Финансовая математика: методы исследования региональной экономики

НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ ИЗДАНИЯ 
КАФЕДРЫ РЕГИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРИРОДНЫМИ 
РЕСУРСАМИ 
ФАКУЛЬТЕТА ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА И УПРАВЛЕНИЯ ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЕМ 
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ПО ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВУ 
МИНИСТЕРСТВА СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Серия 
Вопросы экономики 
ФИНАНСОВАЯ 
МАТЕМАТИКА 
Методы исследования региональной экономики 
Сборник второй 
Ответственный редактор второго сборника: 
В.С. ГОРБУНОВ 
Ɇɨɫɤɜɚ=OMOP

УДК=PPU=
ББК=SRKR=
МOR
РецензентыW
Омари Николаевич Маргалитадзе - к.э.н., академик Международной 
инженерной академии, почётный гражданин города Ткибули (Грузия), доцент 
Государственного университета по землеустройству; 
Евгений Артурович Наумов - к.э.н., профессор, действительный член Российской 
академии естественных наук, учёный секретарь научного совета РАН по 
комплексным проблемам евразийской экономической интеграции, модернизации и 
устойчивому развитию 
Горбунов ВKСK
Финансовая
математикаW
методы исследования региональной 
ГOR
экономики / Сборник второй / В.С. Горбунов.  - М.: Издательство 
«Научный консультант», 2023.  - 124 с.
=fpBk=VTUJRJVMTSVOJRMJP=
Один из ключевых экономических показателей - доходность земли, классиками 
определялась и как отношение к общим затратам капитала, и как доля в прибыли. В 
настоящее время в условиях смены ориентиров глобальной экономики такие базовые 
понятия трансформируются. Современным экономистам необходимо овладевать новым 
инструментарием и новыми идеями. Это возможно лишь в процессе смены устоявшихся 
принципов и мировоззрения, но для этого нужно для начала ими овладеть. Особенно 
актуально это для подрастающего поколения россиян, формирующих информацию об 
экономическом мире по заготовленным шаблонам. 
========dorbunov=sKpK=
======cinancial= jathematicsW Research Methods of Regional Economics / 
Collection II /  V.S. Gorbunov. - Moscow: Publishing House «Scientific 
consultant», 2023.  - 124 с.
======fpBk=VTUJRJVMTSVOJONJP=
One of the key economic indicators is the profitability of land, which was defined by the 
classics both as a ratio to the total cost of capital and as a share in profit. Currently, in the context 
of changing the orientation of the global economy, such basic concepts are being transformed. 
Modern economists need to master new tools and new ideas. This is possible only in the process 
of changing established principles and worldview, but for this you need to master them first. This 
is especially true for the younger generation of Russians who form information about the 
economic world according to prepared templates. 
ISBN 978-5-907692-50-3 
‹ Горбунов В.С., 2023
‹ Оформление. Издательство «Научный консультант», 2023

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ=
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=S
РАЗДЕЛ=fK=ПРОЦЕНТЫ=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NN
ТЕМА 1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NO=
Начисление процентов в случае переменной процентной ставки ................ 13 
Реинвестирование по ставке простых процентов ........................................... 14 
Определение параметров финансовой операции 
............................................ 15 
ТЕМА 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ=
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NS=
Соотношение множителей наращения............................................................. 17 
Смешанный процент .......................................................................................... 18 
Меняющиеся во времени ставки ...................................................................... 18 
Определение параметров финансовой операции 
............................................ 18 
ТЕМА 3. НОМИНАЛЬНАЯ И ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОЦЕНТНЫЕ  
СТАВКИ=
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=OM=
Номинальная (релятивная или относительная) 
............................................... 20 
Определение величины процентной ставки 
.................................................... 21 
Эффективная процентная ставка ...................................................................... 22 
Непрерывное наращение сложных процентов 
................................................ 23 
ТЕМА 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕССА ДИСКОНТИРОВАНИЯ=KKKKKKKKKKKKKKKKKK=OR=
Общие определения ........................................................................................... 25 
Понятие ставки дисконтирования .................................................................... 27 
ТЕМА 5. УЧЁТНАЯ СТАВКА=
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=OT=
Простая учетная ставка 
...................................................................................... 28 
Сложная учетная ставка .................................................................................... 29 
ТЕМА 6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=PM=
ТЕМА 7. СРЕДНИЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=PN=
ТЕМА 8. ДОХОДНОСТЬ С УДЕРЖАНИЕМ КОМИССИОННЫХ=KKKKKKKKKKKKKKK=PO
ТЕМА 9. УЧЕТ НАЛОГОВ=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=PQ
ТЕМА 10. УЧЁТ ИНФЛЯЦИИ=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=PR
Расчет наращенной суммы с учетом покупательной спосоности 
................. 39 
ТЕМА 11. ВАЛЮТНЫЕ ОПЕРАЦИИ=
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=QM=
Конверсия валюты 
.............................................................................................. 40 
Конверсия валюты с наращением процентов 
.................................................. 42 
ТЕМА 12. АРБИТРАЖ ДЕВИЗ=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=QP=
Установление курса девиз 
................................................................................. 43 
Приведение курсов девиз .................................................................................. 44 
3  

