Изображение квантовых процессов. Начальный курс квантовой теории и рассуждений на диаграммах

Боб Коке
Оксфордский университет
Алекс Киссинджер
Университет Радбауд
Изображение квантовых процессов
Начальный курс квантовой теории  
и рассуждений на диаграммах

Bob Coecke
University of Oxford
Aleks Kissinger
Radboud University
Picturing  
quantum processes
A first course in quantum theory  
and diagrammatic reasoning

Боб Коке
Оксфордский университет
Алекс Киссинджер
Университет Радбауд
Изображение  
квантовых процессов
Начальный курс квантовой теории  
и рассуждений на диаграммах
Москва, 2019

УДК 517.982.224
ББК 22.12
К55
Коке Б., Киссинджер А.
К55	
Изображение квантовых процессов / пер. с анг. А. А. Слинкина. – М.: ДМК 
Пресс, 2019. – 880 с.: ил. 
ISBN 978-5-97060-727-5
Эта книга – живое изложение великолепного подхода авторов к квантовым процессам.
Не имеющие аналогов особенности квантового мира в этой книге объясняются на 
языке диаграмм – новаторском наглядном методе изложения сложных теорий.
Применяемый формализм позволяет выработать интуитивное понимание квантовых особенностей без сложных вычислений – для чтения достаточно базовой математической подготовки. Это чисто диаграммное изложение квантовой теории – плод 
10-летних исследований, объединяющий классические методы линейной алгебры 
и гильбертовых пространств с передовыми достижениями в области квантовых вычислений и оснований квантовой теории.
Книга написана простым языком, с юмором и включает свыше 100 упражнений.
Издание будет полезно в качестве начального курса по основаниям квантовой теории 
и квантовым вычислениям для студентов, а также для ученых из разных областей – 
физики, биологии, лингвистики и когнистивистики.
УДК  517.982.224
ББК  22.12
Printed in the United Kingdom by TJ International Ltd. Padstow Cornwall. Copyright © 2017 Bob 
Coecke and Aleks Kissinger. Russian-language edition copyright © 2019 by DMK Press. All rights 
reserved.
Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой 
бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав.
ISBN 978-1-107-10422-8 (анг.)	
Copyright © 2017 Bob Coecke and Aleks Kissinger
ISBN 978-5-97060-727-5 (рус.)	
©  Оформление, издание, перевод, ДМК Пресс, 2019

Содержание
Предисловие.
........................................................................................................................12
Глава 1. Введение...............................................................................................................17
1.1. Пингвины и белый медведь...............................................................................................17
1.2. Так что же тут нового?........................................................................................................21
1.2.1. Новое отношение к квантовой теории: особенности...............................................22
1.2.2. Новый вид математики: диаграммы.........................................................................25
1.2.3. Новое основание физики: процессные теории.........................................................27
1.2.4. Новая парадигма: квантовый пикторализм.
.............................................................29
1.3. Исторические замечания и ссылки...................................................................................31
Глава 2. Как читать эту книгу.
........................................................................................35
2.1. Кто вы и чего вы хотите?....................................................................................................35
2.2. Меню....................................................................................................................................36
2.2.1. Как эволюционируют диаграммы в этой книге........................................................36
2.2.2. Голливудский трейлер.................................................................................................39
2.2.3. Промежуточное синтаксическое загрязнение..........................................................40
2.2.4. Итоги, исторические замечания, ссылки, эпиграфы................................................41
2.2.5. Заголовки со звездочкой и материал повышенной сложности...............................41
2.3. Часто задаваемые вопросы................................................................................................42
Глава 3. Процессы как диаграммы.............................................................................45
3.1. От процессов к диаграммам.
..............................................................................................46
3.1.1. Процессы – блоки, системы – провода.
......................................................................46
3.1.2. Процессные теории.....................................................................................................49
3.1.3. Диаграммы – это математика.
....................................................................................52
3.1.4. Процессные равенства................................................................................................55
3.1.5. Подстановка диаграмм...............................................................................................59
3.2. Схемные диаграммы.
..........................................................................................................61
3.2.1. Параллельная композиция.........................................................................................61
3.2.2. Последовательная композиция..................................................................................62
3.2.3. Два эквивалентных определения схем......................................................................64
3.2.4. Диаграммы лучше алгебры.
........................................................................................67
3.3. Функции и отношения как процессы................................................................................70
3.3.1. Множества....................................................................................................................70
3.3.2. Функции.......................................................................................................................72
3.3.3. Отношения...................................................................................................................74
3.3.4. Сравнение функций с отношениями.........................................................................77
3.4. Специальные процессы......................................................................................................77
3.4.1. Состояния, эффекты и числа......................................................................................77
3.4.2. Как выразить невозможное: нулевые диаграммы....................................................85
3.4.3. Процессы, равные «с точностью до числа»................................................................86
3.4.4. Нотация Дирака...........................................................................................................88
3.5. Итоги: что следует запомнить...........................................................................................90

