Теоретические основы химической технологии, 2024, № 5

Российская академия наук
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ 
ТЕХНОЛОГИИ
Том 58     № 5     2024     Сентябрь–Октябрь
Основан в 1967 г.  
Выходит 6 раз в год 
 
Москва, «Наука» 
ISSN: 0040-3571
Главный редактор
А.А. Вошкин
Журнал издается под руководством  
Отделения химии и наук о материалах РАН
Редакционная коллегия:
Р.Ш. Абиев, П.В. Акулич (Белоруссия), В.М. Барабаш, И. Гроссман (США),  
В. Дови (Италия), И. Драгош (Чешская Республика),  
Ю.А. Заходяева (ответственный секретарь) Н.Н. Зиятдинов, А.В. Клинов,  
Н. Кохманн (Германия), Н.В. Меньшутина, В.П. Мешалкин  
(заместитель главного редактора), Д.Ю. Мурзин (Финляндия), Г.А. Петухова,  
Б.Г. Покусаев, Л.В. Равичев, Б. Саха (Великобритания),  
А.В. Тимошенко, Л.Л. Товажнянский (Украина), А.К. Фролкова, Т.В. Челюскина
Заведующий редакцией А.В. Кисель
Адрес редакции: 119991, ГСП-1 Москва, Ленинский проспект, 31 
Институт общей и неорганической химии им. Н.С. Курнакова РАН 
Тел. (495) 775-65-85, e-mail:j.toht@igic.ras.ru
Тематика журнала: явления переноса; поверхностные явления; процессы разделения смесей; теория и методы расчета химических реакторов; совмещенные процессы и многофункциональные реакторы; гидромеханические, тепловые, диффузионные, химические процессы и аппараты; мембранные процессы и реакторы; 
биотехнология; дисперсные системы; нанотехнология; интенсификация процессов; 
 
информационное моделирование и анализ; техноэкономический анализ; энерго- 
 
и ресурсосберегающие, экологически чистые процессы и производства.
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала «Теоретические 
 
    основы химической технмогии»  
    (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 58, номер 5, 2024
Анализ процессов разделения редкоземельных элементов в каскаде смесительно-отстойных 
экстракторов методами жидкостно-жидкостной хроматографии
А. Е. Костанян, Д. В. Лобович, А. А. Вошкин  	
533
Механохимическая технология переработки природных материалов для тампонирования  
нефтяных скважин при производстве ремонтно-изоляционных работ
В. П. Мешалкин, А. А. Политов, Л. Е. Ленченкова, Р. Н. Якубов, А. В. Фахреева,  
Е. И. Гусарова, А. Г. Телин 	
547
Золь-гель синтез порошков для получения керамических композитов на основе  
циркона в двухступенчатом микрореакторе
В. Л. Уголков, Ю. С. Кудряшова, А. В. Осипов, Л. П. Мезенцева,  
И. В. Макушева, Р. Ш. Абиев 	
557
Термодинамический анализ фазового равновесия жидкость – пар в бинарных  
системах с одним ассоциирующим компонентом
В. А. Лотхов, С. Я. Квашнин, А. В. Полковниченко, Н. Н. Кулов	
571
Паровой риформинг природного газа в мембранном реакторе с никелевым катализатором  
при высоких температурах 
В. Н. Бабак, Л. П. Диденко, Л. А. Семенцева, Ю. П. Квурт 	
577
Интенсификация вакуумной сублимационной сушки матриксов на основе альгинат-хитозана  
на различных этапах процесса 
Е. К. Мохова, М. Г. Гордиенко, Н. В. Меньшутина 	
602
Динамика двухстадийных каталитических реакций с кинетикой Марселина-Де Донде  
в открытой системе 
Н. И. Кольцов	
612
Решение обратной коэффициентной задачи тепломассопереноса по результатам измерений 
температуры в стволе горизонтальной скважины 
Е. Р. Бадертдинова, М. Х. Хайруллин, М. Н. Шамсиев, Р. М. (мл.) Хайруллин	
620
Политермическое исследование растворимости компонентов и фазовых равновесий тройной  
системы вода – дипропиламин – диизопропиламин для экстракционной практики
М. П. Смотров, В. В. Данилина, К. К. Ильин, Д. Г. Черкасов	
627
Компьютерное моделирование течения углеводородного флюида в химреакторе  
со слоем катализатора 
С. В. Поляков, В. О. Подрыга, Н. И. Тарасов, К. Ф. Коледина	
638

