КИНЕТИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ПРОЦЕССЫ 
В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛАХ 
 
 
Учебник 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону – Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2024 

 
 
УДК 537.8 (075.8) + 621.372.8 (075.8) 
ББК 22.336я73 
         М207 
 
Печатается по решению кафедры радиотехнической электроники и  
наноэлектроники Института нанотехнологий, электроники и  
приборостроения Южного федерального университета  
(протокол № 1 от 14 мая 2024 г.) 
 
Рецензенты: 
кандидат технических наук, начальник НТЦ АО «Калугаприбор»  
И. В. Бессонов 
кандидат технических наук, доцент кафедры нанотехнологий и  
микросистемной техники Института нанотехнологий, электроники и  
приборостроения С. П. Авдеев 
 
Малышев, И. В. 
М207      Кинетические квантовые процессы в полупроводниковых материалах : учебник / И. В. Малышев, Н. В. Паршина ; Южный федеральный 
университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2024. – 184 с. 
ISBN 978-5-9275-4855-2        
В учебнике изложен теоретический материал, посвященный фундаментальным квантовым процессам, которые определяют электрические и оптические 
свойства полупроводников. 
Пособие предназначено для курсов, изучаемых в бакалаврских направлениях 
подготовки 11.00.00 «Электроника, радиотехника и системы связи», но может быть 
использовано и для обучающихся на других направлениях.  
 
УДК 537.8 (075.8) + 621.372.8 (075.8) 
ББК 22.336я73 
ISBN 978-5-9275-4855-2   
© Южный федеральный университет, 2024 
© Малышев И. В., Паршина Н. В., 2024 
© Оформление. Макет. Издательство 
    Южного федерального университета, 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 5 
1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ЗОННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ            
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КРИСТАЛЛОВ ..................................................... 6 
1.1. Энергетические уровни и зонные структуры в полупроводниках ........... 6 
1.2. Электронная и дырочная составляющие проводимости в                 
структурах решёток полупроводников и квантово-механические 
статистические состояния в их объёмах .......................................................... 10 
1.3. Базовое обобщенное уравнение непрерывности ..................................... 24 
1.4. Основные понятия о структурах и параметрах кристаллических                 
решеток твердых тел .......................................................................................... 26 
1.4.1. Параметры кристаллов твёрдых тел ...................................................... 26 
1.4.2. Основные понятия о кристаллических плоскостях .............................. 31 
2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИЕ                    
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЧАСТИЦ В ОБЪЁМАХ  
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУР ......................................................... 35 
2.1. Энергетические процессы в объёме полупроводника ............................. 35 
2.2. Функции Блоха в кристаллических решетках .......................................... 39 
2.3. Особенности зонной структуры кристаллической решетки ................... 41 
2.4. Энергетические щели (запрещённые зоны) в кристаллах ...................... 48 
2.5. Спин-орбитальное взаимодействие и характеристики волновых 
функций ............................................................................................................... 51 
2.6. Структуры зонных характеристик полупроводников и их                           
зависимости от химической природы. Понятие эффективной массы  
и её роли в кинетических процессах ................................................................ 54 
2.7. Температурные зависимости ширины запрещённой зоны в                        
различных полупроводниках ............................................................................ 70 
2.8. Деформации зонных структур полупроводников под влиянием  
внешних механический воздействий ............................................................... 74 

