Математика. Элементы высшей математики

В.В. БАРДУШКИН
А.А. ПРОКОФЬЕВ
УЧЕБНИК
В ДВУХ ТОМАХ
Том 1
Москва
КУРС
ИНФРА-М
МАТЕМАТИКА. 
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ 
МАТЕМАТИКИ
Рекомендовано в качестве учебника для студентов 
среднего профессионального образования, обучающихся 
по специальностям: 2.09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы», 
2.09.02.02 «Компьютерные сети», 2.09.02.03 «Программирование 
в компьютерных системах», 2.09.02.04 «Информационные системы 
(по отраслям)», 2.09.02.05 «Прикладная информатика (по отраслям)» 
СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
 
Б24
Бардушкин В.В., Прокофьев А.А.
Математика. Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т. 1 / 
В.В. Бардушкин, А.А. Прокофьев. — Москва: КУРС: ИНФРА-М, 
ISBN 978-5-906923-43-1 (общ.) (КУРС)
ISBN 978-5-906923-05-9 (том 1) (КУРС)
ISBN 978-5-16-012856-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105427-7 (ИНФРА-М, online)
Первый том учебника в первую очередь адресован студентам колледжей, техникумов и других учебных заведений среднего профессионального образования. Однако учебник может быть полезен также учащимся 
старших классов общеобразовательных учреждений и студентам вузов. 
Большое внимание в книге уделено доступности и наглядности описания 
математических понятий и результатов, примерам и иллюстрациям, облегчающим усвоение материала.
Том содержит в основном материал по алгебре и геометрии, соответствующий программе 10–11 классов общеобразовательных учреждений, 
а также некоторые разделы высшей математики: элементы теории множеств; комплексные числа; теория пределов; производная; неопределенный и определенный интегралы.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
Р е ц е н з е н т ы:
М.И. Шабунин — д-р пед. наук, профессор кафедры высшей математики МФТИ;
К.С. Ахвердиев — д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой высшей 
математики РГУПС
Б24
© Бардушкин В.В., 
Прокофьев А.А., 2017
© КУРС, 2017
ISBN 978-5-906923-43-1 (общ.) (КУРС)
ISBN 978-5-906923-05-9 (том 1) (КУРС)
ISBN 978-5-16-012856-6 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105427-7 (ИНФРА-М, online)
ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11
Оригинал-макет подготовлен в Издательстве «КУРС»
Подписано в печать 21.05.2018. Формат 60×90/16. Бумага офсетная. 
Гарнитура Newton. Печать цифровая. Усл. печ. л. 19.0.
ТК 640311-615108-100118
ООО Издательство «КУРС»
127273, Москва, ул. Олонецкая, д. 17А, офис 104. Тел.: (495) 203-57-83. 
E-mail: kursizdat@gmail.com.  http://www.kursizdat.ru
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru  http://www.infra-m.ru
Заказ № 06414.
Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

Множества
1.1. Понятие множества
Множество — ​одно из основных понятий в математике, которое 
не сводится к другим элементарным понятиям и не определяется. 
Представление о нем дает совокупность каких-либо отдельных объектов из окружающего нас мира. Например, мы можем говорить 
о множестве домов в городе, людей на предприятии, точек на плоскости. Множества могут состоять из объектов любой природы. Объекты, входящие в некоторое множество, называются его элементами. 
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются 
конечными. Множества, в которых присутствует бесконечное число 
элементов, называются бесконечными.
Для обозначения множеств обычно используются заглавные 
буквы латинского алфавита (A, B, X и т. д.), а для элементов множеств — ​строчные буквы (a, b, x и т. д.). Принадлежность элемента x 
множеству X записывается x
X
∈
 и читается: «x принадлежит множеству X», или «x — ​элемент множества X», или «x содержится во множестве X». Запись x
X
∉
 читается как «x не принадлежит множеству X» или «x не является элементом множества X».
Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент множества A принадлежит множеству B. В этом случае 
пишут A
B
⊆
. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству B (A
B
⊆
) и каждый элемент множества B принадлежит множеству A (B
A
⊆
), то такие множества называются равными (пишут 
A
B
=
). Если A
B
⊆
 и A
B
≠
, то A называется собственным подмножеством множества B. При этом используется запись A
B
⊂
.
Множество может быть задано перечислением (списком) всех 
своих элементов. Так обычно делают в случае, когда количество элементов невелико. Например, множество из элементов a, b, c можно 
записать { ; ; }
a b c
 
