Теория вероятностей, математическая статистика, математическое программирование

И.В. Белько
И.М. Морозова
Е.А. Криштапович
Теория вероятностей, 
математическая 
статистика, 
математическое 
программирование
Допущено 
 
Министерством образования Республики Беларусь 
 
в качестве учебного пособия для студентов 
 
учреждений высшего образования 
 
по  экономическим специальностям
Москва
 
ИНФРА-М
2025

УДК 519.2(075.8) 
ББК 22.17я73 
 
Б44
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра общей математики и информатики механико-математического факультета Белорусского государственного университета (зав. кафедрой — доктор физико-математических наук, профессор В.А. Еровенко);
зав. кафедрой высшей математики Белорусского государственного экономического университета, доктор физико-математических наук, профессор 
М.П. Дымков
Белько, И.В.
Теория вероятностей, математическая статистика, математиБ44
ческое программирование : учебное пособие / И.В. Белько, И.М. Морозова, Е.А. Криштапович.  —  М 
: ИНФРА-М, 2025. —  
299 с. : ил. — (Высшее образование).
ISBN 978-5-16-020397-3 (print)
ISBN 978-5-16-104278-6 (online)
Рассмотрены темы, изучаемые в третьей части курса «Высшая математика»: теория вероятностей, математическая статистика и математическое программирование. Каждая глава содержит теоретические основы 
с примерами, задачи с решениями и задачи для самостоятельной работы, 
снабженные ответами. Большинство примеров и задач имеют экономическую направленность. Пособие может быть использовано для самостоятельной подготовки по данным разделам курса высшей математики.
Для студентов и преподавателей экономических специальностей высших учебных заведений.
УДК	519.2(075.8) 
ББК	 22.17я73
©
© Белько И.В., Морозова И.М., 
Криштапович Е.А., 2016
ISBN 978-5-16-020397-3 (print)
ISBN 978-5-16-104278-6 (online)
©
© ООО «Новое знание», 2016

Оглавление
Предисловие..........................................................................................................8
Часть I. Теория вероятностей
Глава 1. События и вероятности..............................................................13
1.1. Элементы комбинаторики.
...................................................................13
1.2. События.
......................................................................................................16
1.3. Понятие вероятности.............................................................................17
1.4. Действия над событиями......................................................................21
1.5. Теорема сложения вероятностей.
.......................................................24
1.6. Условные вероятности, теорема умножения вероятностей, 
независимость событий.........................................................................27
1.7. Формула полной вероятности и формула Байеса......................30
1.8. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
..................33
Задачи с решениями.......................................................................................36
Задачи для самостоятельного решения.
..................................................43
Ответы.
...............................................................................................................46
Глава 2. Схема испытаний Бернулли.....................................................47
2.1. Формула Бернулли.................................................................................47
2.2. Формула Пуассона.
.................................................................................50
2.3. Локальная формула Муавра — Лапласа..........................................50
2.4. Интегральная формула Муавра — Лапласа....................................51
Задачи с решениями.......................................................................................52
Задачи для самостоятельного решения.
..................................................55
Ответы.
...............................................................................................................57
Глава 3. Случайные величины и законы их распределения.........58
3.1. Общие сведения о случайных величинах......................................58
3.2. Дискретные случайные величины и операции над ними.
........60
3.2.1. Операции над случайными величинами.............................62
3.2.2. Математическое ожидание и дисперсия дискретной 
случайной величины..................................................................63
3.2.3. Функция распределения дискретной случайной 
величины.
........................................................................................65
3.3. Непрерывные случайные величины.................................................67
3.4. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной 
случайной величины..............................................................................69

