Мембраны и мембранные технологии, 2024, № 1

Российская академия наук
МЕМБРАНЫ И МЕМБРАННЫЕ
ТЕХНОЛОГИИ
 
Том 14    № 1    2024    Январь—Февраль
Журнал основан в 2010 г.
Выходит 6 раз в год
ISSN: 2218-1172
Главный редактор
Академик РАН А.Б. Ярославцев
З 
ам. главного редактора
В.В. Волков, А.Н. Филиппов
Редакционная коллегия
П.Ю. Апель, М.Г. Барышев, А.В. Бильдюкевич,
О.В. Бобрешова, А.В. Волков, В.М. Воротынцев,
В.Г. Дзюбенко, В.П. Дубяга, В.И. Заболоцкий,
В.М. Иевлев, А.В. Лукашин, Д.А. Медведев,
В.В. Никоненко, А.А. Пантелеев, А.В. Пенькова,
А.Г. Первов, И.И. Рыжков, В.В. Тепляков,
Л.А. Паренаго (ответственный секретарь),
Bart Van der Bruggen, Joao Crespo, Enrico Drioli,
Wojciech Kujawski, Gerald Pourcelly,
Victor M. Starov, Anthony Szymczyk
Заведующая редакцией
И.В. Петрова
Адрес редакции: 119991, ГСП-1 Москва, Ленинский просп., 29, ИНХС РАН
E-mail: membrane@ips.ac.ru.
М 
осква
Ф 
ГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала «Мембраны 
     и мембранные технологии» (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 14, номер 1, 2024
Моделирование переноса ионов в трехслойной системе с ионообменной мембраной на основе 
уравнений Нернста–Планка и тока смещения
А. М. Узденова
3
Межслойное сопротивление бислойной мембраны газопереносу
В. В. Угрозов 
13
Перспективы развития водородной энергетики. Полимерные мембраны для топливных 
элементов и электролизеров
И. А. Стенина, А. Б. Ярославцев 
19
Cинтез и газотранспортные свойства полинафтоиленбензимидазолов с кето- и сульфоновой 
мостиковыми группами
А. Ю. Алентьев, И. И. Пономарев, Ю. А. Волкова, 
Р. Ю. Никифоров, Д. А. Сырцова, Н. А. Белов
33
Разделение водонефтяной эмульсии полиамидными мембранами, обработанными плазмой 
коронного разряда
В. О. Дряхлов, И. Г. Шайхиев, Д. Д. Фазуллин,  
И. Р. Низамеев, М. Ф..Галиханов, И. Ф. Мухамадиев
46
Поли(уретан-имиды) и поли(эфир-имиды) как перспективные материалы для разработки 
газоразделительных и первапорационных мембран
А. Л. Диденко, А. С. Нестерова, Т. С. Анохина, 
И. Л. Борисов, В. В. Кудрявцев
53

Contents
Vol. 14, No. 1, 2024
Modeling of Ion Transport in a Three-Layer System with an Ion-Exchange Membrane Based on the 
Nernst-Planck and Displacement Current Equations
A. M. Uzdenova 
3
Interlayer Resistance of Bilayer Membrane to Gas Permeation
V. V. Ugrozov 
13
Prospects for the Development of Hydrogen Energy. Polymer Membranes for  
Fuel Cells and Electrolysers
I. A. Stenina, A. B. Yaroslavtsev 
19
Synthesis and Gas Transport Properties of Polynaphthoylenebenzimidazoles with Keto- and Sulfonic 
Bridging Groups
A. Yu. Alentiev, I. I. Ponomarev, Yu. A. Volkova, R. Yu. Nikiforov, 
D. A. Syrtsova, N. A. Belov 
33
Separation of Water-Oil Emulsion by Polyamide Membranes Treated with Corona Plasma
V. O. Dryakhlov, I. G. Shaikhiev, D. D. Fazullin, I. R. Nizameev,  
M. F. Galikhanov, I. F. Mukhamadiev 
46
Poly(urethane-imides) as Perspective Materials for the Development of Gas Separation, Pervaporation 
and Filtration Membranes
A. L. Didenko, A. S. Nesterova, T. S. Anokhina,  
I. L. Borisov, V. V. Kudryavtsev 
53

