Математический анализ: сборник задач с решениями

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1 996 г.




В.Г. ШЕРШНЕВ





                МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ




        СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ


УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ




                             Рекомендовано в качестве учебного пособия студентам высших учебных заведений, обучающимся по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика» (квалификация (степень) «бакалавр»)


znanium.com

Москва ИНФРА-М 2023

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
Ш49

   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

      Рецензенты:
        О.В. Татарников — д-р техн. наук;
        Г.Г. Вокин — д-р техн. наук
      Шершнев В.Г.
Ш49 Математический анализ: сборник задач с решениями : учебное пособие / В.Г. Шершнев. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 164 с. — (Высшее образование).
        ISBN 978-5-16-018502-6 (print)
        ISBN 978-5-16-102771-4 (online)
        Данное учебное пособие содержит задания по следующим разделам математического анализа: пределы, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и ряды. Для всех заданий приводятся ответы. Во всех разделах имеются примеры с решениями и для самостоятельного решения. Учебное пособие рассчитано для занятий в аудитории и для самостоятельной работы студентов.
        Сборник задач предназначен для студентов направления подготовки 38.03.01 «Экономика».
УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73



ISBN 978-5-16-018502-6 (print)
ISBN 978-5-16-102771-4 (online)



© Шершнев В.Г., 2013

Подписано в печать 09.03.2023.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Newton. Печать цифровая.
Усл. печ. л. 10,25.
ППТ20. Заказ № 00000
ТК 206600-1989217-250113
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru http://www.infra-m.ru


Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ПРЕДИСЛОВИЕ


      Математический анализ является универсальной наукой, необходимой для овладения теоретическими и практическими знаниями, лежащими в основе общенаучных дисциплин экономического профиля, а также дисциплин, изучающих конкретные задачи экономики, финансов и бизнеса.
      Переход на новый уровень качества образования (компетентное образование) требует от студентов иметь представление о всех понятиях математики, знания и умения применять основные из них.
      Методы математического анализа разнообразны и их применение требует основательных знаний.
      Предлагаемый «Сборник задач с решениями» соответствует учебной программе курса «Математический анализ» для студентов, обучающихся по направлениям 080100 «Экономика» и 080300 «Финансы и кредит».
      Сборник задач содержит задания по разделам математического анализа: определение функции, предел функции, дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных, неопределенные и определенные интегралы, кратные интегралы, дифференциальные уравнения, числовые и степенные ряды.
      В каждом разделе приводятся основные определения, формулы и необходимые для выполнения заданий теоремы. Во всех разделах подробно разобрано достаточное количество типовых задач и задач для самостоятельного решения. Кроме того, в каждом разделе имеется большое количество примеров для решения в аудитории и для самостоятельного решения. Все задания снабжены ответами.

3

Тема 1. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1.1. Определение функции
     Переменная величина у называется функцией переменной величины х с областью определения £>, множеством значений Е, если любому значению х, принадлежащему множеству D соответствует единственное значение у, принадлежащее множеству Е.

Примеры с решениями (область определения и множество значений функции) Пример 1.1. Найти область определения функции у = \115 + 2х-х² 4- л/9х-14-х² .
     Решение. Данная функция определена в том случае, когда подкоренные выражения одновременно неотрицательные. Решаем систему неравенств J15 + 2x-x²S0,   Jx²-2x-15<0     ((х + 3)(х-5)<0     (хе[-3, 5],
[9х-14-х²>0      [х²-9х + 14<0   ((х ~ ^)(х - 7) < 0 |хе[2.7]
х е [2, 5]. Область определения функции D(y) - [2, 5].
    Пример 1.2. Найти область определения функции у = log (3 + 2х - х²).
2.Г-3
     Решение. Логарифмическая функция определена при положительных значениях аргумента. При этом основание логарифма должно быть положительным и отличным от нуля. Учитывая это, решаем систему
1з + 2х-х²>0,      ((х + 1)(х-3) < О,
| •Г~¹ >0 -SzLф 1 (хе(-ос, 1)и(3/2,+оо), 2х-3=£х-1<=> х^2 (2х-3   ’ 2х-3
|х € (Jo, 1) U (3 / 2,2) и (2, + оо) =* х е <⁻¹’u ⁽³¹²’²⁾ u ⁽²>³⁾ •
    Область определения функции D(y) = (-1, l)u(3/2,2)u(2,3).
     Пример 1.3. Найти область определения и множество значений функции __ 1
        7бх - 5 - х²
     Решение. Функция определена в том случае, когда подкоренное выражение строго положительное. Находим
            6х - 5 - х² > 0 <=> х² - 6х 4- 5 < 0 <=> (х - 1)(х - 5) < 0 <=> х е (1, 5).
    Область определения функции D(y) = (1, 5).
     Найдем множество значений функции. При приближении х к корням квадратичного трехчлена Xj = 1 и х₂ = 5 значение функции неограниченно возрастает и стремится к 4-оо. Наименьшее значение функция имеет при значении х, в котором подкоренное выражение (6х-5-х²) принимает наибольшее значение. Производную этого выражения приравняем к нулю, найдем
    (6х- 5-х²)' = 0=>6-2х = 0=>х = 3. Вычисляем у = -у-.-.-==■ = —.
\6-3-5-3² ²
    Следовательно, множество значений функции Е(у) = [1/2, -ьоо).

