Математический анализ: сборник задач с решениями
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Автор:
Шершнев Владимир Григорьевич
Год издания: 2025
Кол-во страниц: 164
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-16-018502-6
ISBN-онлайн: 978-5-16-102771-4
Артикул: 206600.08.01
Данное учебное пособие содержит задания по следующим разделам математического анализа: пределы, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и ряды. Для всех заданий приводятся ответы. Во всех разделах имеются примеры с решениями и для самостоятельного решения. Учебное пособие рассчитано для занятий в аудитории и для самостоятельной работы студентов.
Сборник задач предназначен для студентов направления подготовки 38.03.01 «Экономика».
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 38.03.01: Экономика
- 38.03.02: Менеджмент
- 38.03.03: Управление персоналом
- 38.03.04: Государственное и муниципальное управление
- 38.03.05: Бизнес-информатика
- 41.03.06: Публичная политика и социальные науки
- ВО - Магистратура
- 38.04.01: Экономика
- 38.04.02: Менеджмент
- 38.04.03: Управление персоналом
- 38.04.04: Государственное и муниципальное управление
- 38.04.05: Бизнес-информатика
- 38.04.08: Финансы и кредит
- 38.04.09: Государственный аудит
ГРНТИ:
Скопировать запись
Математический анализ: сборник задач с решениями, 2023, 206600.07.01
Математический анализ: сборник задач с решениями, 2022, 206600.06.01
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1 996 г. В.Г. ШЕРШНЕВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано в качестве учебного пособия студентам высших учебных заведений, обучающимся по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика» (квалификация (степень) «бакалавр») znanium электронно-библиотечная система Москва ИНФРА-М 2025
УДК 517(075.8) ББК 22.161я73 Ш49 ФЗ Издание не подлежит маркировке № 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11 Рецензенты: О.В. Татарников — д-р техн. наук; Г.Г. Вокин — д-р техн. наук Шершнев В.Г. Ш49 Математический анализ: сборник задач с решениями : учебное пособие / В.Г. Шершнев. — Москва : ИНФРА-М, 2025. — 164 с. — (Высшее образование). ISBN 978-5-16-018502-6 (print) ISBN 978-5-16-102771-4 (online) Данное учебное пособие содержит задания по следующим разделам математического анализа: пределы, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и ряды. Для всех заданий приводятся ответы. Во всех разделах имеются примеры с решениями и для самостоятельного решения. Учебное пособие рассчитано для занятий в аудитории и для самостоятельной работы студентов. Сборник задач предназначен для студентов направления подготовки 38.03.01 «Экономика». УДК 517(075.8) ББК 22.161я73 ISBN 978-5-16-018502-6 (print) ISBN 978-5-16-102771-4 (online) © Шершнев В.Г., 2013 Подписано в печать 11.09.2024. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. Печать цифровая. Усл. печ. л. 10,25. ППТ12. Заказ № 00000 ТК 206600-2172579-250113 ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29 E-mail: books@infra-m.ru http://www.infra-m.ru Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