Оптимальная организация химико-технологических систем с несколькими уровнями  
агрегирования 
В. А. Налетов, М. Б. Глебов, Л. В. Равичев, А. Ю. Налетов	
646
Сопоставительный анализ схем экстрактивной ректификации с различным фазовым состоянием 
бокового отбора из экстрактивной колонны
Е. А. Анохина, Д. А. Рамочников, А. В. Тимошенко	
655
Изучение смачиваемости поверхности в блочно-модульном контактном устройстве 
Д. М. Бухаров, А. В. Степыкин, А. А. Сидягин, Т. В. Жарова, Л. А. Малыгин,  
Н. С. Горюнов, Е. М. Тутанина	
667
Сообщение об отзыве (ретракции) публикации
А. А. Вошкин	
674

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2024, том 58, № 5, с. 533–546
УДК 622.795
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ РАЗДЕЛЕНИЯ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ 
ЭЛЕМЕНТОВ В КАСКАДЕ СМЕСИТЕЛЬНО-ОТСТОЙНЫХ 
ЭКСТРАКТОРОВ МЕТОДАМИ ЖИДКОСТНО-ЖИДКОСТНОЙ 
ХРОМАТОГРАФИИ
© 2024 г.    А. Е. Костанян*, Д. В. Лобович, А. А. Вошкин
Институт общей и неорганической химии им. Н.С. Курнакова РАН, Москва
*e-mail: kost@igic.ras.ru
Поступила в редакцию 13.07.2024
После доработки 26.07.2024
Принята в печать 01.08.2024
Для разделения редкоземельных элементов в промышленном масштабе в настоящее время используются методы жидкостной экстракции, обычно реализуемые в сложных многостадийных системах, состоящих из множества смесительно-отстойных экстракторов. Настоящая работа посвящена 
теоретическому анализу процессов разделения редкоземельных элементов в каскаде смесительно-отстойных экстракторов в режиме жидкостно-жидкостной хроматографии. Благодаря простоте реализуемой схемы и возможности проведения разделения в одной технологической операции, 
была показана перспективность применения методов жидкостно-жидкостной хроматографии для 
разделения и выделения из водных растворов концентрированных фракций редкоземельных элементов в каскаде смесительно-отстойных экстракторов.
Ключевые слова: математическое моделирование процессов жидкостно-жидкостной хроматографии, разделение редкоземельных элементов, каскад смесительно-отстойных экстракторов
DOI: 10.31857/S0040357124050015 EDN: WDQGTU 
ВВЕДЕНИЕ
В производстве редкоземельных элементов 
(РЗЭ) одной из основных стадий технологии является стадия разделения. В промышленности в 
настоящее время для разделения редкоземельных элементов, как правило, применяются методы жидкостной экстракции [1–12] реализуемые 
в каскадах смесительно-отстойных экстракторов. При этом используются сложные многостадийные схемы, включающие сотни смесительно-отстойных экстракторов. В связи с этим 
разработка новых более простых и эффективных 
промышленных методов разделения РЗЭ, особенно для получения индивидуальных редкоземельных элементов высокой степени чистоты, 
представляет большой практический интерес.
Для получения в аналитических и препаративных масштабах индивидуальных РЗЭ высокой степени чистоты применяются различные 
хроматографические методы [13–22]. Из них 
наиболее перспективным являются сравнительно новые методы жидкостно-жидкостной хроматографии, в которых в отличие от классической 
жидкостной хроматографии обе фазы находятся 
в свободном жидком состоянии, и стационарная 
(неподвижная) фаза обладает подвижностью в 
пределах аппарата [23–38]. 
В отличие от жидкостной экстракции, где 
процессы массообмена осуществляются в непрерывном стационарном режиме, процессы хроматографического разделения проводятся в нестационарном периодическом режиме. Это создает 
возможность разделения многокомпонентных 
смесей в одной технологической операции. Методами экстракции в одной технологической операции можно разделить только бинарные смеси. 
Кроме того, достоинством хроматографических 
методов является высокая степень чистоты (до 
100%) получаемых продуктов, малый объем используемых органических растворителей и реагентов. Поэтому хроматографические процессы 
разделения менее материало- и энергоемки. Однако применяемые в настоящее время методы и 
аппаратура процессов жидкостно-жидкостной 
хроматографии малопроизводительны; они не 
могут быть использованы для реализации в промышленных масштабах, в частности в гидроме533