Оглавление 
4 
3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ И ОСЦИЛЛЯЦИИ                                                 
В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КРИСТАЛЛАХ .............................................. 81 
3.1. Эффективная масса и квазиимпульс как основные параметры  
описания кинетических эффектов в полупроводниках ................................. 81 
3.2. Квантовые осцилляции Зинера – Блоха ................................................... 87 
3.3. Эффекты квантования. Уровни Ландау ................................................... 92 
3.4. Причины и разновидности электронных осцилляций ............................ 97 
3.5. Понятие о полупроводниковых экситонах .............................................. 99 
3.6. Примесные квантово-механические эффекты и состояния                     
в полупроводниках .......................................................................................... 101 
3.7. Изовалентные и изоэлектронные примеси и их энергетические                  
состояния ........................................................................................................... 110 
3.8. Примеси с глубокими уровнями влияния ............................................... 112 
4. ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕССЫ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ  
В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КРИСТАЛЛАХ ............................................ 124 
4.1. Рассеяние энергии носителей на решёточных колебаниях .................. 124 
4.2. Законы сохранения энергии и импульса в полупроводниках                     
с различными формами энергетических зон ................................................ 130 
4.3. Акустические фононы и процессы электронного рассеяния ............... 139 
4.4. Оптические фононы и процессы рассеяния на них .............................. 151 
4.5. Полярное рассеяние в высокоподвижных полупроводниках ............... 159 
4.6. Рассеяние пьезоэлектрического типа ..................................................... 166 
4.7. Влияние процессов рассеяния на изменение эффективной массы                
и подвижности электронов ............................................................................. 173 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................... 181 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................ 182 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
Данный учебник представляет собой теоретический материал курса, посвященного изучению фундаментальных квантовых процессов, определяющих основные электрические и оптические свойства полупроводников. Изложенный материал может использоваться как пособие, предназначенное 
для инженерного образования как студентов направления подготовки «Электроника и наноэлектроника» и других, так и аспирантам, специализирующимся в области экспериментальной физики полупроводников. 
Методически материал построен на последовательных переходах от рассмотрения принципиальных особенностей физических явлений на простых 
общепринятых моделях к анализу результатов для конкретных материалов в 
различных условиях.  
Книга разбита на 4 главы, посвящённых как основам кристаллографического представления решеток структур полупроводников и их энергетическим параметрам, так и базовым вопросам кинетических взаимодействий частиц в объёмах структур с рассмотрением процессов энергетических рассеяний при наличии и отсутствии излучений. 
Учебник представляет интерес также для широкого круга специалистов, 
работающих в области полупроводниковой электроники. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ЗОННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ            
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КРИСТАЛЛОВ 
1.1. Энергетические уровни и зонные структуры в полупроводниках 
Из курса общей физики известно, что собственные уровни энергии для 
электронов, согласно Боровских соотношений, в отдельном атоме имеют известные дискретные параметры, известные как константы. Твердотельный 
полупроводник представим в виде структуры отдельных атомов, следовательно, химическую связь между ними можно рассматривать как связь, присущую аналогу кристаллической решетки. При этом возникает некое вырождение электронного газа, которое может быть исключено, если энергетическое поле или ядер, или некоторых атомов полупроводников может быть рассмотрено как возмущение, приводящее к исключению упомянутого вырождения структуры. 
Данные дискретно размещённых моноэлектрических уровней в атомах, 
составляющих общую энергетическую диаграмму твердого тела полупроводника, также обладают свойством расщепления (разбиения) на ряд энергетических «подзон», т.е. также обладают непостоянством. Квантовые уравнения, которые решаются в приближении сильной или слабой связи, может 
дать качественно одну и ту же картину для энергетических зонных структур 
твердотельных полупроводниковых кристаллов. Следовательно, в объёмном 
кристалле полупроводника энергетическое зонное распределение имеет характер квазинепрерывного распределения [1]. Эти объёмные решетки будут рассмотрены далее для объяснения их проводящих свойств. 
Известно, что нижняя и верхняя и разрешенные энергетические зоны, 
между которыми расположена запрещенная зона, определяют электронные 
свойства твердотельных полупроводников. Можно дать основное определение металла, которое в корне определяет его от полупроводника − это когда 
между этими двумя основными зонами отсутствует энергетическая щель или 
запрещенная зона. Кристаллическое твёрдое тело с такой зонной конфигурацией зон является металлом с хаотически сформированным электронным 
газом. Если величина этой энергетической щели между основными зонами 
верхней (зона проводимости) (ЗП) и нижней (валентная зона) (ВЗ), т. е. запрещенная зона, имеет значение больше 3 эВ, то твердые тела с такой конфигурацией определяются как диэлектрики. Если же ширина запрещенной 