Арбитраж девиз .................................................................................................. 44 
РАЗДЕЛ=ffK АННУИТЕТЫ=
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=QR=
ТЕМА 13. КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ПОТОКОВ ПЛАТЕЖЕЙ=
KKKKKKKKKKK=QS=
Обобщающие характеристики потоков платежей .......................................... 48 
Обычная годовая рента 
...................................................................................... 50 
Годовая рента с неоднократным начислением процентов в течение года 
... 53 
Рента с непрерывным начислением процентов. ............................................. 55 
Рента с неоднократными выплатами в году (Р-срочная рента). ................... 56 
Ренты с выплатами в начале и в середине периодов 
...................................... 60 
Непрерывный поток платежей 
.......................................................................... 60 
Параметры финансовых рент 
............................................................................ 63 
Формирование погасительного фонда ............................................................. 67 
ТЕМА 14. ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ.  
УРАВНЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=SU=
ТЕМА 15. КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=SV
Определение суммы при известном сроке ...................................................... 70 
Определение срока 
............................................................................................. 71 
ТЕМА 16. ПЕРЕСМОТР ФИНАНСОВЫХ УСЛОВИЙ СДЕЛОК. 
ЗАМЕНА ОДНОГО ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ ДРУГИМ=
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=TO=
Замена потока платежей рентой ....................................................................... 74 
Конверсия аннуитетов (финансовых рент) 
...................................................... 77 
Объединение рент .............................................................................................. 78 
Переменные финансовые ренты ....................................................................... 79 
ТЕМА 17. ПОКАЗАТЕЛЬ ПОЛНОЙ ДОХОДНОСТИ
ФИНАНСОВО-КРЕДИТНОЙ ОПЕРАЦИИ=
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=UM=
Поток платежей с изменениями размеров платежей 
...................................... 82 
РАЗДЕЛ=fffK КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ=
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=UP=
Проценты 
............................................................................................................. 84 
Аннуитеты 
......................................................................................................... 104 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ=
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NNV=
ПРИЛОЖЕНИЯ=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK=NON=
4 

«Разве ты не знаешь, что мудрость или знание и есть благополучие"» 
Сократ 
Система обозначений основных величинW
Ɋ – величина первоначального капитала; 
S - результат финансовой операции; 
I - процентные деньги, сумма процентов; 
n - дата платежа (срок финансовой операции), выраженные в годах; 
v - коэффициент дисконтирования; 
i - процентная ставка (ставка наращения, ставка приведения); 
d - учетная ставка (ставка дисконтирования); 
ı - сила роста (ставка наращения при непрерывном начислении сложных 
процентов); 
m - число начислений процентов в году, 
R - величина каждого платежа финансовой ренты; 
ɚ - доходность финансовой операции выраженная в процентах годовых; 
h - темп инфляции (выраженный в процентах или в виде соответствующей 
десятичной дроби); 
r - брутто-ставка с учетом инфляции. 
5  

