Краткий курс лекций по математике для специальности 40.05.03 Судебная экспертиза. Часть II

 
 
МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ 
ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И 
ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ 
 
ФГБОУ ВО СИБИРСКАЯ ПОЖАРНО-СПАСАТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ 
ГПС МЧС РОССИИ 
 
 
 
 
 
Двойцова И.Н. 
 
 
 
 
Краткий курс лекций по математике  
для специальности 40.05.03 Судебная экспертиза 
Часть II 
Учебное пособие  
 
 
Допущено Ученым советом ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная 
академия ГПС МЧС России в качестве учебного пособия 
для обучаю щихся по специальности 40.05.03 Судебная экспертиза 
 
 
 
 
 
 
 
Железногорск 
2025 
 

 
 
УДК 512.64, 514.11 
ББК 22.143, 22.151.0 
Д24 
 
 
 
Составитель: Двойцова Ирина Николаевна, канд. с-х. наук, доцент. 
 
 
 
Рецензенты: Трофимец Елена Николаевна, канд. пед. наук, доцент 
(ФГБОУ ВО Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России) 
 
Герасимова Марина Михайловна, канд. техн. наук, доцент 
(ФГБОУ ВО Сибирский государственный университет науки и технологий 
имени академика М.Ф. Решетнева, филиал в г. Лесосибирке) 
 
 
 
Двойцова, И.Н. Краткий курс лекций по математике для специальности 
40.05.03 Судебная экспертиза. Часть II [Текст]: учебное пособие / И.Н. 
Двойцова – Железногорск: ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная 
академия ГПС МЧС России, 2025. – 152 с.: ил. 
 
 
Учебное пособие предназначено для обучающихся по специальности 
40.05.03 
Судебная 
экспертиза 
и 
может 
быть 
использовано 
для 
самостоятельного изучения дисциплины.   
Данное издание представляет собой краткий курс лекций по разделам 
«Введение в математический анализ», «Интегральное исчисление функции 
одной переменной» с примерами задач, а также контрольными вопросами 
для самостоятельной работы слушателей очной формы обучения при 
изучении учебной дисциплины «Математика». 
 
 
 
 
УДК 512.64, 514.11 
ББК 22.143, 22.151.0 
Д24 
 
  
 
© ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2025 
© Двойцова И.Н., 2025 
 

 
 
Оглавление:  
 
Введение……………………………………………………………………... 
Тема 8. Предел и непрерывность функций …………………………….… 
8.1 Понятие функции и способов ее задания………………..………….. 
8.2 Функция натурального аргумента…………….……………..……… 
8.3 Предел функции натурального аргумента…..……………………… 
8.4 Определение предела функции…………………………..………….. 
8.5 Понятие односторонних пределов…..……………………………… 
8.6 Определение непрерывности функции и типы разрывов функци... 
Тема 9. Производная и дифференциал ……………………...…………….. 
9.1. Определение, геометрический и физический смысл производной. 
9.2. Производные основных элементарных функций. Правила 
дифференцирования…………………..………………………………….. 
9.3 Определение и геометрический смысл дифференциала…...…..….. 
9.4 Производные и дифференциалы высших порядков. Формула 
Лейбница………………………………………………………………….. 
9.5 Применение дифференциального исчисления к исследованию 
функций…………………………………………………………………… 
Тема 10. Исследование функций с помощью производных…………...… 
10.1 Условия постоянства и монотонности функции………………….. 
10.2 Понятие экстремума. Критерии экстремума……………………… 
10.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке………. 
10.4 Исследование функции на выпуклость и вогнутость…….………. 
10.5 Асимптоты графика функции……………………..……………….. 
10.6 Общая схема исследования функций…………...…………………. 
Тема 11. Неопределенный интеграл, основные методы интегрирования. 
11.1 Первообразная и неопределенный интеграл……..…………….…. 
11.2 Метод замены переменной……………………...………………….. 
11.3 Метод интегрирования по частям…………………...…………….. 
Тема 12. Техника интегрирования ……………………................................ 
12.1 Интегрирование рациональных дробей………………………….... 
12.2 Интегрирование простейших иррациональных функций…..……. 
12.3 Интегрирование тригонометрических функций…………..……… 
12.4 Тригонометрические подстановки………………………………… 
Тема 13. Определенные интегралы ……………………………..………… 
13.1 Основные определения ………………………………..…………… 
13.2 Свойства определенного интеграла…………………..…………… 
13.3 Методы вычисления определенного интеграла……...…………… 
Тема 14. Приложения определенного интеграла……………...………….. 
14.2 Геометрические приложения определенного интеграла……..…... 
14.2 Физические приложения определенного интеграла………..…….. 
 