 . Заметим, что для записи множеств используются 
фигурные скобки, поскольку порядок, в котором указываются их элементы, не важен. Более того, при записи множеств могут встречаться 
повторения одних и тех же элементов (что, конечно, нежелательно). 
Так, вместо множества { ; ; }
a b c
 
  можно было бы, например, написать

	
{ ; ; }
{ ; ;
}
{ ; ; }
{ ; ;
}
{ ; ; }
c a b
b c a
b a c
c b a
a c b
 
 
  
 
 
 
 
  
=
=
=
=
.
Если множество является бесконечным (или в конечном множестве очень много элементов), то используется форма записи с указанием свойства, которое выделяет его элементы из более широкого 
множества. Например, запись {
|
}
x
x
x
∈
-
-
<

2
2
0  задает множество чисел, состоящее из решений неравенства x
x
2
2
0
-
-
<
.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается ∅. Считается, что пустое множество является 
подмножеством любого множества. Любое множество (часто 
по умолчанию) всегда рассматривается как подмножество некоторого универсального (основного) множества W. Например, в геометрии 
на плоскости (планиметрии) все геометрические фигуры являются 
подмножествами универсального множества W — ​всех точек этой 
плоскости.
1.2. Числовые множества
Множества, состоящие из чисел, называются числовыми. В курсе 
алгебры основной школы постоянно встречались некоторые числовые множества, за которыми закреплены стандартные обозначения. 
Напомним их: множество натуральных чисел = { ; ; ;
; ...}
1 2 3 4
 
 
 
 
; множество целых чисел =
-
-
{...;
;
;
; ; ; ; ...}
2
1 0 1 2 3
 
  
 
 
; множество рациональных чисел 


=
∈
∈


p
q
p
q
p
q
|
,
,
 
 
 — несократима  (напомним, 
что любое рациональное число p
q  можно представить в виде конечной 
или бесконечной периодической десятичной дроби); множество иррациональных чисел , к которому относятся все числа, которые представляются бесконечными, но непериодическими десятичными дробями (например, такие числа, как 3
1 7320508
= ,
..., p = 3 1415926
,
...); 
множество действительных (вещественных) чисел , состоящее 
из всех рациональных и иррациональных чисел. Для этих множеств 
справедливы следующие включения: 



⊂
⊂
⊂
, ⊂.
Напомним также, что действительные числа изображаются точками числовой (координатной) прямой, т. е. прямой, на которой заданы: 
1)  направление, принимаемое за положительное; 
2)  точка, принимаемая за начало отсчета; 
3)  единица измерения (масштабный отрезок, длина которого 
принимается равной единице). 

Числовая прямая обычно изображается горизонтально, положительное направление указывается стрелкой, начало отсчета обозначается буквой O (рис. 1.1). Точка O разбивает числовую прямую 
на два луча, один из которых имеет положительное направление 
и называется положительным лучом, другой — ​отрицательным.
Число, изображением которого на числовой прямой служит 
точка M, называется координатой точки M. Координата начальной 
точки O равна нулю. Координата xM произвольной точки M, лежащей на положительном луче, равна длине отрезка OM, т. е. x
OM
M =
. 
Если же точка лежит на отрицательном луче, то ее координата равна 
длине отрезка OM, взятой со знаком «минус», т. е. x
OM
M = -
. Отметим также, что числовая прямая имеет обозначение Ox.
1.3. Операции над множествами
Над множествами можно совершать различные операции, которые удобно иллюстрировать с помощью так называемых диаграмм Эйлера (иногда их называют диаграммами Венна). Например, тот факт, что A
B
⊂
, проиллюстрирован диаграммой Эйлера 
на рис. 1.2.
Дадим определения основных операций над множествами и проиллюстрируем их диаграммами Эйлера.
Объединением A
B
∪
 множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих хотя  бы одному из  множеств A или  B 
(рис. 1.3).
Пересечением A
B
∩
 множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A, и B (рис. 1.4).
O
1
M
xM
x
Рис. 1.1
B
Ω

Разностью A
B
\
 множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B (рис. 1.5).
Симметрической разностью A
B
D
 называется множество элементов, принадлежащих либо A, либо B, но не обоим вместе (рис. 1.6). 
Из определения видно, что A
B
A
B
B
A
  
D
=
∪
(
\
)
(
\
).
A
B
Ω
Рис. 1.3
A
B
Ω
Рис. 1.4
A
B
Ω
Рис. 1.5
A
B
Ω

Дополнением A множества A называется множество элементов 
из W, которые не содержатся в A (рис. 1.7). Из определения видно, 
что A
A
= W \
.
Пример 1.1. Даны числовые множества A = { ; ; ;
; }
1 2 3 4 5
 
 
 
  
и B = { ;
; ; ;
}
2 4 6 8 10
 
 
 
 
. Задайте списками следующие множества: A
B
∪
, 
A
B
∩
, A
B
\
, B
A
\
, A
B
D
.
Решение. 
	
