Математический анализ. Функции нескольких переменных. Интегралы. Практикум

Функции нескольких переменных
Интегралы
Практикум
Л. А.  Альсевич   С. Г.  Красовский   Н. Я. Радыно
Допущено
Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия
для студентов учреждений высшего образования
по математическим, физическим
и экономическим специальностям
Математический анализ
Минск
«Адукацыя i выхаванне»
2025

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
A57
Р е ц е н з е н т ы : кафедра математического анализа, дифференциальных
уравнений и алгебры учреждения образования ¾Гродненский государственный университет имени Янки Купалы¿ (заведующий кафедрой  доктор
физико-математических наук, профессор А. А. Гринь, рецензент  доктор
физико-математических наук, профессор И. П. Мартынов); профессор кафедры высшей математики учреждения образования ¾Белорусский государственный экономический университет¿ доктор физико-математических
наук, профессор А. И. Астровский
Альсевич, Л.А.
А57
Математический анализ : функции нескольких переменных. Интегралы : практикум : учебное пособие / Л. А. Альсевич,
С. Г. Красовский, Н. Я. Радыно.  Минск : Адукацыя i выхаванне,
2025.  407 с. : ил.
ISBN 978-985-599-990-5.
Содержатся основные теоретические сведения о функциях нескольких
переменных, их непрерывности, дифференцируемости; кратных, криволинейных и поверхностных интегралах. В приложениях приведены эйлеровы
интегралы (бета- и гамма-функции), а также подробно изложена тема ¾Замена переменных в дифференциальных выражениях¿.
Предложены основные приемы решения типовых задач, которые иллюстрируются подробно разобранными примерами. Представлено большое количество упражнений для самоконтроля, снабженных ответами. Приведены
задачи для индивидуальных и контрольных заданий.
Для студентов учреждений высшего образования по математическим,
физическим и экономическим специальностям. Может быть полезно преподавателям, аспирантам, магистрантам и студентам естественнонаучных специальностей, а также иностранным студентам, изучающим курс высшей математики. Возможно использование пособия при дистанционном обучении.
УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
ISBN 978-985-599-990-5
© Альсевич Л.А., Красовский С.Г., Радыно Н.Я., 2025
© Оформление. Республиканское унитарное предприятие ¾Издательство Адукацыя i выхаванне¿, 2025

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N  множество натуральных чисел.
Z  множество целых чисел.
R  множество действительных чисел.
[a; b], (a; b)  отрезок, интервал с концами a и b.
|a; b|  промежуток с концами a и b (здесь может подразумеваться отрезок, интервал или один из полуинтервалов [a; b)
или (a; b]).
⃗i, ⃗j, ⃗k  единичные векторы направляющих осей декартовой
прямоугольной системы координат Oxyz.
∀ квантор всеобщности (∀x ∈A  для всех x из множества
A; ∀x ∈R, x ̸= 0,  для любых действительных x, не равных
нулю).
∃ квантор существования (∃y ∈A  существует y, принадлежащее множеству A; ∃y, y>1,  найдется y, большее 1).
≡ равно по определению (синоним def
=) или тождественно
равно.
:=  положим равным.
=:  обозначим через.
⇒,
⇐ знаки логического следования.
⇔ знак равносильности.
P, P
k
 сигма, знак суммирования:
nP
k=1
ak = a1 + a2 + . . .
. . . + an; k  индекс суммирования. Значение суммы не зависит
от того, какой буквой обозначают индекс суммирования:
n
X
k=1
ak =
n
X
j=1
aj =
n
X
s=1
as =
n−1
X
k=0
ak+1.
f : X →Y  функция f, заданная на множестве X со
значениями во множестве Y.
бмф  бесконечно малая функция.
3

| · |  модуль; |a| =
(
a,
a ⩾0,
−a,
a < 0.
ln(x), ln x  натуральный логарифм; ln x = loge x.
e  основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828.
дл. AB  длина отрезка AB или кривой AB.
пл. S  площадь поверхности S или плоской фигуры S.
об. T  объем тела T.
lim
(x;y)→(x0;y0) f(x, y),
lim
M→M0 f(M),
lim
x→x0
y→y0
f(x, y)  двойной предел функции двух переменных.
∂f
∂x, f′
x, Dxf  частная производная функции f нескольких
переменных по переменной x.
∂f
∂l (M0)  производная по направлению l в точке M0.
dF
d⃗x , F ′(x1, . . ., xn)  матрица Якоби отображения F.
Z
f(x) dx  неопределенный интеграл (совокупность всех
первообразных для функции f(x) на рассматриваемом числовом промежутке).
b
Z
a
f(x) dx  определенный интеграл Римана от функции f
по отрезку [a; b], где число a  нижний, а b  верхний предел
интегрирования.
ZZ
D
f(x, y) dx dy  двойной интеграл (2И) от функции f по
множеству D ⊂R2.
ZZZ
T
f(x, y, z) dx dy dz  тройной интеграл (3И) от функции
f по множеству T ⊂R3.
4