……4
....…5 
……5 
…..10 
…..12 
…..13 
…..21 
…..24 
…..29 
…..30 
 
…..33 
…..38 
 
…..41 
 
….43 
…..57 
…..57 
…..59 
…..62 
…..63 
…..64 
…..65 
…..71 
…..71 
…..72 
…..74 
…..75 
…..75 
…..82 
…..86 
…..90 
…..92 
…..92 
…..94 
…..96 
…..98 
......98 
....113 
 

 
 
14.3 Приложения определенного интеграла к термодинамическому 
анализу физико-химических систем...……………………….…………. 
Тема 15. Обыкновенные дифференциальные уравнения I порядка…...… 
15.1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений..…..… 
15.2 Дифференциальные уравнения 1 порядка…………...……………. 
15.3 Задача Коши…………………………………………..………….…. 
15.4 Классификация дифференциальных уравнений 1 порядка…..….. 
Тема 16. Обыкновенные  дифференциальные  уравнения  высших 
порядков………………..…………………………….……………………… 
16.1 Основные понятия…………………………..……………..……..…. 
16.2 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие 
понижение порядка………………………………………………………. 
Список литературы……………………………….………………………… 
 
....116 
…132 
…132 
…133 
…134 
…136 
 
...146 
....146 
 
…147 
…151 

Введение 
 
Настоящий краткий курс лекций предназначен в помощь студентам 
специальности 40.05.03 «Судебная экспертиза» очной формы обучения при 
изучении дисциплины «Математика», а также курсантам и студентам, 
обучающимся по специальности 20.05.01 «Пожарная безопасность» и 
направлению 20.03.01 «Техносферная безопасность» в ФГБОУ ВО «Сибирская 
пожарно-спасательная академия» ГПС МЧС России при изучении разделов 
«Введение в математический анализ», «Интегральное исчисление функции 
одной переменной», «Дифференциальные уравнения». Основную часть 
сборника составляют лекционный материал, примеры решения типовых задач 
и контрольные вопросы по темам.  
Цель данного учебного пособия состоит в том, чтобы способствовать 
лучшему усвоению теории, развитию математического и логического 
мышления у обучающихся, привитию им навыков самостоятельной работы. 
Математический анализ - один из ключевых разделов математики. Его 
методы находят широкое применение в других разделах математики, в 
естественных и некоторых гуманитарных науках, а также в технике. Он 
позволяет решать широкий спектр задач, от простых вычислений до сложного 
моделирования и оптимизации, формировать и изучать математические модели 
реального мира. 
В основу математического анализа положено дифференциальное 
исчисление, базовой задачей которого является изучение связей величин, 
записываемых в виде функций. Дифференциальное исчисление дает 
естествознанию возможность изображать математически не только состояния, 
но и процессы, используя понятия производной и дифференциала. 
Интегральное исчисление, как раздел математического анализа, тесно 
связано с дифференциальным исчислением, изучает интегралы, их свойства, 
способы вычисления и приложения, и является мощным инструментом для 
понимания и измерения изменений.  
Для изучения математических моделей, помимо знаний в конкретном 
научном направлении, необходимо владеть математическими методами, среди 
которых аппарат дифференциальных уравнений играет важную роль. Он 
позволяет записать законы, управляющие явлениями, в математической форме 
- в виде дифференциальных уравнений. 
Учебным планом специальности 40.05.03 «Судебная экспертиза» 
предусмотрено выполнение контрольных работ с заданиями по этим разделам. 
Форма контроля по окончании изучения дисциплины - экзамен. Освоение 
материалов учебного пособия позволит качественно подготовиться к вопросам 
по разделам «Введение в математический анализ», «Интегральное исчисление 
функции одной переменной», «Дифференциальные уравнения». 
Список литературы подобран с учетом возможности получения 
дополнительных теоретических сведений, а также самостоятельного решения 
задач. 
 

8 Вычисление пределов. Непрерывность функции  
 
Начинаем изучение основополагающего понятия математического 
анализа – понятия функции. 
В математическом анализе предметом изучения является не 
изменение одной переменной   величины   самой   по себе, а совместное 
изменение двух, трех и т. д. переменных величин. Изучение зависимости 
между переменными при их совместном изменении и является основной 
задачей математического анализа. Такие совместные изменяющиеся 
переменные очень часто встречаются как в математике, так и в различных 
технических дисциплинах. Зависимость одних переменных величин от 
других и выражает функция. 
На сегодняшней лекции мы рассмотрим понятие функции и способов ее 
задания, познакомимся с функцией натурального аргумента, изучим 
определение предела функции натурального аргумента. 
 