КОСТАНЯН и др.	
фии небольшой объем раствора компонентов 
импульсно загружается в хроматографическое 
устройство, что позволяет получать лишь разбавленные фракции разделенных компонентов. В промышленных технологиях необходимо 
получать как можно более концентрированные 
фракции РЗЭ. Для достижения высокой производительности и получения концентрированных 
фракций редкоземельных элементов процесс 
разделения РЗЭ в каскаде экстракторов в режиме хроматографии может быть реализован следующим образом. Установка имеет два резервуара 
для водной фазы – один с раствором РЗЭ, другой – с “чистой” водной фазой. Потоки водной 
фазы подаются в каскад экстракторов в чередующейся последовательности с одинаковым расходом из обоих резервуаров. Водный раствор РЗЭ 
в течение заданного промежутка времени τs непрерывно подается в первую ступень установки. 
Фракции редкоземельных элементов отбираются на выходе из последнего экстрактора.  
  
На рис. 1 и рис. 2 приведены результаты моделирования периодического процесса хроматографического разделения РЗЭ в каскадах из 100 
и 50 смесительно-отстойных экстракторов при 
длительности загрузки раствора РЗЭ ts = τsF/Vc = 
0.2 и 0.3 и задержке (доле объема) органической 
фазы в экстракторах S = 0.8 и 0.5. Заметим, что 
при ts = 0.2 и ts = 0.3 20 и 30% объема каскада заполняется исходным раствором РЗМ. Выходные 
профили концентраций рассчитаны по зависимостям, полученным при решении уравнений 
модели каскада равновесных ячеек:
  
1
−+


[
]
aN t
t
s
N
i
!
N
i
−
(
)
−
+
(
)
1
1




aN t t
N
s
−
−
(
)
(1)


.
1
−
X t
t e


aNt
i
s
( ) =
1
1
e
aN
s
−




1
−
∑
∑
1
(
t
i
s
i
)
!
−
(
)








N
i
1

−+
(
)
aN

e
N
i
π
1
2
1
−
+
(
)
aN t t
N






−
−
(
)

s
( ) =
×
1
∑
X t
t e
s
−

N
i
1
s
1
1
−
∑
aNt
i
i
1


−+
aN
−+
(
)
       
s
e
ie




e
N
i
s




aN t
t
N
i
−
(
)
−
+

N
i
π

−
+
(
)





aN t t
N
таллургии, где требуется переработка больших 
объемов технологических растворов.  Достоинством экстракционных процессов и аппаратов 
является высокая производительность (производительность каскада смесительно-отстойных 
экстракторов на один-два порядка превышает 
производительность известных устройств жидкостно-жидкостной хроматографии).
В ИОНХ им. Курнакова РАН с использованием классического экстракционного оборудования – тарельчатых экстракционных колонн 
[39–41] и каскада смесительно-отстойных экстракторов [42–45] разрабатываются высокопроизводительные и высокоэффективные экстракционные методы разделения на основе 
принципов хроматографии. Цель настоящей работы состоит в анализе возможности применения этих методов для разделения РЗЭ. Так как 
смесительно-отстойные экстракторы широко 
применяются в гидрометаллургии, в данной работе был проведен анализ процессов разделения 
и выделения из водных растворов концентрированных фракций РЗЭ в каскаде экстракторов, 
работающих в режиме жидкостно-жидкостной 
хроматографии. При работе в режиме хроматографии проточная (в терминах хроматографии – подвижная) водная фаза подается в первую ступень каскада и выводится из последней 
ступени. Удерживание непроточной (в терминах 
хроматографии – неподвижной) органической 
фазы в экстракторах происходит путем полной 
ее рециркуляции между отстойником и смесителем в каждой ступени каскада. В зависимости от 
решаемых задач возможны различные варианты организации процесса хроматографического 
разделения РЗЭ в каскаде смесительно-отстойных экстракторов. Рассмотрим наиболее перспективные для промышленного применения 
схемы и режимы таких процессов.
Для анализа процессов разделения РЗЭ 
в  каскаде экстракторов методами жидкостно-жидкостной хроматографии воспользуемся 
экспериментальными данными по коэффициентам равновесного распределения отдельных 
элементов, приведенными в работе [46], и полученными нами ранее теоретическими зависимостями [43; 47–50].