ПРЕДИСЛОВИЕ Математический анализ является универсальной наукой, необходимой для овладения теоретическими и практическими знаниями, лежащими в основе общенаучных дисциплин экономического профиля, а также дисциплин, изучающих конкретные задачи экономики, финансов и бизнеса. Переход на новый уровень качества образования (компетентное образование) требует от студентов иметь представление о всех понятиях математики, знания и умения применять основные из них. Методы математического анализа разнообразны и их применение требует основательных знаний. Предлагаемый «Сборник задач с решениями» соответствует учебной программе курса «Математический анализ» для студентов, обучающихся по направлениям 080100 «Экономика» и 080300 «Финансы и кредит». Сборник задач содержит задания по разделам математического анализа: определение функции, предел функции, дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных, неопределенные и определенные интегралы, кратные интегралы, дифференциальные уравнения, числовые и степенные ряды. В каждом разделе приводятся основные определения, формулы и необходимые для выполнения заданий теоремы. Во всех разделах подробно разобрано достаточное количество типовых задач и задач для самостоятельного решения. Кроме того, в каждом разделе имеется большое количество примеров для решения в аудитории и для самостоятельного решения. Все задания снабжены ответами. 3
Тема 1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 1.1. Определение функции Переменная величина у называется функцией переменной величины х с областью определения £>, множеством значений Е, если любому значению х, принадлежащему множеству D соответствует единственное значение у, принадлежащее множеству Е. Примеры с решениями (область определения и множество значений функции) Пример 1.1. Найти область определения функции у = \115 + 2х-х² 4- л/9х-14-х² . Решение. Данная функция определена в том случае, когда подкоренные выражения одновременно неотрицательные. Решаем систему неравенств J15 + 2x-x²S0, Jx²-2x-15<0 ((х + 3)(х-5)<0 (хе[-3, 5], [9х-14-х²>0 [х²-9х + 14<0 ((х ~ ^)(х - 7) < 0 |хе[2.7] х е [2, 5]. Область определения функции D(y) - [2, 5]. Пример 1.2. Найти область определения функции у = log (3 + 2х - х²). 2.Г-3 Решение. Логарифмическая функция определена при положительных значениях аргумента. При этом основание логарифма должно быть положительным и отличным от нуля. Учитывая это, решаем систему 1з + 2х-х²>0, ((х + 1)(х-3) < О, | •Г~¹ >0 -SzLф 1 (хе(-ос, 1)и(3/2,+оо), 2х-3=£х-1<=> х^2 (2х-3 ’ 2х-3 |х € (Jo, 1) U (3 / 2,2) и (2, + оо) =* х е <⁻¹’u ⁽³¹²’²⁾ u ⁽²>³⁾ • Область определения функции D(y) = (-1, l)u(3/2,2)u(2,3). Пример 1.3. Найти область определения и множество значений функции __ 1 7бх - 5 - х² Решение. Функция определена в том случае, когда подкоренное выражение строго положительное. Находим 6х - 5 - х² > 0 <=> х² - 6х 4- 5 < 0 <=> (х - 1)(х - 5) < 0 <=> х е (1, 5). Область определения функции D(y) = (1, 5). Найдем множество значений функции. При приближении х к корням квадратичного трехчлена Xj = 1 и х₂ = 5 значение функции неограниченно возрастает и стремится к 4-оо. Наименьшее значение функция имеет при значении х, в котором подкоренное выражение (6х-5-х²) принимает наибольшее значение. Производную этого выражения приравняем к нулю, найдем (6х- 5-х²)' = 0=>6-2х = 0=>х = 3. Вычисляем у = -у-.-.-==■ = —. \6-3-5-3² ² Следовательно, множество значений функции Е(у) = [1/2, -ьоо). 4