Оглавление
Задачи с решениями.......................................................................................70
Задачи для самостоятельного решения.
..................................................78
Ответы.
...............................................................................................................81
Глава 4. Законы распределения случайных величин......................83
4.1. Законы распределения дискретных случайных величин.........83
4.1.1. Постоянная случайная величина 
(вырожденное распределение)...............................................83
4.1.2. Альтернативная случайная величина 
(распределение Бернулли).
......................................................83
4.1.3. Биномиальное распределение.................................................84
4.1.4. Геометрическое распределение...............................................85
4.1.5. Гипергеометрическое распределение....................................85
4.1.6. Закон Пуассона.
............................................................................86
4.2. Законы распределения непрерывных случайных величин.....88
4.2.1. Равномерное распределение R[a, b]......................................88
4.2.2. Показательное (экспоненциальное) распределение.......89
4.2.3. Нормальное распределение.
.....................................................91
4.2.4. Логнормальное распределение.
...............................................94
Задачи с решениями.......................................................................................96
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 100
Ответы.
............................................................................................................ 103
Глава 5. Многомерные случайные величины................................... 104
5.1. Дискретные двумерные случайные величины.
.......................... 105
5.2. Функция распределения двумерной случайной величины.... 107
5.3. Непрерывные двумерные случайные величины.
...................... 108
5.4. Независимые случайные величины. 
Ковариация, коэффициент корреляции.
...................................... 109
5.5. Двумерное нормальное распределение........................................ 112
Задачи с решениями.................................................................................... 113
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 117
Ответы.
............................................................................................................ 118
Глава 6. Закон больших чисел............................................................... 120
6.1. Неравенства Чебышева и Маркова.
............................................... 120
6.2. Закон больших чисел.......................................................................... 121
6.3. Теорема Бернулли................................................................................ 122
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 123
Ответы.
............................................................................................................ 124

Оглавление 
5
Часть II. Математическая статистика
Глава 7. Вариационные ряды и их характеристики...................... 128
7.1. Генеральная и выборочная совокупности.
................................... 128
7.2. Понятие вариационного ряда и его графические .
изображения........................................................................................... 129
7.3. Числовые характеристики вариационных рядов.
..................... 136
Задачи с решениями.................................................................................... 138
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 141
Ответы.
............................................................................................................ 143
Глава 8. Оценка параметров генеральной совокупности........... 144
8.1. Точечные оценки параметров.
.......................................................... 144
8.2. Основные статистические распределения.
.................................. 150
8.3. Интервальные оценки параметров.
................................................ 152
8.4. Доверительные интервалы для генеральной средней 
и генеральной доли выборки........................................................... 152
8.5. Объем выборки.
..................................................................................... 155
8.6. Доверительный интервал для дисперсии.................................... 156
Задачи с решениями.................................................................................... 157
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 161
Ответы.
............................................................................................................ 163
Глава 9. Проверка статистических гипотез...................................... 164
9.1. Основные понятия............................................................................... 164
9.2. Гипотезы о значениях числовых характеристик.
...................... 168
9.2.1. Гипотеза о численной величине среднего значения.... 168
9.2.2. Гипотеза о числовом значении дисперсии.
...................... 170
9.2.3. Гипотеза о числовом значении доли признака.............. 171
9.3. Проверка гипотезы о равенстве средних значений................. 172
9.4. Критерии согласия............................................................................... 174
Задачи с решениями.................................................................................... 176
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 180
Ответы.
............................................................................................................ 182
Глава 10. Однофакторный дисперсионный анализ....................... 184
10.1. Условия применения......................................................................... 184
10.2. Разложение суммы квадратов отклонений.
.............................. 185
10.3. Проверка гипотезы о равенстве групповых средних............ 186
10.4. Коэффициент детерминации......................................................... 187

