Теория вероятностей, математическая статистика, математическое программирование

И.В. Белько
И.М. МорозоВа
е.а. крИштапоВИч

теорИя Вероятностей, 

МатеМатИческая 

статИстИка, 

МатеМатИческое 

програММИроВанИе

 

Допущено  

Министерством образования Республики Беларусь  

в качестве учебного пособия для студентов  

учреждений высшего образования  

по  экономическим специальностям

2022

Москва

 «ИНФРАМ»

УДК 519.2(075.8) 
ББК 22.17я73 
 
Б44

Белько, И.В.

Теория вероятностей, математическая статистика, математи
ческое программирование : учебное пособие / И.В. Белько, И.М. Морозова, Е.А. Криштапович.  —  Москва : ИНФРА-М, 2022. —  
299 с. : ил. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-011748-5 (print)
ISBN 978-5-16-104278-6 (online)

Рассмотрены темы, изучаемые в третьей части курса «Высшая мате
матика»: теория вероятностей, математическая статистика и математическое программирование. Каждая глава содержит теоретические основы 
с примерами, задачи с решениями и задачи для самостоятельной работы, 
снабженные ответами. Большинство примеров и задач имеют экономическую направленность. Пособие может быть использовано для самостоятельной подготовки по данным разделам курса высшей математики.

Для студентов и преподавателей экономических специальностей выс
ших учебных заведений.

УДК 519.2(075.8) 
ББК 22.17я73

Б44

 
© Белько И.В., Морозова И.М., 

Криштапович Е.А., 2016
 
© ООО «Новое знание», 2016

ISBN 978-5-16-011748-5 (print)
ISBN 978-5-16-104278-6 (online)

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра общей математики и информатики механико-математического факультета Белорусского государственного университета (зав. кафедрой — доктор физико-математических наук, профессор В.А. Еровенко);
зав. кафедрой высшей математики Белорусского государственного экономического университета, доктор физико-математических наук, профессор 
М.П. Дымков

Оглавление

Предисловие..........................................................................................................8

Часть I. теория вероятностей

Глава 1. события и вероятности..............................................................13
1.1..Элементы.комбинаторики....................................................................13
1.2..События.......................................................................................................16
1.3..Понятие.вероятности.............................................................................17
1.4..Действия.над.событиями......................................................................21
1.5..Теорема.сложения.вероятностей........................................................24
1.6..Условные.вероятности,.теорема.умножения.вероятностей,.
независимость.событий.........................................................................27
1.7..Формула.полной.вероятности.и.формула.Байеса......................30
1.8..Аксиоматическое.построение.теории.вероятностей...................33
Задачи.с.решениями.......................................................................................36
Задачи.для.самостоятельного.решения...................................................43
Ответы................................................................................................................46

Глава 2. схема испытаний Бернулли.....................................................47
2.1..Формула.Бернулли.................................................................................47
2.2..Формула.Пуассона..................................................................................50
2.3..Локальная.формула.Муавра.—.Лапласа..........................................50
2.4..Интегральная.формула.Муавра.—.Лапласа....................................51
Задачи.с.решениями.......................................................................................52
Задачи.для.самостоятельного.решения...................................................55
Ответы................................................................................................................57

Глава 3. случайные величины и законы их распределения.........58
3.1..Общие.сведения.о.случайных.величинах......................................58
3.2..Дискретные.случайные.величины.и.операции.над.ними.........60
3.2.1..Операции.над.случайными.величинами.............................62
3.2.2..Математическое.ожидание.и.дисперсия.дискретной.
случайной.величины..................................................................63
3.2.3..Функция.распределения.дискретной.случайной.
величины.........................................................................................65
3.3..Непрерывные.случайные.величины.................................................67
3.4..Математическое.ожидание.и.дисперсия.непрерывной.
случайной.величины..............................................................................69

Оглавление

Задачи.с.решениями.......................................................................................70
Задачи.для.самостоятельного.решения...................................................78
Ответы................................................................................................................81

Глава 4. Законы распределения случайных величин......................83
4.1..Законы.распределения.дискретных.случайных.величин.........83
4.1.1..Постоянная.случайная.величина.
(вырожденное.распределение)...............................................83
4.1.2..Альтернативная.случайная.величина.
(распределение.Бернулли).......................................................83
4.1.3..Биномиальное.распределение.................................................84
4.1.4..Геометрическое.распределение...............................................85
4.1.5..Гипергеометрическое.распределение....................................85
4.1.6..Закон.Пуассона.............................................................................86
4.2..Законы.распределения.непрерывных.случайных.величин.....88
4.2.1..Равномерное.распределение.R[a,.b]......................................88
4.2.2..Показательное.(экспоненциальное).распределение.......89
4.2.3..Нормальное.распределение......................................................91
4.2.4..Логнормальное.распределение................................................94
Задачи.с.решениями.......................................................................................96
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 100
Ответы............................................................................................................. 103