Пример 1.4. Найти область определения и множество значений функции >.=А-¹²-². Решение. Функция определена в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательное, т. е. 8х-12-х² >0»x²-8x + 12<0c>(x-2)(x-6)<0<=>x€[2,6]. Область определения функции D(y) - [2, 6]. Найдем множество значений функции. При х-2 и х = 6 показатель степени функции равен нулю. Наименьшее значение функции у(х = 2) = 5° = 1. Наибольшее значение функция принимает при наибольшем значении показателя степени. Находим (8х-12-х²)' = 0<^8-2х = 0=>х = 4. у(х = 4) = ₅Vm^12-4² ₌ ₅2 ₌ 25 . Множество значений функции Е(у) = [1, 25]. Пример 1.5. Найти область определения и множество значений функции y = log₂(7 + 6x-x²). Решение. Функция определена при положительных значениях аргумента, т. е. 7 + 6х - х² > 0 <=> х² - бх - 7 < 0 <=> (х - 1)(х - 7) < 0 => х е (1, 7). Область определения функции D(y) - (1, 7). При Х\ = 1 и х₂ = 7 квадратичный трехчлен равен нулю 7 + 6х-х² = 0. При х близких к этим значениям значения функции (логарифма) отрицательные неограниченные (-оо). Наибольшее значение функция принимает тогда, когда 7 + 6х-х² достигает максимума. Находим (7 + бх-х²)' = 6-2х = 0=>х = 3. Xx⁼3) = l°g₂(7+6-3~3²) = log₂16 = log₂2⁴ =4. Множество значений функции Е(у)- (-со, 4]. Решить самостоятельно Построить графики функций: 1.1.1) у = 2х;2) v = 2x + 3; 3) у = 2х-1; 4) у = -Зх + 2. 1.2. 1) у = х² + 2;2) у = х² -1; 3) у = х³; 4) у = х³ +1. 13.1) у^Е²; 2) у = (1-х)³/²; 3) ^ = 1/х²; 4) у = 1/х³. 1.4. 1) у = 2х; 2) у = 3’Л; 3) у = ех; 4) у = е~х. 1.5. 1) y = lgx; 2)у = 1пх; 3) ,y = log₂x; 4) ^ = log₁/₂x. 1.6. 1) y = l-sinx; 2) y = cosx-l; 3) y = x + sinx; 4) y = cosx-x. 1.7. 1) >- = tgx; 2) y = ctgx; 3) y = tg^; 4) y = ctg< 1.8. 1) j/ = arcsinx; 2) ^ = arccosx; 3) y = arctgx; 4) y = arcctgx. 1.9. 1) _y = |x-l|-|x-3|; 2) y = |x|-|x-2|. Найти области определения функций: 1.10.1) y = Jx-l + 7б-х; 2) у = <Jx+ 2 -г -Уз - х . 5
1.11. 1) у = 7⁽9 - х² ; 2) у = 7х² - 4; 3) у = 7x² - 7x +10 ; 4) у = 7б-х-х² ; 5) у = 710 + Зх-х² + 712л-27-х² ; 6) у = 712 + х-х² + 777-7 - х² . 1.12. 1) у = 7(6-х-х²)/(х²+х-2); 2) у = 7(5-4х -х²)/(х² + 4х + 3); 3) у = log₂ log₃(x - 2); 4) у = log₅ log₂(х + 3); 5) y = log,T₁(10 + 3x-x²); 6) у = logins+ 2х-х²). л-3 л-2 Найти область определения D (у) и множество значений Е (у) функций: ,Л³¹⁾У ⁼ ^;²⁾Г ⁼ ^;³⁾У⁼78х-1¹2-х²;⁴Ь' ⁼ ^^’ 1.14. 1) у = 2^'²-⁵г⁺⁶ ; 2) у ₌ 3^4+Зх-.г² 1.15, 1) у = log₂(16x-4x²-12); 2) у = log₃(5 + 4х - х²). 1.16. 1) y = l-cosx; 2) y = l + sinx. 1.2. Предел функции Определение предела функции по Коши на языке е - 6. Число b называется пределом функции у- f(x) при х-»х₀, если для любого сколь угодно малого положительного числа е существует такое положительное число 5, зависящее от е, что если 0 < |х - xQ| < 6, то |/(х) - b\ < £. Записывают lim f (х) = b. X-^Xq Функция у = а(х) называется бесконечно малой функцией при л->х₀, если lim а(х) = 0. Д(->Л₀ Функция у = f(x) называется бесконечно большой функцией при х-»х₀, если для любого сколь угодно большого числа N существует такое положительное число S, зависящее от N, что если 0 < | х - х₀1 < 5, то | /(х)| > N. Если lim /(х) = Ь, то /(х) = b + а(х), где а (х) - бесконечно малая х->х₀ функция при х —> Хц . Примеры с решениями (определение предела) Пример 1.6. Доказать, что lim (4х - 7) = 1. х->2 Решение. Используем последнее соотношение из определения предела функции по Коши |/(х)-б|<£. Так как /(х) = 4х-7, 6 = 1, а х₀ = 2, то | /(х) - Ь\ = |4х - 7 -1| = 4|х - 2| < 8 о |х - 21 = |х - х₀1 < = 5. £ Отсюда следует, что для любого е > 0 существует 5 = — такое, что если 4 |х-х₀1 = |х -2| < 6, то |/(х)-b\ = 4|х -2| < £. 6