6    Содержание
3.6. Дополнительный материал*..............................................................................................93
3.6.1. Абстрактные тензорные системы*.............................................................................94
3.6.2. Симметричные моноидальные категории*..............................................................96
3.6.3. Диаграммы общего вида и схемы*.
............................................................................98
3.7. Исторические замечания и ссылки....................................................................................99
Глава 4. Струнные диаграммы.................................................................................... 102
4.1. Чашки, крышки и струнные диаграммы......................................................................... 103
4.1.1. Разделимость............................................................................................................. 104
4.1.2. Двойственность процессов и состояний.................................................................. 107
4.1.3. Уравнения разгибания.............................................................................................. 110
4.1.4. Струнные диаграммы.
............................................................................................... 112
4.2. Транспонирование и след................................................................................................ 114
4.2.1. Транспонирование.................................................................................................... 115
4.2.2. Транспонирование составных систем..................................................................... 120
4.2.3. След и частичный след.............................................................................................. 122
4.3. Отражение диаграмм.
....................................................................................................... 124
4.3.1. Адъюнкция.
................................................................................................................ 124
4.3.2. Сопряжение.
............................................................................................................... 129
4.3.3. Внутреннее произведение........................................................................................ 134
4.3.4. Унитарность............................................................................................................... 138
4.3.5. Положительность.
...................................................................................................... 139
4.3.6. ⊗-положительность.................................................................................................. 141
4.3.7. Проекторы.................................................................................................................. 143
4.4. Квантовые особенности, выводимые из струнных диаграмм.
...................................... 146
4.4.1. Теорема о невозможности универсальной разделимости..................................... 147
4.4.2. Две теоремы о невозможности клонирования.
....................................................... 151
4.4.3. Как будто время вспять течет................................................................................... 156
4.4.4. Телепортация............................................................................................................. 159
4.5. Итоги: что следует запомнить......................................................................................... 164
4.6. Дополнительный материал*............................................................................................ 169
4.6.1. Струнные диаграммы в абстрактных тензорных системах*.................................. 169
4.6.2. Двойственные типы и самодвойственность*.......................................................... 170
4.6.3. Инволютивные компактные замкнутые категории*.............................................. 174
4.7. Исторические замечания и ссылки.................................................................................. 175
Глава 5. От диаграмм к гильбертову пространству.......................................... 178
5.1. Базисы и матрицы.
............................................................................................................ 180
5.1.1. Базис для типа.
........................................................................................................... 180
5.1.2. Матрица процесса..................................................................................................... 187
5.1.3. Суммы процессов...................................................................................................... 192
5.1.4. От матриц к процессам............................................................................................. 197
5.1.5. Матрицы изометрических и унитарных процессов............................................... 203
5.1.6. Матрицы самоадъюнктных и положительных процессов.
..................................... 207
5.1.7. Следы матриц.
............................................................................................................ 211
5.2. Матричное исчисление.
.................................................................................................... 213
5.2.1. Последовательная композиция матриц.
.................................................................. 213
5.2.2. Параллельная композиция матриц.
......................................................................... 214
5.2.3. Матричная форма чашек и крышек......................................................................... 221
5.2.5. Матрицы как процессные теории............................................................................ 224
5.3. Гильбертовы пространства.
.............................................................................................. 227