МЕМБРАНЫ И МЕМБРАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ,  2024, том 14, № 1,  с.  3–12
УДК 517.958; 544.6
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ИОНОВ В ТРЕХСЛОЙНОЙ 
СИСТЕМЕ С ИОНООБМЕННОЙ МЕМБРАНОЙ НА ОСНОВЕ 
УРАВНЕНИЙ НЕРНСТА‒ПЛАНКА И ТОКА СМЕЩЕНИЯ
© 2024 г.  А. М. Узденоваa, *
aКарачаево-Черкесский государственный университет имени У. Д. Алиева,  
ул. Ленина, 29, Карачаевск, 369200 Россия
*e-mail: uzd_am@mail.ru 
Поступила в редакцию 10.07.2023 г.
После доработки 18.09.2023 г. 
Принята к публикации 09.10.2023 г. 
Моделирование переноса ионов в трехслойной системе, содержащей ионообменную мембрану 
и два смежных с ней диффузионных слоя, позволяет описывать селективность мембраны путем 
определения плотности ее фиксированного заряда. Для теоретического анализа переноса ионов 
в таких системах широко используются уравнения Нернста–Планка и Пуассона. В статье показано, что в гальванодинамическом режиме функционирования мембранной системы, когда задается плотность протекающего тока, уравнение Пуассона в модели переноса ионов может быть 
заменено на уравнение для тока смещения. Построена новая модель в виде краевой задачи для 
системы уравнений Нернста–Планка и уравнения для тока смещения, на основе которой рассчитаны концентрации ионов, напряженность электрического поля, плотность пространственного заряда и хронопотенциограмма ионообменной мембраны и смежных с ней диффузионных 
слоев в режиме постоянного тока. Результаты расчета предлагаемой модели хорошо согласуются 
с результатами моделирования на основе ранее описанного подхода с использованием уравнений 
Нернста–Планка и Пуассона, а также с аналитической оценкой переходного времени. Показано, 
что в случае трехслойной геометрии задачи требуемая точность численного расчета с использованием предлагаемой модели достигается при меньшем количестве элементов вычислительной 
сетки и занимает меньше (в 26.7 раза для рассматриваемых параметров системы) процессорного 
времени по сравнению с моделью на основе уравнений Нернста–Планка и Пуассона.
Ключевые слова: ионообменная мембрана, трехслойная мембранная система, перенос ионов, постоянный ток, уравнения Нернста–Планка–Пуассона, уравнение для тока смещения
DOI: 10.31857/S2218117224010012, EDN: OKZVCE
ВВЕДЕНИЕ
описание явлений переноса в многокомпонентных растворах электролитов основано либо на так 
называемом подходе Стефана–Максвелла, либо на 
термодинамике необратимых процессов, связывающей потоки тепла, электричества, импульса и 
отдельных компонентов с соответствующими движущими силами в системе феноменологических 
уравнений [8–10].
Более упрощенный подход к описанию процесса массопереноса в растворах электролитов дает 
уравнение переноса Нернста–Планка, учитывающее диффузию, миграцию ионов и конвекцию раствора. Уравнение Нернста–Планка получено для 
разбавленных растворов и требует задания таких 
параметров, как коэффициент диффузии и подвижность ионов, которые считаются постоянными. 
Электромембранные процессы являются технологической основой электродиализных аппаратов, нано- и микрофлюидных устройств, которые 
применяются при очистке растворов, переработке 
сельскохозяйственной продукции, выполнении химических анализов и многих других сферах человеческой деятельности [1–5]. 
Математическое моделирование является важным инструментом исследования мембранных систем, дополняющим экспериментальные знания. 
Для математического описания явлений массопереноса в растворах электролитов в литературе описано несколько соотношений, подробные обзоры 
которых даны в работах [6–8]. Наиболее полное 
3