Это и подтверждает справедливость соотношения liin (4х - 7) = 1. Пример 1.7. Доказать, что lim (х² - 4х + 3) = 8. Решение. Ввиду того, что х -> 5 представим х в виде суммы х = 5 + £, где е бесконечно малая функция, т. е. функция, которая стремится к нулю 8 —>0 при х —> 5. Тогда х²-4х+3 = (5 + е)²-4(5+е)+3 = 25 + 10е + е²-20-4е+3 = е²+6е+8. Используем свойства бесконечно малых функций (сумма и произведение бесконечно малых функций являются бесконечно малыми, т. е. е² + 6s = а бесконечно малая функция), получаем lim (х² -4хч-3)= lim (е² + 6е + 8) = 8 + а = 8. х->5 е—>0 Доказать самостоятельно'. 1.17. lim(3x + 2) = 8. 1.18. lim(5x-3) = 12. х->2 х-»3 1.19. lim(x² + 4х-1) = 4. 1.20. lim(x²+Зх + 2) = 12. х—>1 х->2 Примеры с решениями (односторонние пределы, разложение на множители) 3 3 Пример 1.8. Найти односторонние пределы: 1) lim -----; 2) lim ----. х->2+0 Х-2 х—>2-0 Х-2 Решение. Запись х —> 2 + 0 означает, что х стремится к 2 справа, т. е. стремится к двум, но остается больше двух. Можно записать х = 2 + 0, где +0 - условно записанная бесконечно малая положительная функция. Подставим х = 2 + 0 в 3 3 функцию под пределом, получим св°йствам бесконечно малых функций, функция, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой, т. е. стремится к бесконечности. Знак бесконечности (+ или -) определяется обычным образом. R • 3 3 Таким образом, lim --------= — = +со. .г—>2+0 Х-2 +0 Значения функции, стоящей под пределом, при произвольно выбранных значениях х, приближающихся к двум справа, приведены в ниже следующей таблице. Приведенное в таблице начальное значение х = 5, от которого х начинает стремиться к двум, не оказывает влияния, может быть любым. X 5 3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001 3 1 3 6 30 300 3000 3000 30000 3000000 х-2 0 0 Как видно из таблицы, при приближении х к значению 2 значения функции неограниченно возрастают. 3 3 3 Аналогично получаем при х -> 2 - 0 предел lim -----= —■,----- — = -оо. к л-—>2-0 х-2 /-0-/ -О 7
Значения функции, стоящей под пределом, при некоторых значениях х, приближающихся к двум слева, приведены в ниже следующей таблице. X -1 0 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 i 3 -1 -3/2 ~6 -30 -300 -3000 -30000 -300000 ■ 1 X - 2 -3000000 Как видно из таблицы, при приближении х к значению 2 слева значения функции являются отрицательными и неограниченно возрастают по абсолютной величине. _1_ _1_ Пример 1.9. Найти односторонние пределы: 1) lim 2х⁻⁵; 2) lim 2 х⁻⁵. х-»5-0 х->5+0 Решение. 1) Применим условную запись х = 5-0, где -0 - бесконечно малая отрицательная функция, получим -L —1— L.l 1 lim 2Х~⁵ = 2⁵~°“⁵ = 2⁻⁰ = 2 = —— =— = +0 = 0. х->5-0 2⁺°° 2) Запишем х = 5 + 0, где +0 - бесконечно малая положительная функция, -L- -2— -¹ получим lim 2 х⁻⁵ = 2⁵⁺⁰⁻⁵ = 2+° = 2⁺ = +оо. х->5+0 „ 1 ₁Л тт - г X² +3 + COSX Пример 1.10. Наити предел hm -----------. х->0 2x + l + sinx Решение. Это наиболее простой случай при нахождении пределов. Предельное значение х = 0 подставляем в функцию под пределом .. x²+3 + cosx 0²+3 + cos0 0 + 3 + 1 . lim ------------=------------=------= 4. х—>0 2x + l + sinx 2-0 + l + sin0 0 + 1 + 0 В результате этого получается конечная величина. На этом решение заканчивается, предел найден. х² + зх _ io Пример 1.11 (разложение на множители). Найти lim —-----------. х->2 х~5х + 6 Решение. В данном случае при подстановке предельного значения х = 2 в функцию под пределом получается неопределенность типа ноль делить на ноль х²+Зх-10 2²+3-2-10 0 т->2 х²-5х + 6 2²-5-2 + 6 0 Это не значит, что предел не существует. Чтобы найти предел, необходимо раскрыть неопределенность (определить, от чего эта неопределенность возникает). В данном случае нужно разложить на множители квадратные трехчлены, стоящие в числителе и знаменателе. Получим .. х²+Зх-10 hm —--------= lim х + 5 2 + 5 7 п = lim------=-----=-— = -7 . х->2х —3 2-3 -I ГТ « 4 -ч i т - 1 • X² + X + 8 Пример 1.12. Наити lim —--------. Х->3 х² — х —6 Решение. Подставим предельное значение х = 3 в числитель и знаменатель функции под пределом. В числителе получается конечное значение 20, а в знаменателе - 0 (ноль). Это значит, что при х -> 3 в знаменателе стоит бесконечно малая 8