1.1. Энергетические уровни и зонные структуры в полупроводниках  
7 
зоны занимает величину от 0,1 до 0,3 эВ, то тело относится к классу полупроводников. 
Атомы, входящие в состав твердого тела, и конфигурации электронных 
орбит совместно с валентной зоной могут сформировать тот или иной тип 
кристаллической решетки, что, очевидно, будет определять структуру энергетических зон всего полупроводника. Вышесказанное можно обобщить тем 
положением, что в твердотельных полупроводниках определяются три основные зоны: верхняя − зона проводимости, которая обычно заполнена не 
полностью; нижняя, следующая за ней энергетическая зона (валентная зона), 
полностью заполненная для полупроводников собственного типа. Она же является источником валентных вакансий (дырок). А энергетический зазор 
(щель) в образованных состояниях между этими зонами, называется «запрещенной зоной», т.е. зона, свободная от электронов или дырок, но через которую они могут перемещаться (посередине этой зоны расположен уровень 
Ферми, вероятность нахождения среднестатистического электрона на нем 
соответствует 50 %). В литературе на зонных диаграммах дно зоны проводимости (ЗП) обозначается как уровень EC, местоположение верхней части валентной зоны (ВЗ) – EV, а запрещённой зоны (ЗЗ) – Eg [1]. 
Важно отметить, что степень удельной проводимости полупроводников 
будет меняться обратно пропорционально ширине данной запрещённой 
зоны. Отсюда следует одно из известных классификационных определений 
полупроводников как веществ, у которых электропроводность при комнатной температуре лежит в диапазоне 10-8–106 1/(Ом·см). Этот основной параметр – электропроводность (электрическая проводимость) s – зависит в основном как от концентрации, вида и структуры атомов примеси («легатуры»), так и параметров внешних условий: освещением внешними источниками, температуры, магнитными и электрическими полями, радиационными воздействиями и т. д [2].  
Поскольку в диэлектриках ширина запрещённой зоны (ЗЗ) Eg превышает величину 3 эВ, то соответственно и значение удельной электропроводности s будет очень малым 10-8 1/( Ом·см) (у них удельное сопротивление  
ρ = 1/σ будет больше 108 Ом·см). В случае металлов, обладающих мобильным «электронным газом», сконцентрированным в верхней части зоны  
проводимости, удельная проводимость σ будет превышать значение  
106 1/( Ом·см). 

1. Физические свойства и зонные представления полупроводниковых кристаллов 
8 
В качестве примера рассмотрим расположение энергетических уровней 
у атома кремния (Si) (рис. 1.1). На второй (правой) части рисунка приведен 
пример «расщепления» энергетических зон при сближении атомов кремния 
с образованием монокристаллической решётки типа алмаза.                                    
 
Рис. 1.1. Расположение дискретных энергетических уровней в атоме кремния (Si) [1] 
Различают следующую классификационную терминологию в теории полупроводников и их соединений:  
1) полупроводники, в которых отсутствуют акцепторные или донорные 
примеси, называются собственными (i) полупроводниками;  
2) концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике  
(ni) – это концентрация электронов (n) в зоне проводимости и дырок (p) в 
валентной зоне (при этом n = p = ni.). В температурном диапазоне собственного полупроводника: при Т = 0 свободные носители отсутствуют (n = p = 0), 
а при Т > 0  часть электронов перемещаются из валентной зоны в зону проводимости. Электроны и дырки при этом свободно перемещаются по соответствующим энергетическим зонам;  
3) дырки (вакансии) представляют собой представления обобщённого 
движения большой совокупности электронов в валентной зоне, которая  
заполнена не полностью. Поэтому если электрон определяется основной  