4

    Пример 1.4. Найти область определения и множество значений функции
>.=А-¹²-².
     Решение. Функция определена в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательное, т. е.
8х-12-х² >0»x²-8x + 12<0c>(x-2)(x-6)<0<=>x€[2,6].
    Область определения функции D(y) - [2, 6].
     Найдем множество значений функции. При х-2 и х = 6 показатель степени функции равен нулю. Наименьшее значение функции у(х = 2) = 5° = 1. Наибольшее значение функция принимает при наибольшем значении показателя степени.
     Находим (8х-12-х²)' = 0<^8-2х = 0=>х = 4.
у(х = 4) = ₅Vm^12-4² ₌ ₅2 ₌ 25 .
     Множество значений функции Е(у) = [1, 25].
     Пример 1.5. Найти область определения и множество значений функции y = log₂(7 + 6x-x²).
     Решение. Функция определена при положительных значениях аргумента, т. е. 7 + 6х - х² > 0 <=> х² - бх - 7 < 0 <=> (х - 1)(х - 7) < 0 => х е (1, 7).
     Область определения функции D(y) - (1, 7).
     При Х\ = 1 и х₂ = 7 квадратичный трехчлен равен нулю 7 + 6х-х² = 0. При х близких к этим значениям значения функции (логарифма) отрицательные неограниченные (-оо). Наибольшее значение функция принимает тогда, когда 7 + 6х-х² достигает максимума. Находим
    (7 + бх-х²)' = 6-2х = 0=>х = 3. Xx⁼3) = l°g₂(7+6-3~3²) = log₂16 = log₂2⁴ =4.
    Множество значений функции Е(у)- (-со, 4].
Решить самостоятельно
    Построить графики функций:
1.1.1) у = 2х;2) v = 2x + 3; 3) у = 2х-1; 4) у = -Зх + 2.
1.2. 1) у = х² + 2;2) у = х² -1; 3) у = х³; 4) у = х³ +1.
13.1) у^Е²; 2) у = (1-х)³/²; 3) ^ = 1/х²; 4) у = 1/х³.
1.4. 1) у = 2х; 2) у = 3’Л; 3) у = ех; 4) у = е~х.
1.5. 1) y = lgx; 2)у = 1пх; 3) ,y = log₂x; 4) ^ = log₁/₂x.
1.6. 1) y = l-sinx; 2) y = cosx-l; 3) y = x + sinx; 4) y = cosx-x.
1.7. 1) >- = tgx; 2) y = ctgx; 3) y = tg^; 4) y = ctg<
1.8. 1) j/ = arcsinx; 2) ^ = arccosx; 3) y = arctgx; 4) y = arcctgx.
1.9. 1) _y = |x-l|-|x-3|; 2) y = |x|-|x-2|.
    Найти области определения функций:
1.10.1) y = Jx-l + 7б-х; 2) у = <Jx+ 2 -г -Уз - х .