Оглавление
10.5. Сводка формул.................................................................................... 188
Задачи с решениями.................................................................................... 189
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 191
Ответы.
............................................................................................................ 192
Глава 11. Корреляционный анализ.
...................................................... 193
11.1. Представление данных в корреляционном анализе.
............. 194
11.2. Коэффициент корреляции.............................................................. 195
11.3. Корреляционное отношение.......................................................... 197
Задачи с решениями.................................................................................... 198
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 200
Ответы.
............................................................................................................ 201
Глава 12. Регрессионный анализ.
.......................................................... 202
12.1. Корреляционное поле....................................................................... 203
12.2. Линейная регрессия.
.......................................................................... 203
12.3. Статистический анализ уравнения регрессии.
........................ 205
Задача с решением....................................................................................... 206
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 208
Ответы.
............................................................................................................ 208
Часть III. Математическое прогр
аммирование
Глава 13. Классические задачи линейного  
программирования.
...................................................................................... 211
13.1. Задача о планировании производственной программы 
предприятия......................................................................................... 211
13.2. Задача об оптимальной корзине продуктов .
(задача о диете).
.................................................................................. 214
13.3. Задача оптимального раскроя материалов............................... 216
13.4. Транспортная задача.
......................................................................... 218
13.5. Задача о назначениях.
....................................................................... 219
Глава 14. Основные понятия задач линейного 
программирования и графический метод их решения.
................ 221
14.1. Постановка общей задачи линейного программирования.
... 221
14.2. Формы записи задач линейного программирования.
........... 222
14.3. Базисные и свободные переменные. Опорный план............ 223
14.4. Графическое решение задачи линейного .
программирования, сводимой к двум переменным.............. 224

Оглавление 
7
Задачи с решениями.................................................................................... 227
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 231
Ответы.
............................................................................................................ 233
Глава 15. Симплексный метод. Теория двойственности............. 234
15.1. Симплексный метод решения ЗЛП............................................ 234
15.2. Двойственность в линейном программировании.
.................. 243
15.2.1. Понятия анализа устойчивости .
и чувствительности.............................................................. 243
15.2.2. Понятие двойственности.................................................... 246
15.3. Основные теоремы теории двойственности 
и их экономический смысл............................................................ 250
15.4. Информационные технологии в решении задач 
математического программирования.
......................................... 255
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 265
Симплексный метод............................................................................ 265
Двойственность в линейном программировании.
.................... 268
Ответы.
............................................................................................................ 269
Глава 16. Транспортная задача.............................................................. 270
16.1. Постановка транспортной задачи.
................................................ 270
16.2. Построение начального опорного плана................................... 273
16.3. Проверка опорного решения на оптимальность.
.................... 278
16.4. Переход к следующему распределению поставок.
................. 280
Задача с решением....................................................................................... 283
Задачи для самостоятельного решения.
............................................... 289
Ответы.
............................................................................................................ 292
Приложения................................................................................................... 293
Литература.................................................................................................... 298

Предисловие
Теория вероятностей, математическая статистика и математическое программирование занимают важное место в  математической подготовке экономистов. Теория вероятностей и  математическая статистика служат основой для последующего изложения 
эконометрики, а третий раздел является введением в теорию экономико-математических методов и математических моделей.
Конечно, для глубокого и полного усвоения предмета при изложении со всей строгостью необходима серьезная математическая подготовка. Имеется достаточное количество пособий с таким 
уровнем строгости, хотя, согласно прежним стандартам, отсутствуют учебники, включающие совместно все три названных раздела курса.
Данное учебное пособие соответствует программе предмета, 
принятой в  новом образовательном стандарте, и  состоит из трех 
компонентов: теоретические основы с примерами, задачи с решениями и задачи для самостоятельной работы, снабженные ответами. 
Таким образом, пособие может одновременно служить и учебником, и  сборником задач. Теоретическая часть пособия содержит 
основные понятия и  свойства, приведенные с  возможной полнотой и  выделением идейных основ, насколько это позволяет принятое в пособии интуитивно-наглядное изложение. Для усвоения 
этого материала достаточно базовой математической подготовки.
Важным дополнением к теории, которое облегчает ее понимание, служат примеры, приведенные в пособии.
Особая роль отводится задачам с  решениями. Для их усвоения достаточно сведений из теоретической части. Они позволяют 
глубже понять теоретический материал и получить навыки самостоятельного решения задач. Большинство приводимых задач 
и примеров имеет экономическую направленность. Набор задач 
для самостоятельной работы достаточен для практических занятий и домашних заданий. Отметим, что несоответствие в точности 
числовых данных при округлении вызвано тем, что в используемых таблицах данные приводятся с точностью до 0,0001. Такая высокая точность вряд ли уместна во многих вычислениях.
Содержание пособия традиционно и  адаптировано к  уровню 
подготовки студентов.
В  I  части после краткого знакомства с  элементами комбинаторики на интуитивном уровне вводятся основные понятия  — 