СБОРНИК ВТОРОЙ. 2023
ВВЕДЕНИЕ
Нет такой науки - экономика, есть наука математика.  
И нам всего лишь нужно научиться считать. 
500 годовых - это во сколько раз больше" Правильный ответ - в 6 раз. 
Если за 100 обозначим капитал, тогда прирост составит 100  500 = 
600. Если 600 разделить 100 увеличение в 6 раз.  
250 это во сколько раз больше" В 3,5 раза.  
Инфляция составила 140 в год, во сколько раз выросли цены" Ответ в 
2,4 раза.  
Куда вложить деньги, или какие финансовые условия лучше" Целью 
сборника является отражение ключевой проблемы теории стоимости, которая 
заключается в том, что в основу цены земли заложены субъективные мнения 
эксперта о степени риска. Незнание фундаментальных математических основ 
порождает замкнутый круг поиска и оптимизации уже разработанных и 
действующих в настоящее время методик, и моделей оценки стоимости 
земель. Поэтому автор искренне надеется, что после прочтения можно 
«сложное сделать простым, простое сделать привычным, привычное сделать 
приятным» /по К.С. Станиславскому/. 
Финансовая математика - это система денежных, финансовых, 
инвестиционных, торговых, валютных и иных условий выполнения 
договоров.  
Все, что нужно знать, чтобы освоить финансовую математику - это 
геометрическая прогрессия, степенная функция, процентные расчеты, 
немного из логарифмирования и систем уравнений. Финансовые вычисления 
не подразумевают владения бухгалтерским учетом, но дают инструментарий 
для анализа и сравнения доходности различных операций. Ключевые 
вопросы 
денежного 
хозяйства 
страны 
основаны 
на 
простейших 
арифметических законах. Финансовая математика вводит начинающего 
экономиста в мир количественного анализа финансовых операций.  
В экономике важно уметь обосновывать: 
- стоимостные характеристики, такие как цены, размеры платежей и
долговые обязательства; 
-
временные характеристики, среди которых могут быть сроки
платежей, даты и продолжительности периодов, разного рода отсрочки. 
Что такое капитал" Естественным ответом будет, что это некоторая 
ценность. Но с точки зрения экономиста - это поток потенциального дохода. 
В нашем мире все можно посчитать, все можно выразить количественно: 
- сколько стоит час Вашего труда"
- сколько стоит стул, на котором Вы сидите"
- за сколько Вы готовы продать Вашу собственность"
- сколько Вы хотите получать за право владения активом"
6 

ВОПРОСЫ ЭКОНОМИКИ 
Какие-то потоки доходов короткие, сиюминутные, другие можно 
представлять в форме пожизненных годичных рент. Ценность всего 
материального зависит от времени, ведь нам важно обладать благами здесь и 
сейчас. 
Однако, более важная характеристика любого капитала - 
распределение потока доходов во времени и не важно о каком капитале идет 
речь - денежном или человеческом капитале, природных ресурсах или 
участке земли. 
Таким образом, капитал представляет собой изъятые из текущего 
оборота будущие экономические результаты. Это не то, что мы вкладываем, 
это то, что мы можем получить. Капиталом могут быть основные фонды и 
оборудование, ценные бумаги и просроченные долги, навыки и даже наше 
здоровье. Базовым звеном, благодаря которому создана вся эта надстройка 
капитального мира, в цепочке ценностей человечества, все же всегда была, 
есть и будет земля. 
Итак, если главной и наиболее ценной способностью любого капитала 
во времени является его возможность приносить доход, то возникает вопрос 
как измерить этот доход" Как сравнить доходность двух несопоставимых на 
первый взгляд альтернатив" И что делать, если альтернатив десятки, сотни, 
или даже, тысячи" Необходим универсальный знаменатель, простой и 
информативный индикатор всего материального, созданного и не созданного 
человечеством. 
Мы говорим о проценте. Однако важно научиться видеть в проценте не 
часть или долю какого-либо числа, а инструмент, индикатор развития, 
универсальный показатель, мерило, с помощью которого можно быстро, 
наглядно и просто провести различного рода сопоставления, сделать общие 
выводы о макроэкономической динамике, обосновать прогнозы развития. 
О процентах говорится и в главах Гражданского кодекса: 42-й «Заем и 
кредит» и 44-й «Банковский вклад». Ст. 809 определяет, что по умолчанию, 
т.е. при отсутствии в договоре условия о размере процента, этот размер 
определяется существующей ставкой банковского процента в месте 
жительства физического липа или ставкой рефинансирования Центрального 
банка для юридического лица. При отсутствии иного соглашения проценты 
выплачиваются ежемесячно до дня возврата суммы займа. Таким образом, 
фактически 
предполагается 
использование 
сложного 
процента 
с 
трехмесячным периодом капитализации. Ст. 838 позволяет банку изменять 
размер процентов, выплачиваемых на вклады до востребования, если иное не 
предусмотрено договором вклада. Тем самым дается «зеленый свет» 
плавающим процентным ставкам по счетам до востребования. 
«Начисление процентов может осуществляться одним из четырех 
способов: по формулам простых процентов, сложных процентов, с 
использованием фиксированной либо плавающей процентной ставки в 
соответствии с условиями договора. Если в договоре не указывается способ 
начисления процентов, то начисление процентов осуществляется по формуле 
7  