Глава 5. Многомерные случайные величины................................... 104
5.1..Дискретные.двумерные.случайные.величины........................... 105
5.2..Функция.распределения.двумерной.случайной.величины.... 107
5.3..Непрерывные.двумерные.случайные.величины....................... 108
5.4..Независимые.случайные.величины..
Ковариация,.коэффициент.корреляции....................................... 109
5.5..Двумерное.нормальное.распределение........................................ 112
Задачи.с.решениями.................................................................................... 113
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 117
Ответы............................................................................................................. 118

Глава 6. Закон больших чисел............................................................... 120
6.1..Неравенства.Чебышева.и.Маркова................................................ 120
6.2..Закон.больших.чисел.......................................................................... 121
6.3..Теорема.Бернулли................................................................................ 122
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 123
Ответы............................................................................................................. 124

Оглавление 
5

Часть II. МатеМатиЧеская статистика

Глава 7. вариационные ряды и их характеристики...................... 128
7.1..Генеральная.и.выборочная.совокупности.................................... 128
7.2..Понятие.вариационного.ряда.и.его.графические..
изображения........................................................................................... 129
7.3..Числовые.характеристики.вариационных.рядов...................... 136
Задачи.с.решениями.................................................................................... 138
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 141
Ответы............................................................................................................. 143

Глава 8. оценка параметров генеральной совокупности........... 144
8.1..Точечные.оценки.параметров........................................................... 144
8.2..Основные.статистические.распределения................................... 150
8.3..Интервальные.оценки.параметров................................................. 152
8.4..Доверительные.интервалы.для.генеральной.средней.
и.генеральной.доли.выборки........................................................... 152
8.5..Объем.выборки...................................................................................... 155
8.6..Доверительный.интервал.для.дисперсии.................................... 156
Задачи.с.решениями.................................................................................... 157
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 161
Ответы............................................................................................................. 163

Глава 9. Проверка статистических гипотез...................................... 164
9.1..Основные.понятия............................................................................... 164
9.2..Гипотезы.о.значениях.числовых.характеристик....................... 168
9.2.1..Гипотеза.о.численной.величине.среднего.значения.... 168
9.2.2..Гипотеза.о.числовом.значении.дисперсии....................... 170
9.2.3..Гипотеза.о.числовом.значении.доли.признака.............. 171
9.3..Проверка.гипотезы.о.равенстве.средних.значений................. 172
9.4..Критерии.согласия............................................................................... 174
Задачи.с.решениями.................................................................................... 176
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 180
Ответы............................................................................................................. 182

Глава 10. однофакторный дисперсионный анализ....................... 184
10.1..Условия.применения......................................................................... 184
10.2..Разложение.суммы.квадратов.отклонений............................... 185
10.3..Проверка.гипотезы.о.равенстве.групповых.средних............ 186
10.4..Коэффициент.детерминации......................................................... 187

Оглавление

10.5..Сводка.формул.................................................................................... 188
Задачи.с.решениями.................................................................................... 189
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 191
Ответы............................................................................................................. 192

Глава 11. корреляционный анализ....................................................... 193
11.1..Представление.данных.в.корреляционном.анализе.............. 194
11.2..Коэффициент.корреляции.............................................................. 195
11.3..Корреляционное.отношение.......................................................... 197
Задачи.с.решениями.................................................................................... 198
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 200
Ответы............................................................................................................. 201

Глава 12. регрессионный анализ........................................................... 202
12.1..Корреляционное.поле....................................................................... 203
12.2..Линейная.регрессия........................................................................... 203
12.3..Статистический.анализ.уравнения.регрессии......................... 205
Задача.с.решением....................................................................................... 206
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 208
Ответы............................................................................................................. 208

Часть III. МатеМатиЧеское ПроГраММирование

Глава 13. классические задачи линейного  
программирования....................................................................................... 211
13.1..Задача.о.планировании.производственной.программы.
предприятия......................................................................................... 211
13.2..Задача.об.оптимальной.корзине.продуктов..
(задача.о.диете)................................................................................... 214
13.3..Задача.оптимального.раскроя.материалов............................... 216
13.4..Транспортная.задача.......................................................................... 218
13.5..Задача.о.назначениях........................................................................ 219

Глава 14. основные понятия задач линейного 
программирования и графический метод их решения................. 221
14.1..Постановка.общей.задачи.линейного.программирования.... 221
14.2..Формы.записи.задач.линейного.программирования............ 222
14.3..Базисные.и.свободные.переменные..Опорный.план............ 223
14.4..Графическое.решение.задачи.линейного..
программирования,.сводимой.к.двум.переменным.............. 224

Оглавление 
7

Задачи.с.решениями.................................................................................... 227
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 231
Ответы............................................................................................................. 233

Глава 15. симплексный метод. теория двойственности............. 234
15.1..Симплексный.метод.решения.ЗЛП............................................ 234
15.2..Двойственность.в.линейном.программировании................... 243
15.2.1..Понятия.анализа.устойчивости..
и.чувствительности.............................................................. 243
15.2.2..Понятие.двойственности.................................................... 246
15.3..Основные.теоремы.теории.двойственности.
и.их.экономический.смысл............................................................ 250
15.4..Информационные.технологии.в.решении.задач.
математического.программирования.......................................... 255
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 265
Симплексный.метод............................................................................ 265
Двойственность.в.линейном.программировании..................... 268
Ответы............................................................................................................. 269