Предисловие 
9
событие и  вероятность. Свойства операций над событиями и  их 
связь с вероятностями интерпретируются на основе классической 
вероятности. Для полноты изложения и восприятия основ теории 
и  свойств вероятностей приводится аксиоматика вероятностного 
пространства. Хотя, в принципе, для принятого уровня при отсутствии доказательств глубоких результатов саму аксиоматику можно опустить. При этом нужно все же учесть, что у читателей должно сформироваться представление о вероятностном пространстве. 
Основными примерами для этого служат классическая схема случаев и схема Бернулли (повторных независимых испытаний). Для 
вероятностей событий из схемы Бернулли даются формула Бернулли, а также приближенные формулы: Пуассона, локальная и интегральная формулы Муавра — Лапласа. Центральное место в I части пособия отводится случайным величинам. Рассматриваются 
два типа случайных величин: дискретные и непрерывные, приводятся способы их задания и их числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия. В качестве примеров рассматриваются следующие распределения случайных величин: постоянная 
случайная величина, альтернативная случайная величина, биномиальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения, 
распределение Пуассона, равномерное, показательное и нормальное распределения. Рассмотрение многомерных случайных величин ограничено двумерным случаем. Вводятся ковариация и  коэффициент корреляции пары случайных величин. Закон больших 
чисел приводится в упрощенных формулировках теорем Чебышева и Бернулли, пригодных для решения задач.
Во II части, посвященной математической статистике, вводятся основные понятия выборочного метода, повышенное внимание 
уделено заданию выборки в виде случайного вектора или его реализации. Строятся выборочные характеристики генеральных совокупностей, даются точечные и  интервальные оценки их параметров. 
Описываются этапы проверки статистических гипотез, которые 
затем иллюстрируются гипотезами о средних значениях, дисперсии и доле признака. Приводится критерий Пирсона для проверки 
гипотезы о законе распределения случайной величины. Оценка зависимости между переменными (случайными и детерминированными) проводится на основе дисперсионного, корреляционного 
и регрессионного анализа.

Предисловие
III часть пособия является по существу введением в математическое программирование и  содержит примеры задач линейного 
программирования и методы их решения. Графический метод решения задач линейного программирования с двумя переменными 
и  сводящихся к  ним задач служит интерпретацией идеи общего 
симплекс-метода. На основе симплекс-метода и соответствующих 
ему таблиц сначала проводится разбиение переменных на базисные и свободные, а затем находится оптимальное значение целевой функции. Анализ решения проводится на основе теории двойственности. Отдельно выделяется метод потенциалов для решения 
транспортной задачи. Приводятся другие типы задач математического программирования.
С  учетом требований учебной программы в  пособии даются 
решения задач линейного программирования с применением компьютерного пакета прикладных программ Excel.
Авторы выражают благодарность и признательность заведующему кафедрой высшей математики Белорусского государственного 
экономического университета Михаилу Пахомовичу Дымкову, коллективу кафедры высшей математики и информатики Белорусского 
государственного университета и ее заведующему Валерию Александровичу Еровенко. Их скрупулезное прочтение и замечания по содержанию рукописи значительно улучшили изложение материала 
пособия.