СБОРНИК ВТОРОЙ. 2023
простых процентов с использованием фиксированной процентной ставки». 
Положение ЦБ РФ от 26.06.98 г. п.3.9 
Различают 
процентный 
пункт 
и 
процент. 
Процентный 
пункт 
используется для удобства обозначения изменений ставки процента. Часто 
говорят при этом о процентах, но подразумевают процентные пункты. 
Например, размещение кредита может быть осуществлено под MosPrime Rate 
(Moscow Prime Offered Rate) плюс 10. Плюс 10 означает превышение 
базовой переменной ставки на 10 процентных пунктов. В частности, если 
ставка МИБОР равна 10, то размещение кредита будет произведено под 
201. 
Все что связано с денежными категориями, возьмем к примеру налоги, 
бюджет, рента, кредит, лизинг, собственность, или же будь то планирование 
и прогнозирование на основе эконометрических показателях, все можно 
посчитать, зная лишь только одну простую формулу - (1)№.  
В основе любой формулы ипотечного или же вексельного кредита, 
арендных или страховых платежей, пенсионных накоплений или рентных 
платежей лежит именно эта элементарная запись. Зная, как применять эту 
формулу на практике не составит труда определить, к примеру, за сколько 
продать свой участок земли, который приносит нам ежегодно чистый доход в 
размере 24¶000 руб." Ответ заключен в одном арифметическом действии - 
норма дохода делится на ставку капитализации, и ответ составит 200¶000 руб. 
«при прочих равных условиях». Еще в конце 19 века благодаря английскому 
экономисту А. Маршаллу появилось это простейшее уравнение, которые 
позволяет связать доход и стоимость. 
При прочих равных условиях в связи с тем, что денежные категории 
сами по себе абсолютно не информативны. Говоря о стоимости, главное, это 
ответить на вопрос - когда" Общее правило гласит: «Сегодняшние деньги 
ценнее будущих, а будущие менее ценны, чем сегодняшние». Если бы блага 
всегда имели одинаковую стоимость, то считать сколько они стоят не 
пришлось бы вовсе. Стоимость актива должна учитывать не только 
альтернативы вложений и риски, потенциальную реинвестицию каждого 
поступившего платежа. С этих позиций получение шарового (разового) 
платежа менее выгодно для кредитора, чем аннуитетное возмещение, и 
наоборот. 
До сих пор нет методов, учитывающих неравномерность получаемых 
доходов, нестабильность цен, широкий диапазон стоимости аналогов. Нет 
даже единого мнения о полном перечне факторов, оказывающих влияние на 
стоимость. 
Зачастую 
количественные 
методы 
анализа 
дополняются 
экспертными, что напрямую влияет на величину итоговых результатов. 
Камень преткновения всей современной теории оценки представляет ставка 
1 Подробнее можно посмотреть на сайте ЦБР: https://cbr.ru/archive/db/mosprime/ и 
Национальной финансовой организации: https://new.nfa.ru/. 
8 

ВОПРОСЫ ЭКОНОМИКИ 
капитализации потока дохода, так как именно этот процент будет отражать 
реальную стоимость денег, а как следствие и весь остальной материальной 
мир. 
В заключение хотелось бы обратиться к действующим методикам 
оценки земель. Бессмысленным является совершенствование их принципов и 
методов, так как никогда не получится учесть два разных интереса. Нельзя 
быть хорошей оценкой и для государства, и для собственника. Поэтому 
ставка капитализации в современной экономике это в большей степени 
административный, а не экономический инструмент управления. 
9