1.1. Энергетические уровни и зонные структуры в полупроводниках  
9 
несущей заряд частицей, то дырка определяется как квазичастица, что также 
можно интерпретировать следующим образом: электрон может быть инжектирован (извлечен) из металла или полупроводника наружу (в верхние 
уровни зоны проводимости), что достижимо, например, в виде результата 
фотоэффекта или перемещения электрона на другой энергетический уровень 
посредством другого воздействия, то дырка может наличествовать (существовать) только внутри соответствующих энергетических уровней полупроводника.  
4) легирование полупроводника – процесс введения примесных атомов 
в кристаллическую структуру рабочего полупроводника. Можно проиллюстрировать это на примере Si или Ge (4-я группа) введением атомов элемента 
3-й группы таблицы Менделеева. В этом случае получится полупроводник 
акцепторного типа p-типа дырочной проводимости с избыточной концентрацией дырок (рис 1.2, б). На левом рис 1.2, а приведён пример легирования 
этих же элементов примесными элементами 5-й группы (избыточные электроны), что дает полупроводники n-типа [2]. 
 
Рис. 1.2. Эскизы энергетических схем легированных полупроводников: 
а – n-типа; б − р -типа 
5) понятия эффективных масс электронов и дырок (mn* и mp*), которые 
вводятся для применения классических представлений механики для использования описания движения электронов и дырок в полупроводниках. 
Для понятий квантовой механики или электронно-дырочного описания уравнений кинетических процессов в таких структурах вместо массы свободного 
электрона или электрона в вакууме m0 в эти уравнения подставлять эффективную массу электрона mn*, т.е.  (p = mn*·υ). Таким образом, параметр  

1. Физические свойства и зонные представления полупроводниковых кристаллов 
10 
эффективной массы электрона (дырки), являясь постоянной величиной 
только для зоны проводимости при комнатной температуре, учитывает влияние переменного потенциала атомов в кристалле полупроводника на движение электронов и дырок и определяется уравнениями   дисперсии.
1.2. Электронная и дырочная составляющие проводимости  
в структурах решёток полупроводников и квантово-механические              
статистические состояния в их объёмах 
Статистическое распределение квантовых состояний в энергетических 
зонах полупроводников.  Среди основополагающих соотношений квантовой 
механики лежит принцип неопределенности Гейзенберга, который применим, прежде всего, для идеальных кристаллов, стационарное состояние электронов которых определяется двумя основными параметрами: квазиимпульсом p и эффективной массой носителя заряда. Этот принцип заключается  
в том, что для спроецированных на декартовые орты X-Y-Z квазиимпульсы 
dpx , dpy, dpz  существует ряд вероятностных неравенств:  
    𝑑𝑥⋅𝑑𝑝! ≥ℎ,  𝑑𝑦⋅𝑑𝑝" ≥ℎ,  𝑑𝑧⋅𝑑𝑝# ≥ℎ. 
 
(1.1) 
Для элементарного объёма dV можно, после умножения правых и левых 
частей (1.1), получить с учётом dp = dpx·dpy·dpz (элементарный квазиимпульсный объём внутри зоны Бриллюэна) и dV = dx·dy·dz: 
                       𝑑𝑝⋅𝑑𝑉≥ℎ$.                                          (1.2) 
Можно использовать расчёты концентрации носителей не только в бесконечно малых объёмах 𝑑𝑉 и последующим интегрированием. Например, 
можно для такого расчёта в единичном объеме 𝑑𝑉= 1 см3 из (1.2) получить 
неравенство dp ≥ h3 , что свидетельствует о том, что внутри объёма квазиимпульса dp = h3 имеется одно квантовое состояние внутри зоны Бриллюэна. 
Этот объём h3 представляет собой объёмную ячейку зоны Бриллюэна. В ней 
могут существовать два электрона с противоположными спинами (принцип 
Паули), откуда можно рассчитать, что в элементе объёма dp зоны Бриллюэна 
число квантовых состояний на единицу этого объёма равно dp/h3, что составляет число «квазиячеек» в квазиимпульсном объёме dp. Заполнение электронами пространства зоны проводимости (рис. 1.3, а) производится с его  
нижних уровней, а заполнение трёхмерного пространства квазиимпульсов 
зоны Бриллюэна начинается с квазиимпульсов, имеющих наименьшие