Z
AB
f(x, y) ds,
Z
AB
f(x, y, z) ds  криволинейный интеграл первого рода (КРИ-1) от функции f по пути AB.
Z
AB
P(x, y) dx,
Z
AB
Q(x, y) dy или
Z
AB
R(x, y, z) dz  криволинейный интеграл второго рода (КРИ-2) от функции f по пути
AB.I
l
f(x, y) ds или
I
l
P(x, y) dx + Q(x, y) dy  криволинейный
интеграл первого или второго рода соответственно по замкнутому контуру l.
ZZ
S
f(x, y, z) dS  поверхностный интеграл первого рода
(ПОВИ-1) от функции f по поверхности S.
ZZ
S
P(x, y, z) dy dz,
ZZ
S
Q(x, y, z) dx dz,
ZZ
S
R(x, y, z) dx dy 
поверхностный интеграл второго рода (ПОВИ-2) от функции f
по поверхности S.
=
h
. . .
i
=  прерывание математических вычислений, в
скобках указываются логические пояснения, формулы или свойства, используемые для дальнейших действий.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В пособии рассматриваются классические понятия математического анализа: функции нескольких переменных, их непрерывность, дифференцируемость; кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Данное учебное пособие по структуре построено так же, как и
учебное пособие Альсевич Л.А., Красовский С.Г. ¾Математический анализ. Последовательности, функции, интегралы. Практикум¿ (Минск: Вышэйшая школа, 2021). Цель пособия  помочь студентам в освоении указанных понятий математического
анализа, а главное  научить их использовать полученные знания при исследовании задач разного типа. Например, найти наибольшее и наименьшее значения функции, установить скорость
изменения функции в заданном направлении и направление наибольшего изменения функции, вычислить поток векторного поля
через заданную поверхность, циркуляцию векторного поля и др.
В пособии даются необходимые определения, приводятся теоретические положения, отмечаются основные свойства рассматриваемых объектов. Все это иллюстрируется подробным решением типовых задач и примеров. Для усвоения и закрепления
пройденного материала предлагается значительное количество
упражнений, снабженных ответами, что даст возможность быстро составить любые варианты контрольных заданий с учетом
специальности и уровня подготовки студентов.
В приложениях приведены эйлеровы интегралы (бета- и гамма-функции), использование которых упрощает и ускоряет вычисление некоторых интегралов, а также подробно изложена
тема ¾Замена переменных в дифференциальных выражениях¿.
Данное пособие написано исходя из личного опыта авторов проведения занятий по математическому анализу на факультете
прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета.
6

Настоящее пособие будет весьма полезно иностранным студентам как при изучении математики, так и при изучении русского языка.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам 
профессору А.И. Астровскому, профессору И.П. Мартынову и
профессору А.А. Гриню за внимательное прочтение рукописи и
ценные советы, позволившие улучшить пособие, а также сотрудникам кафедры высшей математики Белорусского государственного университета.
По написанию данного учебного пособия была проделана
огромная предварительная работа авторами совместно с доцентами Нилом Федоровичем Наумовичем и Адольфом Федоровичем Наумовичем, безвременно ушедшими из жизни. Авторы выражают им особую признательность.
Авторы