функция. Функция обратная к бесконечно малой является бесконечно большой, а произведение бесконечно большой функции на конечную величину является бесконечно большой. . х² + х + 8 3~ + 3 + 8 х-х-6 3²-3-6 — = 20 - = 20 оо = оо. О О Решить самостоятельно Найти односторонние пределы: 5 5 — — 1.21. 1) lim —; 2) lim ——1.22. 1) lim 3*~²; 2) lim Зх~². х—>3—0х_3 х->3+0х-3 х->2-0 х->2+0 Найти пределы: ,Ч₁. х²+5х-20 х²-5х + 6 ,х sinf + cosx 1.23. 1) lim---------; 2) hm —----------; 3) lim -------------. x->3 2x - 4 x—>2 ₓ² _ 2x + 8 x->tt/3 tg у + tgx , ,,, x²+2 + sin2x tgx + cos2x 1.24. l)hm---------------; 2) lim ------------. x->0 lx + 1 + cos x x-»/r/4 tg3x + 2sin2x . .. x² 4-9x4-18 .. 4x²4-8x~5 1.25. 1) lim —--------; 2) lim ---------------; *->-3x²+7x + 12 x->1/2 4x² -1 _ ᵥ x²4-x-2 .. .. x²-5x4-6 3) lim —---------; 4) hm —----------. x->2 ₓz 4- x - 6 x->5 ₓz - 3x - 10 Примеры с решениями (умножение на сопряженное) n 1 / х u - г 77x4-4-5 Пример 1.13 (умножение на сопряженное). Наити lim-----------. х->3 х-3 Решение. В данном случае имеет место неопределенность типа Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на выражение 77x4-4 4-5, которое называется сопряженным к 77x4-4 - 5. Используем формулу разложения разности квадратов а²-Ь² = (а-Ь)(а 4-Ь). lim х->3 Получим 77x4-4-5 х-3 0| ₌ ]ⱼₘ (77х + 4-5)(77х + 4 + 5) о] х->3 (х-3)(ч/7х + 4+5) 7х + 4-25 = hm---------7=2—-----= х->3 (х — 3)(77х4-4 4- 5) х->зр><5)(77х + 4 + 5) Ю П 1 44 7 х и - г 7х² 4-5 - 3 Пример 1.14 (умножение на сопряженное). Наити hm ..... ... х⁻>² 7х³ +8 -4 Решение. Для раскрытия неопределенности типа |^| в данном пределе необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на выражения, сопряженные 9
по отношению к числителю и к знаменателю, и применить формулы разложения разности квадратов и разности кубов a³ — b³ = (а~ b)(a² + ab + Ь²). К тому же выражения, не приводящие к неопределенности, целесообразно записать в отдельный предел. Получаем 4 ]ⱼₘ jj>^f(x + 2) _ 4 4 _ 4 3 .т->2 (jc^)(x² + 2х + 4) 3 12 9 Решить самостоятельно Найти пределы, используя умножение на сопряженное: «lx i\r 757+7-2 х 1.26. l)lim-------; 2) lim ,..=----. г->0 х л->0 V8x + 9-3 , х V3x + 4 - V4-3x 1.27. l)lim-^==---;...; 2) lim------------. Vx4-2-V2-x x->0 x 1.28 sin 2л cosx l)lim-====---- ; 2) lim -=====............ .. л->0 V4 + sin л - V4 - sin x х->л72 V9 ч- cos x - v 9 - cos x Пример с решением (замена переменной) гт . IT ~ г \/Зх 4- 4 — 8 Пример 1.15 (замена переменной). Наити lim .......—. х->20 </3x4-4-4 Решение. При нахождении предела подберем замену переменной так, чтобы функция под знаком предела стала рациональной. .. л/Зх+4-8 Зх + 4 = /⁶, .. /³-8 ,. lim — = = lim —--= lim л->20 </3x4-4-4 л—>20=>r—>2 '->2 t² -4 '->2 ^^)(t² +2/4-4) При замене переменной необходимо не забывать изменить предельное значение новой независимой переменной. Решить самостоятельно Найти пределы, используя замену переменной: lx,- л/л4-1 -1 Vx -1 - 8 1.29. ; 2) lim -■------------------------. х-*0 Vx + 1 - 1 х—>65 ijx - 1 - 4 Примеры с решением (неопределенности типа и оо - оо ) Пример 1.16 (неопределенность типа — ). Найти lim —-—:------. ⁰⁰ .V-+® л-²+л--12 10