5

1.11. 1) у = 7⁽9 - х² ; 2) у = 7х² - 4; 3) у = 7x² - 7x +10 ; 4) у = 7б-х-х² ; 5) у = 710 + Зх-х² + 712л-27-х² ; 6) у = 712 + х-х² + 777-7 - х² .
1.12. 1) у = 7(6-х-х²)/(х²+х-2); 2) у = 7(5-4х -х²)/(х² + 4х + 3);
3) у = log₂ log₃(x - 2); 4) у = log₅ log₂(х + 3);
5)  y = log,T₁(10 + 3x-x²); 6) у = logins+ 2х-х²). л-3                              л-2
    Найти область определения D (у) и множество значений Е (у) функций: ,Л³¹⁾У ⁼ ^;²⁾Г ⁼ ^;³⁾У⁼78х-1¹2-х²;⁴Ь' ⁼ ^^’ 1.14. 1) у = 2^'²-⁵г⁺⁶ ; 2) у ₌ 3^4+Зх-.г²
1.15, 1) у = log₂(16x-4x²-12); 2) у = log₃(5 + 4х - х²).
1.16. 1) y = l-cosx; 2) y = l + sinx.

1.2. Предел функции
    Определение предела функции по Коши на языке е - 6. Число b называется пределом функции у- f(x) при х-»х₀, если для любого сколь угодно малого положительного числа е существует такое положительное число 5, зависящее от е, что если 0 < |х - xQ| < 6, то |/(х) - b\ < £. Записывают lim f (х) = b.
                                             X-^Xq
    Функция у = а(х) называется бесконечно малой функцией при л->х₀, если lim а(х) = 0.
   Д(->Л₀
    Функция у = f(x) называется бесконечно большой функцией при х-»х₀, если для любого сколь угодно большого числа N существует такое положительное число S, зависящее от N, что если 0 < | х - х₀1 < 5, то | /(х)| > N.
    Если lim /(х) = Ь, то /(х) = b + а(х), где а (х) - бесконечно малая х->х₀
функция при х —> Хц .

Примеры с решениями (определение предела)
    Пример 1.6. Доказать, что lim (4х - 7) = 1.
                          х->2
    Решение. Используем последнее соотношение из определения предела функции по Коши |/(х)-б|<£. Так как /(х) = 4х-7, 6 = 1, а х₀ = 2, то

| /(х) - Ь\ = |4х - 7 -1| = 4|х - 2| < 8 о |х - 21 = |х - х₀1 < = 5.

                                                £
    Отсюда следует, что для любого е > 0 существует 5 = — такое, что если
                                                4
|х-х₀1 = |х -2| < 6, то |/(х)-b\ = 4|х -2| < £.

6

     Это и подтверждает справедливость соотношения liin (4х - 7) = 1.

     Пример 1.7. Доказать, что lim (х² - 4х + 3) = 8.

     Решение. Ввиду того, что х -> 5 представим х в виде суммы х = 5 + £, где е бесконечно малая функция, т. е. функция, которая стремится к нулю 8 —>0 при х —> 5.
     Тогда х²-4х+3 = (5 + е)²-4(5+е)+3 = 25 + 10е + е²-20-4е+3 = е²+6е+8.
     Используем свойства бесконечно малых функций (сумма и произведение бесконечно малых функций являются бесконечно малыми, т. е. е² + 6s = а бесконечно малая функция), получаем
lim (х² -4хч-3)= lim (е² + 6е + 8) = 8 + а = 8.
                 х->5          е—>0

Доказать самостоятельно'.
1.17. lim(3x + 2) = 8.    1.18. lim(5x-3) = 12.
     х->2                      х-»3
1.19. lim(x² + 4х-1) = 4. 1.20. lim(x²+Зх + 2) = 12.
     х—>1                      х->2


   Примеры с решениями (односторонние пределы, разложение на множители) 3                                                                3
    Пример 1.8. Найти односторонние пределы: 1) lim -----; 2) lim ----.
х->2+0 Х-2    х—>2-0 Х-2
     Решение. Запись х —> 2 + 0 означает, что х стремится к 2 справа, т. е. стремится к двум, но остается больше двух. Можно записать х = 2 + 0, где +0 - условно записанная бесконечно малая положительная функция. Подставим х = 2 + 0 в 3                                           3
функцию под пределом, получим                      св°йствам бесконечно малых функций, функция, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой, т. е. стремится к бесконечности. Знак бесконечности (+ или -) определяется обычным образом.
            R •            3   3
    Таким образом, lim --------= — = +со.
                   .г—>2+0 Х-2 +0
     Значения функции, стоящей под пределом, при произвольно выбранных значениях х, приближающихся к двум справа, приведены в ниже следующей таблице. Приведенное в таблице начальное значение х = 5, от которого х начинает стремиться к двум, не оказывает влияния, может быть любым.