УЗДЕНОВА 
 
согласуются достаточно хорошо, но отличаются 
требуемым временем вычислений и точностью 
расчета. В работе [24] селективные свойства мембраны (которая исключена из геометрии задачи) 
моделируются с помощью граничных условий. Математические модели переноса ионов в обедненном диффузионном слое у поверхности мембраны 
имеют важное значение для исследования концентрационной поляризации, формирования расширенной ОПЗ [13]; модели переноса ионов в камере 
обессоливания важны для учета влияния обессоливания раствора под действием электрического поля 
на процесс массопереноса [25–28]. Особое значение также имеют многослойные математические 
модели, включающие в рассмотрение мембрану и 
смежные с ней диффузионные слои. В этом случае 
в математическую постановку вводится параметр 
плотности фиксированного заряда в мембране, позволяющий описывать селективный перенос ионов 
в мембране [29–32].
В данной статье разработана новая математическая модель переноса ионов в трехслойной системе 
в виде краевой задачи для системы уравнений НПС, 
позволяющая численно рассчитать концентрации 
ионов, напряженность электрического поля, пространственный заряд и хронопотенциограмму ионообменной мембраны и двух смежных с ней диффузионных слоев в гальванодинамическом режиме. 
В работе выполнено сопоставление результатов расчетов и сравнение точности подходов к моделированию переноса ионов в трехслойной мембранной 
системе на основе уравнений НПП и НПС.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Подробный обзор других ограничений уравнений 
Нернста–Планка можно найти в [6].
Уравнения Нернста–Планка вместе с уравнением Пуассона (НПП) для электрического потенциала образуют систему связанных уравнений, 
которая широко используется при исследованиях 
электромембранных систем [6–12]. Эта система 
позволяет описать нарушение электронейтральности раствора и образование области пространственного заряда (ОПЗ) вблизи поверхности мембраны, обусловленное ее селективностью [13, 14]. 
Уравнения НПП совместно с уравнениями Навье–Стокса (которые описывают гидродинамику 
раствора электролита) позволяют строить математические модели, посвященные изучению влияния 
ОПЗ и связанных с ним явлений на эффективность 
массопереноса [15–17].
Другим подходом к теоретическому описанию 
электрического поля в задачах переноса ионов в 
мембранных системах является определение напряженности электрического поля на основе уравнения для тока смещения, то есть модель строится 
на основе уравнений Нернста–Планка и уравнения для тока смещения (НПС). Впервые возможность замены уравнения Пуассона уравнением 
для тока смещения была отмечена Коэном Г. и 
Кули Дж. [18]. В работе [18] был выполнен расчет задачи переноса ионов на основе уравнений 
Нернста-Планка и тока смещения в полностью 
механически проницаемой мембране, без описания других ее физических свойств. Брумлив Т.Р. 
и Бак Р.П. [19] на основе данного подхода выполнили расчет частотных характеристик импеданса 
пермселективной мембраны при постоянном допредельном электродиффузионном токе. Уртенов М.Х. использовал уравнение для напряженности электрического поля при декомпозиции 
нестационарной одномерной системы уравнений 
НПП [20]. Позже декомпозиция системы уравнений НПП была выполнена в двумерном и трехмерном случаях для растворов бинарного [21] и 
тернарного электролита [22]. Декомпозиционная 
система уравнений удобна для вывода различных 
упрощенных моделей и применения асимптотических методов [22, 23]. 
В работе [24] на основе уравнений НПС выполнено математическое моделирование переноса ионов и численный расчет концентрационных профилей и напряженности электрического поля в 
обедненном диффузионном слое у поверхности ионообменной мембраны, а также в сечении камеры 
обессоливания, в гальванодинамическом режиме 
(когда задается плотность тока, протекающего через систему). Было показано, что данный подход 
позволяет описать формирование расширенной 
ОПЗ под действием сверхпредельного постоянного тока, так же как и подход на основе уравнений НПП. Результаты подходов НПП и НПС 
Рассмотрим мембранную систему, включающую катионообменную мембрану (толщиной 
d) и два смежных диффузионных слоя, толщина 
которых (δ) для простоты принята одинаковой, 
рис. 1. Предположим, что рассматриваемая мембрана является гомогенной с равномерным распределением фиксированных заряженных групп 
с концентрацией F. Пусть мембрана помещена 
в раствор бинарного электролита (с концентрацией c0) и течение раствора ламинарное. Также 
предположим, что рассматриваемая система является частью достаточно короткой электродиализной ячейки, так что толщина диффузионного 
слоя мала по сравнению с межмембранным расстоянием и приближенно постоянна в тангенциальном направлении [6]. Тогда можно рассматривать процесс массопереноса в направлении, 
нормальном к поверхности мембраны, без учета 
конвективного переноса (поскольку течение ламинарное). Плотность, температура и диэлектрическая проницаемость раствора считаются постоянными; химические реакции не учитываются. В 
системе течет постоянный ток i.
МЕМБРАНЫ И МЕМБРАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
том 14
№ 1
2024