A
B
∪
= { ; ; ;
; ; ; ;
}
1 2 3 4 5 6 8 10
 
 
 
 
 
 
 
, A
B
∩
= { ;
}
2 4 
,
	 A
B
\
{ ; ; }
= 1 3 5
 
 
, B
A
\
{ ; ;
}
= 6 8 10
 
 
, A
B
  
 
 
 
 
 
D
= { ; ; ; ; ;
}
1 3 5 6 8 10 . 
Пример 1.2. Даны числовые множества A
x
x
=
∈
-
<
≤
{
|
}

7
1  
и B
x
x
=
∈
- ≤
≤
{
|
}

3
4 . Найдите следующие множества: A
B
∪
, 
A
B
∩
, A
B
\
, B
A
\
, A
B
D
, A, B.
Решение. 
	
A
B
x
x
∪
=
∈
-
<
≤
{
|
}

7
4 , A
B
x
x
∩
=
∈
- ≤
≤
{
|
}

3
1 , 
	
A
B
x
x
\
{
|
}
=
∈
-
<
< -

7
3 , B
A
x
x
\
{
|
}
=
∈
<
≤
1
4 ; 
	
A
B
x
x
  
 
D
=
∈
∈-
∪
{
|
(
;
)
( ;
]}

7
3
1 4 ,
	
A
x
x
=
∈
∈-∞∪
+∞
{
|
(
;
]
( ;
)}

7
1
, 
	
B
x
x
=
∈
∈-∞∪
+∞
{
|
(
;
)
( ;
)}

3
4
. 
Перечислим без доказательства некоторые важные свойства операций над множествами.
1.  Коммутативность:	 A
B
B
A
∪
=
∪
, A
B
B
A
∩
=
∩
.
2.  Ассоциативность:	
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
∪
∪
=
∪
∪
, 
	
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
∩
∩
=
∩
∩
.
3.  Дистрибутивность:	 (
)
(
)
(
)
A
B
C
A
C
B
C
∪
∩
=
∩
∪
∩
, 
	
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
C
B
C
∩
∪
=
∪
∩
∪
.
4.  Идемпотентность:	
A
A
A
∪
=
, A
A
A
∩
=
.
5.  Законы де Моргана:	
A
B
A
B
∪
=
∩
, A
B
A
B
∩
=
∪
.
Ω

Отметим, что все перечисленные выше равенства можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера.
1.4. Модуль действительного числа
Понятие модуля числа широко используется в математике, физике, экономике и других науках. В данной главе это понятие будет 
рассмотрено только для действительных чисел.
Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа a называется неотрицательное действительное число, обозначаемое знаком a , удовлетворяющее условиям
	
a
a
a
a
a
=
≥
-
<
{
,
,
,
.
если 
если 
0
0
Например, если a = 7, то по определению модуля положительного 
числа a
a
=
, а значит, a = 7. Если же a = -7, то по определению модуля отрицательного числа a
a
= - , а значит, a = - -
(
)
7 , т. е. a = 7. 
Отметим также, что по определению 0
0
=
.
Геометрически абсолютная величина действительного числа a 
выражает длину отрезка на координатной прямой от начала координат до точки, изображающей число a. Кроме того, абсолютная величина разности a
b
-
 двух действительных чисел a и b равна расстоянию между точками числовой прямой, изображающими данные 
числа.
Перечислим основные свойства модуля действительного числа.
1.  -
=
a
a ; 
2.  a
b
b
a
-
=
-
; 
3.  ab
a
b
=
⋅
;
4.  a
b
a
b
=
, где b ≠0; 
5.  a
a
a
2
2
2
=
=
;
6. 
a
a
2 =
; 
7.  a
b
a
b
+
≤
+
; 
8.  a
b
a
b
-
≥
-
.
1.5. Алгебраические уравнения,  
неравенства и системы с модулем
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых 
встречается понятие модуля числа. В этой главе будут рассмотрены 