 X  5 3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
 3  1 3  6  30  300  3000   3000   30000   3000000
х-2                          0       0            

     Как видно из таблицы, при приближении х к значению 2 значения функции неограниченно возрастают.
3       3      3
     Аналогично получаем при х -> 2 - 0 предел lim -----= —■,----- — = -оо.
к л-—>2-0 х-2 /-0-/ -О

7

    Значения функции, стоящей под пределом, при некоторых значениях х, приближающихся к двум слева, приведены в ниже следующей таблице.

  X   -1  0   1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 i
  3   -1 -3/2 ~6  -30 -300 -3000 -30000 -300000        ■ 1
X - 2                                             -3000000

     Как видно из таблицы, при приближении х к значению 2 слева значения функции являются отрицательными и неограниченно возрастают по абсолютной величине.
                                                      _1_ _1_
    Пример 1.9. Найти односторонние пределы: 1) lim 2х⁻⁵; 2) lim 2 х⁻⁵.
                                               х-»5-0       х->5+0

     Решение. 1) Применим условную запись х = 5-0, где -0 - бесконечно малая отрицательная функция, получим
-L    —1—    L.l 1
lim 2Х~⁵ = 2⁵~°“⁵ = 2⁻⁰ = 2 = —— =— = +0 = 0.
              х->5-0                           2⁺°°

     2) Запишем х = 5 + 0, где +0 - бесконечно малая положительная функция, -L-                  -2—    -¹    получим lim 2 х⁻⁵ = 2⁵⁺⁰⁻⁵ = 2+° = 2⁺ = +оо.
            х->5+0
    „        1 ₁Л тт -       г X² +3 + COSX
    Пример 1.10. Наити предел hm -----------.
х->0 2x + l + sinx
     Решение. Это наиболее простой случай при нахождении пределов. Предельное значение х = 0 подставляем в функцию под пределом
..    x²+3 + cosx 0²+3 + cos0 0 + 3 + 1 .
lim ------------=------------=------= 4.
                х—>0 2x + l + sinx 2-0 + l + sin0 0 + 1 + 0

     В результате этого получается конечная величина. На этом решение заканчивается, предел найден.
                                                        х² + зх _ io
     Пример 1.11 (разложение на множители). Найти lim —-----------.
                                                   х->2 х~5х + 6

     Решение. В данном случае при подстановке предельного значения х = 2 в функцию под пределом получается неопределенность типа ноль делить на ноль х²+Зх-10 2²+3-2-10 0
т->2 х²-5х + 6  2²-5-2 + 6 0
     Это не значит, что предел не существует. Чтобы найти предел, необходимо раскрыть неопределенность (определить, от чего эта неопределенность возникает). В данном случае нужно разложить на множители квадратные трехчлены, стоящие в числителе и знаменателе. Получим

..  х²+Зх-10
hm —--------= lim

                 х + 5 2 + 5   7 п
           = lim------=-----=-— = -7 .
             х->2х —3    2-3 -I


     ГТ      « 4 -ч i т - 1 • X² + X + 8
     Пример 1.12. Наити lim —--------.
                        Х->3 х² — х —6
     Решение. Подставим предельное значение х = 3 в числитель и знаменатель функции под пределом. В числителе получается конечное значение 20, а в знаменателе - 0 (ноль). Это значит, что при х -> 3 в знаменателе стоит бесконечно малая

8

функция. Функция обратная к бесконечно малой является бесконечно большой, а произведение бесконечно большой функции на конечную величину является бесконечно большой.