8.1 Понятие функции и способов ее задания 
 
Пусть заданы два непустых множества действительных чисел X и Y. 
Переменная x изменяется на множестве 

X
x

 а переменная y — на 
множестве 

Y
y

.  
Переменная 
величина 
y 
называется 
функцией 
переменной 
x, 
определенной на множестве X, если каждому значению величины x , 
принадлежащему множеству X, соответствует единственное определенное 
значение y из Y. 
Обозначение функции: 
)
(x
f
y 
 или  
( )
y
y x

   и т.п. 
Переменную y называют зависимой переменной; а переменную  x — независимой  
переменной или аргументом. 
Из приведённого определения функции видно, что для математического 
задания какой-либо определённой функции необходимо указать, во-первых, 
область (множество) X изменения аргумента x и, во-вторых, установить 
правило или закон соответствия между значениями x из множества X и 
значениями y из множества Y. 
Область изменения аргумента x называют также и областью 
определения функции. 
При задании функции y область изменения функции y обычно не 
указывается, так как сам закон соответствия уже вполне определяет 
множество значений функции. 
В 
случаях, 
когда 
одному 
значению 
переменной 
величины 
x 
соответствует одно, вполне определенное значение y, функция 
)
(x
f
y 
 
называется однозначной функцией. Однако могут встретиться и такие случаи, 
когда одному значению переменной x соответствует не одно, а два или более 
значений переменной y. Например, если y
x

 то при одном значении 

переменной x переменная y принимает два значения, равные по абсолютной 
величине, но разные по знаку: при x = 9   y = ± 3. 
Если каждому значению x из множества X, соответствует не одно, а 
несколько (иногда даже и бесчисленное множество их) значений y, то и в 
этом случае говорят, что переменная у есть функция х и функция у 
называется многозначной функцией х. 
Приведем еще один пример. Функция 
arcsin
y
x

 есть функция 
многозначная, так как одному значению переменной x соответствует 
бесчисленное множество значений y. 
Мы будем рассматривать функции вещественной (действительной) 
переменной. 
При изучении свойств различных функций очень часто пользуются их 
графическим изображением или, как говорят иначе, их графиками. Что же 
называют графиком функции? Остановимся на этом вопросе более подробно.  
Пусть x и y связаны функциональной зависимостью 
( )
y
f x

. 
Предположим для простоты, что область изменения независимой переменной 
x (область определения функции) есть какой-нибудь промежуток. Каждому 
значению x из этого промежутка соответствует вполне определённое 
значение у. Каждой паре значений (х, у) соответствует определённое 
положение точки М(х,у) на плоскости. Если переменную x заставить 
пробегать данный промежуток, то точка М опишет некоторую кривую линию 
на плоскости (рисунок 1). Эту кривую линию называют графическим 
изображением 
рассматриваемой 
функциональной 
зависимости, 
или 
графиком функции 
( )
y
f x

. 
 
 
 
Рисунок 1 - График функции 
( )
y
f x

  
 
Таким образом, графиком данной функции 
( )
y
f x

 называется 
геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты x и y 
которых связаны соотношением 
( )
y
f x

. 
В заключение необходимо отметить, что термин «функция» впервые 
употреблял немецкий математик и философ Лейбниц (1646—1716). Однако 
первым, кто дал современное научное определение функции, нужно считать 

гениальнейшего русского ученого, творца неэвклидовой геометрии - 
Николая Ивановича Лобачевского (1793—1859 г.). 
Рассмотрим более подробно вопрос о самом законе соответствия между 
значениями переменных x и y, в силу которого для каждого значения 
переменной x устанавливается вполне определенное значение другой 
переменной величины y. 
Способы задания функциональной зависимости очень разнообразны, но 
особенно важное значение имеют следующие три способа: 
- аналитический способ — задание функции с помощью формулы; 
- табличный способ — задание функции с помощью таблицы; 
- графический  или  геометрический способ — задание  функции  с 
помощью графика. 
 
8.1.1 Аналитический способ задания функции 
 
Наиболее удобным способом задания функции будет такой способ, когда 
прямо 
указывается, 
какие 
алгебраические 
действия 
и 
в 
какой 
последовательности надо произвести над переменной x, чтобы получить 
соответствующее значение величины y. Примером такого задания функции 
могут служить формулы: 
2
2
2
1
1
5
7;
;
1
2
y
x
y
S
gt
x





. 
Этот способ задания функции с помощью формулы, то есть 
аналитический способ, является наиболее важным для математического 
анализа. К этому способу задания функции прибегают всякий раз, когда 
исследуется вопрос теоретически. 
Рассмотрим функцию 
( )
y
f x

, заданную аналитически, отвлекаясь от 
физического смысла функции. 
Под областью определения (задания) функции понимают множество 
всех тех вещественных значений x, для которых функция y имеет смысл. 
Поэтому вместо термина «область определения», «область задания» функции 
употребляют термин «область существования» функции. Этим самым 
подчеркивается, что рассматриваются лишь только те значения x, для 
которых значения функции существуют или, как говорят иначе, формула 
имеет смысл.  
 