−
−
(
)



s
( ) =
(2)
1
∑
1
2
1
1
.
     ×
X t
t e
s

aNt
i
i
s
i
e
ie
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
−
∑
aNt
i
s
−







aNt
i
1
1
2π
s














                               
=
−
+
1
1
,
                         
(3)
a
S
SKD
Разделение РЗЭ в каскаде смесительно-отстойных экстракторов в режиме элюентной хроматографии. В аналитических и препаративных 
процессах жидкостно-жидкостной хроматограгде X
x
x
=
/
, 
x
x F
V
s
s
c
=
τ /
 – средняя конценТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ      том 58       № 5       2024

	
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ РАЗДЕЛЕНИЯ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ...	
535
ров; τs – время (длительность) загрузки раствора 
РЗЭ в каскад экстракторов; τ – время. 
Зависимость (1) можно использовать, когда 
N ≤100; когда N ≥ 100 при расчете по зависимости (1) могут возникнуть проблемы с большими 
числами, поэтому в таких случаях рекомендуется пользоваться зависимостью (2). При N > 50 и 
ts ≤ 0.2 расчеты можно проводить по более простому уравнению (4), полученному на основе 
распределения Гаусса.
трация элемента, KD = y/x = const – равновесный коэффициент распределения (x – концентрация 
в водной фазе, y – концентрация в органической 
фазе); N – число равновесных ячеек (принято равным числу экстракторов в каскаде); xs – концентрация в исходном растворе; t = τF/Vc – нормированное (безразмерное) время; ts = τsF/Vc – безразмерное 
время (нормированная длительность) загрузки раствора РЗЭ; F – объемный расход “чистой” водной 
фазы и раствора РЗЭ; Vc – объем каскада экстракто( )
а
( )
б
X t
( )
X t
( )
Sm + Gd + Nd + Ce
5
Sm + Gd + Nd + Ce
4
Tb
Tb
4
3
3
Dy
2
Dy
2
1
1
Y
Er
Y
Er
0
14
13
13
12
12
11
11
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
t
t
( )
в
( )
г
Sm + Gd + Nd + Ce
X t
( )
X t
( )
Sm + Gd + Nd + Ce
4
4
Tb
Tb
3
3
Dy
Dy
2
2
Y
Y
1
1
Er
Er
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
t
t
Рис. 1. Моделирование периодического процесса хроматографического разделения РЗЭ в каскаде из 100 смесительно-отстойных экстракторов: a – при длительности загрузки раствора РЗЭ ts = 0.2 и задержке органической фазы в экстракторах 
S = 0.8; б– при длительности загрузки раствора РЗЭ ts = 0.3 и задержке органической фазы в экстракторах S = 0.8; в– при длительности загрузки раствора РЗЭ ts = 0.2 и задержке органической фазы в экстракторах S = 0.5; г – при длительности загрузки 
раствора РЗЭ ts = 0.3 и задержке органической фазы в экстракторах S = 0.5. Выходные профили концентраций рассчитаны 
по уравнению (2).
Таблица 1. Величины коэффициентов распределения РЗЭ, используемых в работе
Ce
Nd
Sm
Gd
Tb
Dy
Er
Y
0.190
0.160
0.048
0.150
0.790
2.24
12.6
7.82
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ      том 58       № 5       2024

КОСТАНЯН и др.	
X t
( )
X t
( )
( )
а
( )
б
Sm + Gd + Nd + Ce
Sm + Gd + Nd + Ce
4
3
Tb
Tb
3
2
2
Dy
Dy
1
1
Y
Er
Y
Er
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
t
t
X t
( )
X t
( )
( )
в
( )
г
Sm + Gd + Nd + Ce
Sm + Gd + Nd + Ce
4
3
Tb
Tb
3
2
2
Dy
Dy
1
1
Y
Y
Er
Er
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
t
t
Рис. 2. Моделирование периодического процесса хроматографического разделения РЗЭ в каскаде из 50 смесительно-отстойных экстракторов: a – при длительности загрузки раствора РЗЭ ts = 0.2 и задержке органической фазы в экстракторах S = 0.8; 
б – при длительности загрузки раствора РЗЭ ts = 0.3 и задержке органической фазы в экстракторах S = 0.8; в – при длительности загрузки раствора РЗЭ ts = 0.2 и задержке органической фазы в экстракторах S = 0.5; г – при длительности загрузки 
раствора РЗЭ ts = 0.3 и задержке органической фазы в экстракторах S = 0.5. Выходные профили концентраций рассчитаны 
по уравнению (1).
2