 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ИОНОВ 
5
Катионообменная 
мембрана
Раствор
электорлита
Раствор
электорлита
с1
i
ք
+
с0
с0
Внешняя граница диффузионного слоя
Внешняя граница диффузионного слоя
с2
d
x
d + δ 
–δ
0
Рис. 1. Схема мембранной системы и профилей концентраций катионов (с1, сплошная линия) и анионов (с2, пунктирная линия) при протекании тока плотностью i.
εr –  диэлектрическая проницаемость раствора; 
F – постоянная Фарадея; R – газовая постоянная; 
T – абсолютная температура. В системе уравнений 
(1)–(3) величины j
j
c c
1
2
1
2
,
,
,
, I  – это неизвестные 
функции координаты x и времени t.
Пусть x – это нормальная к поверхности мембраны координата; x = −G  соответствует внешней границе обедненного диффузионного слоя, 
x
d
=
+ G  – внешней границе обогащенного диффузионного слоя. Перенос ионов в данной системе 
описывается уравнениями Нернста–Планка [9]:
 
j
F
RT z D c
x
D
c
x
n
n
n
n n
n
n
= −
∂
∂
−
∂
∂
=
φ
,
, ,
1 2  
(1)
Задача переноса, как правило, решается относительно концентраций ионов и электрического 
потенциала, с этой целью из уравнений (2) исключаются потоки ионов (с использованием уравнения (1)):
уравнениями материального баланса [9]:
⎛
⎞
 
∂
∂
= −∂
∂
=
c
t
j
x
n
n
n ,
, ,
1 2  
(2) 
 
∂
∂
= −∂
∂
−
∂
∂
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
=
c
t
x
F
RT z D c E
D
c
x
n
n
n
n n
n
n ,
, .
1 2  (4) 
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎠
⎝
и уравнением Пуассона [14]:
2
F z c
z c
x
d
0
(
),
∂
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
 
ε ε
φ
χ
2
1 1
2 2
∂
= −
+
−
≤
≤
0
r
x
F z c
z c
x
(
),
−
+
−
≤
<
δ
0
1 1
2 2
⎩
⎪
⎪
⎪
 (3)
Уравнения для концентраций ионов (4) решаются совместно с уравнением для электрического 
потенциала (3). Граничные условия задаются 
на внешних границах диффузионных слоев при 
x = −G  и x
d
=
+ G , где предполагается выполнение условия электронейтральности раствора, то 
есть
 
и
d
x
d
<
≤
+ δ
,
 
с
t
c
с
d
t
c
n
n
n
(
, )
,
(
, )
,
,
−
=
+
=
=
G
G
0
0
1 2. 
(5) 
Для потенциала на границе x = −G  зададим нулевой потенциал и на границе x
d
=
+ G  условие, 
где 
 – это плотность потока, концентрация, коэффициент диффузии и зарядовое число 
n-го иона соответственно; I  – потенциал электрического поля; ε0 – электрическая постоянная; 
МЕМБРАНЫ И МЕМБРАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
том 14
№ 1
2024

УЗДЕНОВА 
 
которое определяет плотность протекающего тока 
[33]:
 
I 0
0
,
,
t
(
) =
  
⎛
(
, )
δ
1
1
1
напряженности электрического поля введено в 
рамках теории декомпозиции уравнений НПП. 
Выполним подобные преобразования и сформулируем краевую задачу модели на основе уравнений 
НПС для трехслойной системы (мембрана и два 
смежных диффузионных слоя). Умножим каждое 
уравнение (2) на zn  и сложим:
⎜
⎜
⎜
⎜
φ
δ
∂
∂
+
(
) = −
+
∂
+
∂
+
(
, )
2
i
Fz D
c d
t
x
z D c d
t
,
F
+
+
δ
x d
t
RT
1
2
1 1
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
 
F
t z c
z c
F
x z j
z j
∂
∂
+
(
) = −
∂
∂
+
(
)
1 1
2 2
1 1
2 2 .  
(11)
 