Пример 1. Для функции  
2
( )
5
y
f x
x



 
областью существования является отрезок 
5, 5




 или 
5
5
x



. Так как 
формула имеет смысл лишь только при условии, что 
2
5
0
x

, а это 
возможно при  
2
5;
5
x
x





 и, следовательно, 
5
5
x



. 
 

Пример 2.  
2
2
1
  (
0)
( )
0            (
0)
1
    (
0)
x
x
y
f x
x
x
x










 
В данном примере функция 
)
(x
f
 задана не с помощью одной формулы, а 
с помощью нескольких (трех) формул. Для разных промежутков области 
функция задается разными формулами. В промежутке  

2
,0
1
;
y
x


 в 
точке x = 0, y=0, в промежутке 

2
0,
1
;
y
x


 Это означает, что для всех 
x<0 значение y  вычисляется по первой формуле, а для всех x > 0 — по третьей 
формуле. Для x = 0, y = 0 (рисунок 2).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рисунок 2 – График функции, заданной несколькими аналитическими 
выражениями 
 
С точки зрения общего определения функции в данном примере мы 
рассматриваем лишь только одну функцию, так как функция 
)
(x
f
 определена 
для всех вещественных значений 


,
x. Каждому значению x из этой 
области соответствует одно значение переменной y, хотя на разных 
промежутках изменения переменной x  значение переменной y вычисляется с 
помощью различных формул. 
 
 
8.1.2 Табличный способ задания функции 
 
Аналитический способ задания функции, то есть задание функции с 
помощью формул, не всегда является удобным для практических целей. 
Например, если рассматривать функции 
sin
y
x

,  
lg
y
y

,  
arcsin
y
x

, 
заданные с помощью формул, то есть аналитически, то при вычислении 
значений функций y, соответствующих значениям x, мы даже не знаем, какие 
действия и в какой последовательности надо произвести над аргументом x 
чтобы получить соответствующее значение функции. Бывают и такие случаи, 
о 
х 
у 
y=f2(х) 
y=f1(х) 

когда выполнение всех действий над аргументом x требует много времени и 
является очень трудоемкой и сложной работой. 
В таких случаях прибегают к составлению таблиц, которыми и 
пользуются на практике. Таблицы функций получаются или путем 
вычисления значений переменной по формуле (математические таблицы), 
или путем получения значений функции при помощи измерений физических 
и различных других величин (эмпирические таблицы). Примерами 
математических 
таблиц 
служат 
таблицы 
логарифмов, 
таблицы 
тригонометрических функций, таблицы квадратов чисел и т. д. 
Математические и эмпирические таблицы дают значения функций 
только с определенной степенью точности, в зависимости от той точности, 
для какой цели эти таблицы служат.  
Табличный 
способ 
задания 
функций 
обладает 
следующими 
преимуществами: 
- таблицы просты, недороги, так как их построение не требует 
специальной бумаги, и т. д. 
- табличные данные легко обозримы; 
- легко сравнивать различные значения; 
- таблицы удобны для сохранения данных. 
 
8.1.3 Графический, или геометрический, способ изображения функций 
 
Рассмотрим графический способ задания функции – изображение 
функции с помощью ее графика. 
Напомню, что графиком функции 
( )
y
f x

 называется все множество 
точек с координатами 

, ( )
x f x . 
При изучении математического анализа и его приложений очень часто 
пользуются графиками функций, так как график функции дает возможность 
легко выявить характерные черты изменения и поведения функции на 
различных участках рассматриваемого промежутка изменения независимой 
переменной.  
График функции не является абсолютно точным образом функции, а 
лишь только приближенным.  
Бывают случаи, когда график является единственным доступным для нас 
способом задания функции. Например, самопишущие приборы задают 
функции графически. Самопишущий прибор барограф автоматически 
записывает изменение атмосферного давления в зависимости от времени. 
Вычерчиваемая этим прибором кривая называется барограммой. По 
барограмме можно определить давление в любой момент времени, в течение 
которого прибор действовал. Часто встречается и другой самопишущий 
прибор - термограф, вычерчивающий термограмму - каждую кривую, 
являющуюся графиком температуры как функции времени. 
Отметим преимущества графического способа задания функции: 
-  наглядность;