основные методы решения уравнений, неравенств и систем, содержащих знак модуля. При этом будут разобраны примеры решения 
только некоторых видов алгебраических уравнений, неравенств 
и систем, несмотря на общность рассматриваемых подходов применительно ко всем типам указанных задач. В процессе решения примеров нами будут использоваться равносильные переходы к системам и совокупностям уравнений и/или неравенств. Поэтому необходимо более подробно остановиться на разъяснении этих понятий.
Начнем с рассмотрения понятия «система» (уравнений и/или неравенств). Для ее обозначения используется фигурная скобка, внутри 
которой находятся образующие указанную систему уравнения и/или 
неравенства. Рассмотрим в качестве примера систему из двух неравенств, задающих числовые множества A
x
x
=
∈
≤
{
|
}

4  
и B
x
x
=
∈
>
{
|
}

1 :
	
x
x
≤
>
{
4
1
,
.
Под решением системы понимается множество, являющееся пересечением множеств, ее образующих. Так, решением рассмотренной 
выше системы является числовой промежуток (1; 4] — ​результат пересечения множеств A и B.
Рассмотрим теперь понятие «совокупность» (уравнений и/или 
неравенств). Для ее обозначения используется прямоугольная 
скобка, внутри которой находятся образующие указанную совокупность уравнения и/или неравенства. Рассмотрим в качестве примера 
совокупность из двух неравенств, задающих числовые множества 
C
x
x
=
∈
<
≤
{
|
}
1
6  и D
x
x
=
∈
<
{
|
}

2 :
	
1
6
2
<
≤
<


x
x
,
.
Под решением совокупности понимается множество, являющееся 
объединением множеств, ее образующих. Так, решением рассмотренной выше совокупности является числовой промежуток (
;
]
-∞ 6  — ​результат объединения множеств C и D.
Основным подходом при решении задач, содержащих модуль, 
является избавление от знака абсолютной величины, используя 
определение модуля действительного числа.
Пример 1.3. Решите уравнение 2
3
3
2
x
x
-
=
- .
Решение. Возможны два случая раскрытия модуля (исходя 
из знака подмодульного выражения). Затем надо объединить множе

ства решений уравнения, соответствующие обоим случаям. Процедуру решения данного уравнения удобно оформлять следующим 
образом:
	
3
3
2
x
x
-
=
-  ⇔ 
2
3
0
2
3
3
2
2
3
0
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
-
≥
-
=
-
{
-
<
-
=
-
{






,
;
,
;
 ⇔ 
x
x
x
x
≥
= -
{
<
=
{






1 5
1
1 5
1
, ,
;
, ,
;
 ⇔ x = 1.
Ответ: 1. 
Пример 1.4. Решите систему уравнений 3
3
2
1
x
y
y
x
-
=
-
= -

,
.
Решение. Возможны два случая раскрытия модуля (исходя 
из знака подмодульного выражения). Затем надо объединить множества решений системы уравнений, соответствующие обоим случаям. 
Процедуру решения данной системы удобно оформлять следующим 
образом:
	
3
3
2
1
x
y
y
x
-
=
-
= -

,
; ⇔ 
y
x
y
y
x
y
x
y
y
x
≥
-
=
-
= -



<
+
=
-
= -











0
3
3
2
1
0
3
3
2
1
,
,
;
,
,
;
 ⇔ 
y
x
y
y
x
y
≥
=
=



<
=
=











0
2
3
0
0 8
0 6
,
,
;
,
, ,
, ;
 ⇔ x
y
=
=
{
2
3
,
.
Ответ: (2; 3). 
Пример 1.5. Решите неравенство 
4
1
2
1
x
x
+
-
≥
-
.
Решение. Решим данное неравенство так называемым методом 
промежутков, широко применяемым при решении задач с модулем.
Опишем вначале общую идею этого метода.
Для его применения надо прежде всего найти значения переменной x, при которых обращаются в нуль каждое из подмодульных выражений, встречающихся в условии задания. Затем найденные значения x изобразить точками на числовой прямой. Эти точки «разобьют» ось Ox на промежутки. На каждом из полученных промежутков 
подмодульные выражения будут принимать значения определенного 
знака, а значит, для исходных уравнений и/или неравенств будут рассмотрены все возможные случаи раскрытия содержащихся в них 
модулей. В заключение надо объединить множества решений, соответствующие всем этим случаям.