. х² + х + 8 3~ + 3 + 8
Х^х²-х-6 3²-3-6

— = 20 - = 20 оо = оо. О О

Решить самостоятельно

    Найти односторонние пределы: 5                       5                —               —
1.21. 1) lim —; 2) lim ——1.22. 1) lim 3*~²; 2) lim Зх~². х—>3—0х_3            х->3+0х-3         х->2-0         х->2+0
    Найти пределы:
     ,Ч₁. х²+5х-20               х²-5х + 6 ,х sinf + cosx
1.23. 1) lim---------;   2) hm —----------;  3) lim -------------.
       x->3 2x - 4          x—>2 ₓ² _ 2x 4- 8    x->tt/3 tg у + tgx

, ,,,      x²+2 + sin2x            tgx + cos2x
1.24. l)hm---------------; 2) lim ------------.
       x->0 lx + 1 + cos x x-»/r/4 tg3x + 2sin2x
.       .. x² 4-9x4-18       ..    4x²4-8x-5
1.25. 1) lim —--------; 2) lim ---------------;
       *->-3x²+7x + 12       x->1/2 4x² -1
     _ ᵥ x²+x-2              .. .. x²-5x4-6
     3) lim —---------;      4) hm —----------.
        x->2 ₓ² +x-6         x->5 x - 3x - 10


Примеры с решениями (умножение на сопряженное)
     n 1         /                        х u - Г >/7x4-4-5
     Пример 1.13 (умножение на сопряженное). Наити lim-----------.
                                                   х->3   х-3
     Решение. В данном случае имеет место неопределенность типа Для

раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на выражение >/7x4-4 4-5, которое называется сопряженным к >/7x4-4 - 5. Используем формулу разложения разности квадратов
а²-Ь² = (а-Ь)(а 4-Ь).

lim х->3

Получим 77x4-4-5 х-3

0| ₌ ]ⱼₘ (77х + 4-5)(77х + 4 + 5) о] х->3    (х-3)(ч/7х + 4+5)

7х + 4-25
= hm---------7=2—-----=
х->3 (х — 3)(V7x4-4 4- 5)

  х-^3 J^>-3)(V7x + 4 4-5) 10
     П 1 44 7                              х и - г     у/х² +5-3
     Пример 1.14 (умножение на сопряженное). Наити hm    ........
х⁻>² Vx³ +8 -4
     Решение. Для раскрытия неопределенности типа |^| в данном пределе необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на выражения, сопряженные

9

по отношению к числителю и к знаменателю, и применить формулы разложения разности квадратов и разности кубов
a³ — b³ = (а~ b)(a² + ab + Ь²).

     К тому же выражения, не приводящие к неопределенности, целесообразно записать в отдельный предел. Получаем

4 ]ⱼₘ jj>^f(x + 2)   _ 4 4 _ 4

3 .т->2 (jc^)(x² + 2х + 4) 3 12 9

Решить самостоятельно

    Найти пределы, используя умножение на сопряженное: «lx i\r 757+7-2                   х
1.26. l)lim-------;     2) lim ,..=---.
       г->0 х             л->0 V8x + 9-3
 ,             х              V3x + 4 - V4-3x
1.27. l)lim-^=----;..;  2) lim------------.
         Vx4-2-V2-x     x->0      x

1.28

sin 2л                    cosx
l)lim-====---- ; 2) lim -=====............ ..
 л->0 V4 + sin л - V4 - sin x х->л72 V9 ч- cos x - v 9 - cos x


                   Пример с решением (замена переменной) гт .                            IT ~ г \/Зх 4- 4 — 8
     Пример 1.15 (замена переменной). Наити lim     .......—.
                                           х->20 </3x4-4-4

    Решение. При нахождении предела подберем замену переменной так, чтобы функция под знаком предела стала рациональной.
     ..   л/Зх+4-8 Зх + 4 = /⁶,   ..  /³-8 ,.
     lim        — =               = lim —--= lim
    л->20 </3x4-4-4 л—>20=>r—>2 '->2 t² -4 '->2

^^)(t² +2/4-4)

     При замене переменной необходимо не забывать изменить предельное значение новой независимой переменной.


Решить самостоятельно
     Найти пределы, используя замену переменной: lx,- л/л4-1 -1             Vx -1 - 8
1.29. ; 2) lim -■------------------------.
        х-*0 Vx + 1 - 1   х—>65 ijx - 1 - 4


Примеры с решением (неопределенности типа и оо - оо)


     Пример 1.16 (неопределенность типа — ). Найти lim —-—:------.
                                        ⁰⁰        .V-+® л-²+л--12

10