3
2
2
N
at
at
s
X t
a
N


6


2
12
2 2
12
Na t
2 2
π
exp
(
)
.   (4)
Na t
s
+
(
)


s
( ) =
+
(
)
−
+
−
Для расчета выходных профилей концентраций были взяты следующие величины коэффициентов распределения отдельных элементов, 
полученные в работе [46] при экстракции РЗЭ 
раствором Cyanex 272 + Р507 с концентрацией 
0,6 моль/л (молярном соотношении экстрагентов 1 : 1) из хлоридного раствора после выщелачивания карбонатных концентратов (суммарное 
содержание РЗЭ = 0.05 моль/л). Состав исходного раствора РЗЭ представлен в табл. 1.
Как видно из рис. 1 и рис. 2, в зависимости от 
числа экстракторов в каскаде и параметров проведения процесса можно получить фракции отдельных элементов и группы элементов различной 
степени чистоты. Однако при всех рассмотренных условиях проведения процесса достигается 
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ      том 58       № 5       2024

aN t t
t
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ РАЗДЕЛЕНИЯ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ...
−
−
−
(
)
in
s
( ) =
×
X t
e
t
s
N
i
1
1

−+

−+
(
)

e
N
i
in
s
−
−
(
)
  
aN t
t
t
N
i
1
−
N
i
2
1
π
+

N
−
+
(
)












.


(6)
×∑1

aNt
i
i
s
i
e
ie
1
−
∑
−







1
2
aNt
i
aNt
i
s
π
s














6
          
            
X t
a
N
×
2 2
Na t
12
π
s
( ) =
+
(
)
2

(7)
N
at
at
at
3
2
2
2
s
in
exp
(
)

×
−
+
+
−
2 2

.


Na t
2
12
s
+
(
)


разделение 3–4 элементов и группы элементов в 
течение одной технологической стадии в одном 
каскаде из 50–100 экстракторов. Как следует из 
работы [46], похожий результат может быть достигнут методом противоточной экстракции и 
промывки в течение ряда технологических стадий 
в пяти каскадах с общим количеством экстракторов N > 200.
Для моделирования непрерывных процессов 
хроматографического разделения РЗЭ, когда 
раствор РЗЭ подается в каскад через определенные интервалы tin в чередующейся последовательности с “чистой” водной фазой в течение 
времени ts (τs), можно использовать уравнения 
(1)–(4) и (5)–(7), которые описывают выходные 
профили концентраций после первой и второй 
загрузок раствора РЗЭ.
t
t
t
in
s
>
+
,
1
aN t t
t
×
−
−
−
(
)
in
s
( ) =
                X t
t e
         
Минимальный интервал между загрузками 
раствора РЗЭ в каскад определяется величиной параметра а для элементов с минимальным 
(в  рассматриваемом примере – Sm) и максимальным (Er) коэффициентом распределения. 
Его можно рассчитать по уравнению (8):
s
−+


1
[
]
aN t
t
t
in
s
N
i
3
            
=
×
in
(5)
1
!
N
i
N
t
N
−
−
(
)
−
+
(
)




.


1
−


12
1
12
1
12
2
2
2
2

−
×∑
(8)
1
1
e
a
Na
t
a
Na
t
−
×
+
+
+





−
Sm
Sm s
Er
Er s




(
)
!
1
∑
aNt
i
s
i
s
aNt
i
1
−
(
)
a
1
1






−
+


/
/ aEr.
Sm
aN t t
t
−
−
−
(
)
 
in
s
( ) =
×
X t
e
t
s
На рис. 3 приведены профили концентраций 
после двух загрузок раствора РЗЭ в каскадах из 
100 смесительно-отстойных экстракторов при 
N
i
1
1

−+

−+
(
)

e
N
i
in
s
aN t
t
t
N
i
1
−
−
(
)
−
N
i
2
1
π
+

N
−
+
(
)












.