Содержание    7
5.3.1. От диаграмм к линейным отображениям и гильбертовым пространствам......... 227
5.3.2. От сопряжения к положительности.
......................................................................... 229
5.3.3. Почему математики любят комплексные числа..................................................... 231
5.3.4. Классические логические вентили как линейные отображения........................... 237
5.3.5. X-базис и линейное отображение Адамара............................................................. 240
5.3.6. Базис Белла и отображения Белла............................................................................ 245
5.4. Гильбертовы пространства и диаграммы....................................................................... 250
5.4.1. Струнные диаграммы полны относительно линейных отображений.
.................. 251
5.4.2. Теоретико-множественное определение гильбертовых пространств.
.................. 253
5.5. Итоги: что следует запомнить......................................................................................... 261
5.6. Дополнительный материал*............................................................................................ 266
5.6.1. За пределами конечного числа измерений*.
........................................................... 267
5.6.2. Категории с суммами и базисами*.
.......................................................................... 269
5.6.3. Суммы в теории узлов*............................................................................................. 271
5.6.4. Эквивалентность симметричных моноидальных категорий*............................... 272
5.7. Исторические замечания и ссылки.................................................................................. 278
Глава 6. Квантовые процессы..................................................................................... 281
6.1. Переход к чистым квантовым отображениям путем дублирования............................ 283
6.1.1. Дублирование порождает вероятности.
................................................................... 284
6.1.2. Дублирование устраняет глобальные фазы............................................................. 287
6.1.3. Процессная теория чистых квантовых отображений............................................. 291
6.1.4. Что сохраняется при дублировании......................................................................... 296
6.1.5. Что не сохраняется при дублировании.................................................................... 301
6.2. От отбрасывания к квантовым отображениям............................................................... 305
6.2.1. Отбрасывание............................................................................................................ 305
6.2.2. Нечистота................................................................................................................... 310
6.2.3. Вес и причинность для квантовых состояний......................................................... 313
6.2.4. Процессная теория квантовых отображений.......................................................... 319
6.2.5. Каузальность квантовых отображений.................................................................... 324
6.2.6. От каузальности к изометричности и унитарности............................................... 326
6.2.7. Разложение Крауса и смешивание........................................................................... 330
6.2.8. Теорема о нераспространении................................................................................. 337
6.3. Относительность в процессных теориях.
........................................................................ 341
6.3.1. Причинная структура................................................................................................ 342
6.3.2. Из причинности следует несигнальность................................................................ 347
6.3.3. Причинность и ковариантность............................................................................... 348
6.4. Квантовые процессы.
........................................................................................................ 350
6.4.1. Недетерминированные квантовые процессы......................................................... 352
6.4.2. Недетерминированная реализация всех квантовых отображений....................... 355
6.4.3. Очищение квантовых процессов.
............................................................................. 358
6.4.4. Для телепортации необходимо классическое взаимодействие............................. 361
6.4.5. Управляемые процессы.
............................................................................................ 363
6.4.6. Квантовая телепортация в деталях.......................................................................... 365
6.5. Итоги: что следует запомнить......................................................................................... 368
6.6. Дополнительный материал*............................................................................................ 372
6.6.1. Дублирование общих процессных теорий*............................................................. 372
6.6.2. Аксиоматизация дублирования*.............................................................................. 374
6.6.3. А теперь кое-что из другой области*.
....................................................................... 376
6.7. Исторические замечания и ссылки.................................................................................. 377