ГЛАВА 1. ФУНКЦИЯ ДВУХ
ПЕРЕМЕННЫХ
1.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В R2
Рассмотрим множество R2 упорядоченных пар (x; y) действительных чисел. Элементы множества R2 называются точками плоскости Oxy.
Расстояние между точками M1 = (x1; y1) и M2 = (x2; y2) из
R2 определяется по формуле
ρ(M1, M2) =
p
(x1 −x2)2 + (y1 −y2)2.
Если каждому натуральному числу (номеру) n поставлен в
соответствие некоторый элемент Mn ∈R2, Mn = (xn; yn), то
говорят, что в R2 задана последовательность M1 = (x1; y1),
M2 = (x2; y2), . . . , Mn = (xn; yn), . . .
Последовательность (Mn) называется сходящейся, если существует точка B(a; b) такая, что
∀ε > 0,
∃ν(ε) > 0,
∀n ∈N :
n ⩾ν(ε) ⇒ρ(Mn, B) ⩽ε,
где ρ(Mn, B) =
p
(xn −a)2 + (yn −b)2.
Точку B(a; b) называют пределом последовательности (Mn)
и пишут
lim
n→∞Mn = B или Mn −→
n→∞B.
Геометрически запись
lim
n→∞Mn = B означает, что какую бы
ε-окрестность точки B ни взять, все члены последовательности,
за исключением, быть может, конечного числа, попадут в эту εокрестность.
Точка M  предельная для множества E ⊂R2 тогда и только тогда, когда существует последовательность (Mn) различных
точек из E, сходящаяся к M. В любой окрестности предельной
точки содержится, по крайней мере, одна точка данного множества, отличная от нее самой.
8

Теорема 1.1. Последовательность (Mn) = ((xn; yn)), Mn ∈
∈R2, сходится к точке B(a; b) ∈R2 тогда и только тогда,
когда числовые последовательности xn и yn сходятся соответственно к числам a и b.
Пример 1.1. Найти предел последовательности (Mn) =
= ((xn; yn)), если
xn = 2n3 −3n + 2
n3 + 1
,
yn = n(
p
4n2 + 1 −2n).
Р е ш е н и е. Найдем отдельно
lim
n→∞xn и
lim
n→∞yn :
lim
n→∞xn = lim
n→∞
2n3 −3n + 2
n3 + 1
=
=
h
2n3 −3n + 2 ∼
n→∞2n3,
n3 + 1 ∼
n→∞n3i
= lim
n→∞
2n3
n3 = 2,
lim
n→∞yn = lim
n→∞n(
p
4n2 + 1 −2n) =
=
p
4n2 + 1 −2n = 4n2 + 1 −4n2
√
4n2 + 1 + 2n
=
1
√
4n2 + 1 + 2n
∼
n→∞
1
4n

=
= lim
n→∞n · 1
4n = 1
4.
Следовательно,
lim
n→∞(xn; yn) = (2; 1/4).
Отметим,
что
запись
Mn −→
n→∞B
равносильна
записи
(xn; yn) −→
n→∞(a; b).
Пример 1.2. Найти предел последовательности
 
n + 1
√
n2 + 1
;
n√
3 −1
n√
9 −1
!
при
n →∞.
Р е ш е н и е.
lim
n→∞
n + 1
√
n2+1
=
∞
∞

=
h
n+1 ∼
n→∞n,
p
n2 + 1 ∼
n→∞n
i
= lim
n→∞
n
n =1,
9

lim
n→∞
n√
3 −1
n√
9 −1 =
0
0

=
h
n√
9−1 = (
n√
3)2−1 = (
n√
3−1)(
n√
3+1)
i
=
= lim
n→∞
n√
3 −1
(
n√
3 −1)(
n√
3 + 1) = 1
2.
Следовательно,
lim
n→∞(xn; yn) = (1; 1/2).
1.2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ
ПЕРЕМЕННЫХ. МНОЖЕСТВО ЗАДАНИЯ
Функция f : E →R,
E ⊂R2, называется функцией двух
переменных (Ф2П) и обозначается z = f(x, y) или z = f(M).
Множество E ⊂R2 называется множеством задания функции. Графиком функции двух переменных z = f(x, y) называется множество точек пространства Oxyz с координатами
(x, y, f(x, y)), (x, y) ∈E, т. е.
Γf = {(x, y, z) : (x, y) ∈E,
z = f(x, y)}.
Отметим, что функция двух переменных z = f(x, y) может
быть задана соотношением F(x, y, z) = 0, где F(x, y, f(x, y)) ≡
≡0. В этом случае говорят, что функция z = f(x, y) задана
неявно.
Пример 1.3. Найти множество задания функции
z =
p
4 −x2 −y2.
Р е ш е н и е. Поскольку неравенство 4−x2−y2 ⩾0 равносильно неравенству x2 + y2 ⩽4, то множеством задания функции
является круг радиуса 2 с центром в точке O(0; 0).
Пример 1.4. Определить и изобразить множество задания
функции
z =
1
p
4 −x2 −y2 .
Р е ш е н и е. Так как в данном случае 4 −x2 −y2 > 0, т. е.
x2 + y2 < 4, то множеством задания функции является круг
радиуса 2 с центром в точке O(0; 0) без границы (рис. 1.1).
10