×∑1

aNt
i
i
s
i
e
ie
1
−
∑
−







1
2
aNt
i
aNt
i
s
π
( )
а
( )
б
( )
в
X t
( )
X t
( )
X t
( )
s













Sm + Gd + Nd + Ce
Sm + Gd + Nd + Ce
Sm + Gd + Nd + Ce

5
5
5
4
4
4
Tb
Tb
Tb
3
3
3
Dy
Dy
Dy
2
2
2
1
1
1
Y
Y
Er
Er
0
0
0
1 2
2
3 4
4
5
1
6
6
7
2
8
8
9
3
10
10
11
16
12
12
13
18 2022 24 26
14
14
t
t
t
Рис. 3. Профили выходных концентраций после двух последовательных загрузок раствора РЗЭ в каскадах из 100 смесительно-отстойных экстракторов при длительности каждой загрузки ts = 0.2 и задержке органической фазы в экстракторах S = 0.8. 
а – загрузка 1; б – загрузка 2; в – загрузка 3; рассчитанные по уравнениям (2), (6) и (8). Интервал между загрузками tin=13.3.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ      том 58       № 5       2024

КОСТАНЯН и др.	
длительности загрузки раствора РЗЭ ts = 0.2 и 
задержке органической фазы в экстракторах 
S = 0.8, рассчитанные по уравнениям (2), (6) 
и  (8). Результаты расчета свидетельствуют о 
возможности выделения из исходного раствора 
5 фракций элементов: группы Sm+Gd+Nd+Ce 
и сверхчистые фракции Tb, Dy, Y и Er. 
Производительность и эффективность хроматографического процесса разделения в каскаде 
экстракторов определяется длительностью периодов подачи раствора РЗМ в каскад, числом 
аппаратов в каскаде и величиной задержки органической фазы в экстракторах (параметра S). 
С помощью зависимостей (1)–(8) можно провести моделирование процессов разделения РЗМ 
методом элюентной хроматографии в каскаде 
смесительно-отстойных экстракторов и определить условия проведения этих процессов, которые обеспечивают разумный компромисс между 
производительностью и чистотой получаемых 
продуктов.
Разделение 
РЗЭ 
в 
каскаде 
смесительно-отстойных экстракторов в режиме рециркуляционной 
 
хроматографии. Для уменьшения числа аппаратов, повышения качества получаемых продуктов и сокращения расхода реагентов процесс 
разделения РЗЭ можно проводить в замкнутом циркуляционном контуре, включающем 
каскад смесительно-отстойных экстракторов 
и систему рецикла потока водной фазы, состоящую из насоса, соединительных трубопрово( )
а
( )
б
дов, детектора и других контрольно-измерительных приборов. На рис. 4 приведены два 
варианта схемы соединения ступеней каскада 
экстракторов при работе в режиме рециркуляционной хроматографии: без трубопровода рецикла (а) и с трубопроводом рецикла (б), когда 
выходящий из системы поток водной фазы через длинный трубопровод рецикла подается на 
ее вход. Процесс разделения РЗЭ проводится 
следующим образом: через определенные интервалы времени контур размыкается, и в первый экстрактор каскада с расходом, равным 
скорости циркуляции проточной фазы в контуре, подается раствор РЗЭ. После завершения 
загрузки раствора РЗЭ контур замыкается, и в 
течение определенного числа циклов рециркуляции происходит разделение элементов, затем контур размыкается, и в установку подается водная фаза, с которой выводятся фракции 
отдельных элементов или группы элементов. 
При многократном прохождении раствора РЗЭ 
через каскад повышается степень разделения 
элементов вследствие увеличения числа теоретических ступеней в процессе разделения. 
Однако при этом одновременно происходит 
сближение хроматограмм соседних циклов, 
что ограничивает количество циклов разделения.
Следует отметить, что загрузка в каскад раствора РЗЭ и вывод из него фракций элементов 
может производиться в различные периоды времени. 
Математическую модель процесса разделения 
в каскаде смесительно-отстойных экстракторов 
в режиме рециркуляционной хроматографии 
при однократной загрузке раствора РЗЭ можно 
представить следующими уравнениями:
N
k + 1
k
t
n
b
ts
≥(
)
,
−
+
1
              
      
1
1
aN t
n
b t
k
×
−
−
−
(
) −
(
)
s
,
(
) =
X n t
t e
s
1
−+


aN t
n
b
t
1
s
nN
i
−
−
(
)
−
(
)




(9)
nN
i
1
!
nN
−
+
(
)






.
×
3
3


1
1
∑


aNt
i
s
i
s
e
aNt
−
−
∑
1
1
1
i




2
2
−
(
)
−
(
)









!