8    Содержание
Глава 7. Квантовые измерения.
.................................................................................. 380
7.1. Измерения ОНБ................................................................................................................. 382
7.1.1. Введение в измерительные приборы от додо.
......................................................... 382
7.1.2. Возмущающие измерения ОНБ................................................................................ 385
7.1.3. Невозмущающие измерения ОНБ............................................................................ 390
7.1.4. Суперпозиция и интерференция.............................................................................. 391
7.1.5. Наилучшая из имеющихся альтернатив наблюдению............................................ 395
7.2. Динамика измерений и квантовые протоколы.............................................................. 396
7.2.1. Индуцированная измерением динамика I: обратное действие.
............................ 397
7.2.2. Пример: вентильная телепортация.......................................................................... 400
7.2.3. Индуцированная измерением динамика II: коллапс.
............................................. 402
7.2.4. Пример: перекоммутация запутывания.................................................................. 404
7.3. Более общие виды измерения.......................................................................................... 406
7.3.1. Измерения фон Неймана.......................................................................................... 406
7.3.2. Квантовый формализм фон Неймана...................................................................... 412
7.3.3. Измерения POVM....................................................................................................... 416
7.3.4. Теоремы Наймарка и Озавы о дилатации.
............................................................... 418
7.4. Томография.
....................................................................................................................... 421
7.4.1. Томография состояния.............................................................................................. 421
7.4.2. Информационно полные измерения....................................................................... 424
7.4.3. Локальная томография = процессная томография.
................................................. 426
7.5. Итоги: что следует запомнить.
......................................................................................... 428
7.6. Дополнительный материал*.
............................................................................................ 432
7.6.1. А существуют ли вообще квантовые измерения?*.................................................. 432
7.6.2. Проекторы и квантовая логика*............................................................................... 435
7.6.3. Невозможность локальной томографии*.
................................................................ 437
7.7. Исторические замечания и ссылки.................................................................................. 439
Глава 8. Изображение классически-квантовых процессов.
.......................... 441
8.1. Классические системы как провода................................................................................ 445
8.1.1. Двойные и одиночные провода.
............................................................................... 446
8.1.2. Пример: плотное кодирование.
................................................................................ 449
8.1.3. Измеритель и кодировщик....................................................................................... 451
8.1.4. Классически-квантовые отображения..................................................................... 453
8.1.5. Удаление и причинность.
.......................................................................................... 457
8.2. От пауков к классическим отображениям...................................................................... 460
8.2.1. Классические отображения.
...................................................................................... 461
8.2.2. Копирование и удаление.
.......................................................................................... 464
8.2.3. Пауки.......................................................................................................................... 474
8.2.4. Если нечто ведет себя как паук, то это и есть паук.
................................................. 481
8.2.5. Все линейные отображения как пауки + изометрии.
.............................................. 484
8.2.6. Паучьи диаграммы и полнота.................................................................................. 489
8.3. От пауков к квантовым отображениям........................................................................... 491
8.3.1. Измеритель и кодировщик как пауки...................................................................... 492
8.3.2. Декогеренция.
............................................................................................................ 497
8.3.3. Классические, квантовые и гибридные пауки........................................................ 502
8.3.4. Смешивание с пауками............................................................................................. 507
8.3.5. Запутывание для нечистых состояний.................................................................... 511
8.4. Измерения и протоколы с участием пауков................................................................... 514
8.4.1. Измерения ОНБ......................................................................................................... 515
8.4.2. Управляемые унитарные процессы......................................................................... 518

Содержание    9
8.4.3. Телепортация............................................................................................................. 521
8.4.4. Плотное кодирование.
............................................................................................... 524
8.4.5. Перекоммутация запутывания.
................................................................................ 525
8.4.6. Измерения фон Неймана.......................................................................................... 526
8.4.7. Измерения POVM и теорема Наймарка о дилатации.
............................................. 529
8.5. Итоги: что следует запомнить......................................................................................... 530
8.6. Дополнительный материал*............................................................................................ 537
8.6.1. Пауки как алгебры Фробениуса*.............................................................................. 538
8.6.2. Некоммутативные пауки*.
........................................................................................ 541
8.6.3. Волосатые пауки*...................................................................................................... 544
8.6.4. Пауки как слова*........................................................................................................ 547
8.7. Исторические замечания и ссылки.................................................................................. 547
Глава 9. Изображение фаз и дополнительности.
............................................... 550
9.1. Украшенные пауки.
........................................................................................................... 552
9.1.1. Несмещенность и фазовые состояния..................................................................... 552
9.1.2. Фазовые пауки........................................................................................................... 558
9.1.3. Слияние фазовых пауков.......................................................................................... 560
9.1.4. Фазовая группа.......................................................................................................... 563
9.1.5. Фазовые вентили....................................................................................................... 566
9.2. Многоцветные пауки........................................................................................................ 570
9.2.1. Дополнительные пауки............................................................................................. 570
9.2.2. Дополнительность и несмещенность.
...................................................................... 576
9.2.3. От дополнительности к вентилю CNOT................................................................... 582
9.2.4. «Цвета» классических данных.................................................................................. 585
9.2.5. Дополнительные измерения.................................................................................... 587
9.2.6. Квантовое распределение ключей........................................................................... 591
9.2.7. Телепортация с дополнительными измерениями.................................................. 594
9.3. Сильная дополнительность.............................................................................................. 600
9.3.1. Недостающие правила.............................................................................................. 601
9.3.2. Моногамия сильной дополнительности.................................................................. 604
9.3.3. Лики сильной дополнительности.
............................................................................ 605
9.3.4. Классическая подгруппа........................................................................................... 610
9.3.5. От пауков к отображениям четности....................................................................... 617
9.3.6. Классификация сильной дополнительности........................................................... 621
9.4. ZX-исчисление.
.................................................................................................................. 624
9.4.1. ZX-диаграммы универсальны.................................................................................. 626
9.4.2. ZX-исчисление для диаграмм Клиффорда.
.............................................................. 629
9.4.3. ZX-исчисление для додо: только диаграммы и ничего более................................ 634
9.4.4. ZX для профессионалов: строим собственное исчисление.................................... 640
9.4.5. ZX для богов: полнота............................................................................................... 645
9.4.6. Что нам дало полное ZX-исчисление....................................................................... 653
9.5. Итоги: что следует запомнить......................................................................................... 655
9.6. Дополнительный материал*............................................................................................ 661
9.6.1. Сильно дополнительные пауки как алгебра Хопфа*.
.............................................. 661
9.6.2. Сильная дополнительность и нормальные формы*............................................... 664
9.7. Исторические замечания и ссылки.................................................................................. 667
Глава 10. Квантовая теория: полная картина..................................................... 670
10.1. Диаграммы...................................................................................................................... 671
10.1.1. Схемные диаграммы............................................................................................... 671