 (6)
⎞
(
, )
δ
2
2
2
Fz D
c d
t
x
z D c d
t
(
, )
.
+
∂
+
∂
+
+
δ
2
2
2 2
С использованием уравнения Пуассона (3) и соотношения для тока проводимости уравнение (11) 
можно переписать в виде:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2
⎧
⎞
0
,
,
ε ε
φ
χ
0
r
F
2
∂
∂
−
∂
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟= −∂
∂
≤
≤
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
t
x
F
x i
x
d
∂
+
⎛
⎝
⎠
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
 (12)
.
⎨
2
⎞
δ
δ
ε ε
φ
r
0
2
0
⎛
∂
∂
−
∂
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟= −∂
∂
−
≤
<
<
≤
+
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
t
x
∂
⎝
⎠
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
x i
x
и d
x
d
F ,
В качестве начальных условий используются соотношения равновесия Доннана, которые предполагают, что концентрации ионов и электрический 
потенциал равномерно распределены вплоть до 
границ раствор/мембрана, где есть разрывы [14]:
⎩
⎧
χ
χ
2
0
2 1 2
0
2
2
0
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
 
c
x
c
x
d
c
x
и d
x
d
1
,
(
) =
+ (
) +
(
)
≤
≤
0
,
,
−
≤
<
<
≤
+
δ
δ
, (7)
0
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
В случае, когда концентрация фиксированного 
заряда мембраны F  постоянна, ∂
∂=
F
t
0  и во 
всех трех слоях рассматриваемой системы уравнения (12) имеют форму:
⎧
χ
χ
⎞
2
0
2 1 2
0
2
2
0
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
 
c
x
c
x
d
, (8)
2
0. 
(13)
 
∂
∂
−
∂
∂∂+
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟=
x
x t
i
r
F
ε ε
φ
0
c
x
и d
x
d
2
,
(
) = −
+ (
) +
(
)
≤
≤
0
,
,
−
≤
<
<
≤
+
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎠
0
δ
δ
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎧
⎞
0
0
2
1 2
⎪
⎪
⎪
⎪
x
RT
F
c
c
x
d
,
ln
,
0
2
2
1
0
φ
χ
χ
(
) =
−
+ (
) +
(
)
⎛
⎨
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
≤
≤
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
Таким образом, в одномерном случае плотность 
полного тока itot  не зависит от пространственной 
координаты x  и равна задаваемой плотности тока i:
x
и
,
0
0
. 
(9)
−
≤
<
d
x
d
<
≤
+
δ
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
δ
 
i
i
i
i
tot
c
F
=
+
= . 
(14)
Поэтому из уравнения (14) можно вывести уравнение для напряженности электрического поля 
E
x
= −∂
∂
I
, которое позволяет моделировать 
гальванодинамический режим:
 
H H
0
1 1
2 2
r
E
t
i
F z j
z j
∂
∂
=
−
+
(
). 
(15)
В начальный момент времени предполагается, 
что система находится в равновесии: в диффузионных слоях концентрации ионов обоих сортов 
равны исходной концентрации c0; в мембране концентрации ионов удовлетворяют соотношениям 
равновесия Доннана [14]. Отличие начального значения электрического потенциала в мембране от 
его значения в диффузионных слоях обусловлено 
разностью концентраций ионов.
Плотность полного тока описывается уравнением:
 
i
i
i
tot
F
c
=
+
,  
(10)
Подстановка плотностей потоков ионов из 
уравнений Нернста–Планка (1) в уравнения материального баланса (2) и уравнение для тока смещения (15) дает замкнутую систему уравнений для 
искомых концентраций ионов c1, c2  и напряженности электрического поля E:
где i
F z j
z j
F =
+
(
)
1 1
2 2  – это плотность тока Фарадея 
⎛
⎞
2
 – плот(или тока проводимости), а i
t x
c
r
= −
∂
∂∂
ε ε
φ
0
∂
∂
= −∂
∂
−
∂
∂
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
=
c
t
x
F
RT z D c E
D
c
x
n
n
n
n n
n
n ,
, ,
1 2  (16)
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎠
2
H H
0
1
2
1 1
2
2
2 2
r
E
t
i
F
RT z D c
z D c
E
∂
∂
=
−
+
(
)
+
 
⎞
⎛
1
1
1
2
2
2
F z D
c
x
z D
c
x
+
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟.
 (17)
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎠
ность тока заряжения (или тока смещения), связанного с формированием и изменением пространственного заряда.
Преобразование системы уравнений Нернста–
Планка и Пуассона для слоя электролита позволяет записать уравнение для напряженности 
электрического поля. В работе [21] уравнение для 
МЕМБРАНЫ И МЕМБРАННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
том 14
№ 1
2024