N
1
1
aN t
n
b t
1
−
−
−
(
) −
(
)
s
,
 
 (10)
(
) =
×
X n t
e
t
s


exp(
)
nN
i
1
−
+
Рис. 4. Схемы соединения ступеней каскада экстракторов 
при работе в режиме рециркуляционной хроматографии: 
а – без трубопровода рецикла; б – с трубопроводом рецикла.
nN
i
2
1
π
−
+
(
)
−+


aN t
n
nN
−
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ      том 58       № 5       2024
s
nN
i










.
×


1
∑
1
b
t
nN
i
1
1
−
(
)
−
(
)
−
+












−
1
e
i
i
aN
aNt
i
s
exp( )
ts
i






−

aN t
n
b t
1
−
−
−
(
) −
(
)
	
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ РАЗДЕЛЕНИЯ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ...	
539
s
,
(
) =
×
X n t
e
t
s


exp(
)
nN
i
1
−
+
nN
i
2
1
π
−
+
(
)
1
−+


aN t
n
nN
−
s
nN
i










−
(
)
−
(
)
.
×


1
∑
b
t
nN
i
1
1
−
+







aN
aNt
i
s
exp( )
e
i
i
−
1
−
∑
t
i
s
i







1
2
aNt
i
π
s


















12
X n t
a
N
,
×
2 2
      
    (11)
Na t
n
2
12
π
s
(
) =
+
(
)
2


N
n
at
ab n
at
3
2
2
1
2
s
exp
×
−
+
+
−
(
) −
(
)


,


Na
2
2 2
12
t
n
s +
(
)


ра поток через него движется в режиме идеального вытеснения. 
В расчетах по уравнению (9) при величине параметра N ≥ 20 – 50 и числе циклов n > 2 – 5, 
как и в случае уравнения (1), могут возникнуть 
проблемы, связанные с вычислением факториалов, поэтому в таких случаях следует пользоваться уравнением (10). При N > 50 и ts < 0.2 расчеты 
можно проводить по более простому уравнению (11), полученному на основе распределения 
Гаусса. 
Уравнения (9)–(11) описывают профили концентраций в отдельных циклах циркуляции без 
учета влияния (сближения) концентрационных 
профилей соседних циклов. Для учета этого явления и описания изменения концентрационного профиля в течение всего времени циркуляции 
необходимо суммировать профили концентраций отдельных циклов. Уравнения (9)–(11) при 
этом преобразуются к виду:
aN t t
−
−
(
)
n
jN aN j
b
     
×
n
s
( ) =
i
=
=
−
(
)
∑∑
1
1
1
        X
t
e
t
e
s
j
jN
i
1
−+


aN t
j
b
t
s
−
−
(
)
−
(
)



(12)
jN
i
1
!
1

−
+
(
)






.
×


1



aNt
i
s
i
s
e
aNt
где n – номер цикла и количество циклов циркуляции элемента через установку; b = Vr /Vс – отношение объемов системы рецикла Vr и каскада 
экстракторов Vс.
Уравнения 
(9)–(11) 
являются 
аналогами 
уравнений (1), (2) и (4) применительно к режиму 
рециркуляционной хроматографии. При выводе 
этих уравнений принято, что при использовании 
в системе рецикла трубопровода малого диамет1
−
−
∑
1
1
i




−
(
)
−
(
)



!






( )
а
( )
б
X n t
( , )
X n t
( , )
Sm + Gd + Nd + Ce
Y
0.4
3
Tb
0.3
Er
2
Dy
0.2
Y
1
0.1
Er
0
0
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
t
Рис. 5. Результаты моделирования периодического процесса разделения РЗЭ в каскаде из 50 смесительно-отстойных экстракторов в режиме рециркуляционной хроматографии. Параметры процесса: ts = 0.3, S = 0.5, b = 1.5.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ      том 58       № 5       2024