10    Содержание
10.1.2. Струнные диаграммы.
............................................................................................. 673
10.1.3. Дублированные диаграммы.
................................................................................... 675
10.1.4. Паучьи диаграммы.................................................................................................. 677
10.1.5. ZX-диаграммы......................................................................................................... 680
10.2. Процессы.
......................................................................................................................... 682
10.2.1. Причинность............................................................................................................ 683
10.2.2. Разложение процессов и невозможность распространения................................ 683
10.2.3. Примеры.
.................................................................................................................. 685
10.3. Законы............................................................................................................................. 691
10.3.1. Дополнительность................................................................................................... 691
10.3.2. Сильная дополнительность.
.................................................................................... 694
10.3.3. ZX-исчисление......................................................................................................... 696
10.4. Исторические замечания и ссылки.
............................................................................... 699
Глава 11. Основания квантовой теории................................................................. 701
11.1. Квантовая нелокальность............................................................................................... 701
11.1.1. Уточнения квантовой теории................................................................................. 702
11.1.2. Сценарии ГХЦ–Мермина........................................................................................ 704
11.1.3. Получение противоречия.
....................................................................................... 706
11.2. Квантовоподобные процессные теории.
....................................................................... 708
11.2.1. Дополнительность в теории отношений.
............................................................... 708
11.2.2. Модельная квантовая теория Спеккенса............................................................... 710
11.2.3. Фазы в спек-теории................................................................................................. 714
11.2.4. ZX-исчисление для спек-теории.
............................................................................ 718
11.2.5. Нелокальность в спек-теории?............................................................................... 721
11.3. Итоги: что следует запомнить.
....................................................................................... 723
11.4. Исторические замечания и ссылки.
............................................................................... 724
Глава 12. Квантовые вычисления............................................................................. 726
12.1. Схемная модель.
.............................................................................................................. 727
12.1.1. Квантовые вычисления как ZX-диаграммы.......................................................... 728
12.1.2. Построение квантовых вентилей в виде ZX-диаграмм........................................ 731
12.1.3. Универсальность схем............................................................................................. 738
12.2. Квантовые алгоритмы.................................................................................................... 745
12.2.1. (Ложная?) магия квантового оракула.
.................................................................... 746
12.2.2. Алгоритм Дойча–Йожи........................................................................................... 750
12.2.3. Квантовый поиск..................................................................................................... 755
12.2.4. Задача о скрытой подгруппе.
.................................................................................. 760
12.3. Основанные на измерении квантовые вычисления.................................................... 767
12.3.1. Графовые и кластерные состояния.
........................................................................ 769
12.3.2. Измерение графовых состояний............................................................................ 770
12.3.3. Прямое распространение.
....................................................................................... 772
12.3.4. Прямое распространение с помощью классических проводов.
........................... 775
12.3.5. Универсальность...................................................................................................... 779
12.4. Итоги: что следует запомнить.
....................................................................................... 784
12.5. Исторические замечания и ссылки.
............................................................................... 786
Глава 13. Квантовые ресурсы..................................................................................... 787
13.1. Ресурсные теории.
........................................................................................................... 788
13.1.1. Бесплатные процессы.
............................................................................................. 789
13.1.2. Сравнение ресурсов.
................................................................................................ 791