Глава 16. транспортная задача.............................................................. 270
16.1..Постановка.транспортной.задачи................................................. 270
16.2..Построение.начального.опорного.плана................................... 273
16.3..Проверка.опорного.решения.на.оптимальность..................... 278
16.4..Переход.к.следующему.распределению.поставок.................. 280
Задача.с.решением....................................................................................... 283
Задачи.для.самостоятельного.решения................................................ 289
Ответы............................................................................................................. 292

Приложения................................................................................................... 293

Литература.................................................................................................... 298

Предисловие

Теория.вероятностей,.математическая.статистика.и.математическое. программирование. занимают. важное. место. в. математической. подготовке. экономистов.. Теория. вероятностей. и. математическая.статистика.служат.основой.для.последующего.изложения.
эконометрики,.а.третий.раздел.является.введением.в.теорию.экономико­математических.методов.и.математических.моделей.
Конечно,.для.глубокого.и.полного.усвоения.предмета.при.изложении.со.всей.строгостью.необходима.серьезная.математическая.подготовка..Имеется.достаточное.количество.пособий.с.таким.
уровнем. строгости,. хотя,. согласно. прежним. стандартам,. отсутствуют.учебники,.включающие.совместно.все.три.названных.раздела.курса.
Данное. учебное. пособие. соответствует. программе. предмета,.
принятой. в. новом. образовательном. стандарте,. и. состоит. из. трех.
компонентов:.теоретические.основы.с.примерами,.задачи.с.решениями.и.задачи.для.самостоятельной.работы,.снабженные.ответами..
Таким.образом,.пособие.может.одновременно.служить.и.учебником,. и. сборником. задач.. Теоретическая. часть. пособия. содержит.
основные. понятия. и. свойства,. приведенные. с. возможной. полнотой. и. выделением. идейных. основ,. насколько. это. позволяет. принятое.в.пособии.интуитивно­наглядное.изложение..Для.усвоения.
этого.материала.достаточно.базовой.математической.подготовки.
Важным.дополнением.к.теории,.которое.облегчает.ее.понимание,.служат.примеры,.приведенные.в.пособии.
Особая. роль. отводится. задачам. с. решениями.. Для. их. усвоения.достаточно.сведений.из.теоретической.части..Они.позволяют.
глубже.понять.теоретический.материал.и.получить.навыки.самостоятельного. решения. задач.. Большинство. приводимых. задач.
и.примеров.имеет.экономическую.направленность..Набор.задач.
для. самостоятельной. работы. достаточен. для. практических. занятий.и.домашних.заданий..Отметим,.что.несоответствие.в.точности.
числовых.данных.при.округлении.вызвано.тем,.что.в.используемых.таблицах.данные.приводятся.с.точностью.до.0,0001..Такая.высокая.точность.вряд.ли.уместна.во.многих.вычислениях.
Содержание. пособия. традиционно. и. адаптировано. к. уровню.
подготовки.студентов.
В. I. части. после. краткого. знакомства. с. элементами. комбинаторики. на. интуитивном. уровне. вводятся. основные. понятия. —.

Предисловие 
9

событие. и. вероятность.. Свойства. операций. над. событиями. и. их.
связь.с.вероятностями.интерпретируются.на.основе.классической.
вероятности..Для.полноты.изложения.и.восприятия.основ.теории.
и. свойств. вероятностей. приводится. аксиоматика. вероятностного.
пространства..Хотя,.в.принципе,.для.принятого.уровня.при.отсутствии.доказательств.глубоких.результатов.саму.аксиоматику.можно.опустить..При.этом.нужно.все.же.учесть,.что.у.читателей.должно.сформироваться.представление.о.вероятностном.пространстве..
Основными.примерами.для.этого.служат.классическая.схема.случаев.и.схема.Бернулли.(повторных.независимых.испытаний)..Для.
вероятностей. событий. из. схемы. Бернулли. даются. формула. Бернулли,.а.также.приближенные.формулы:.Пуассона,.локальная.и.интегральная.формулы.Муавра.—.Лапласа..Центральное.место.в.I.части. пособия. отводится. случайным. величинам.. Рассматриваются.
два.типа.случайных.величин:.дискретные.и.непрерывные,.приводятся.способы.их.задания.и.их.числовые.характеристики:.математическое.ожидание.и.дисперсия..В.качестве.примеров.рассматриваются.следующие.распределения.случайных.величин:.постоянная.
случайная. величина,. альтернативная. случайная. величина,. биномиальное,.геометрическое.и.гипергеометрическое.распределения,.
распределение.Пуассона,.равномерное,.показательное.и.нормальное.распределения..Рассмотрение.многомерных.случайных.величин. ограничено. двумерным. случаем.. Вводятся. ковариация. и. коэффициент.корреляции.пары.случайных.величин..Закон.больших.
чисел.приводится.в.упрощенных.формулировках.теорем.Чебышева.и.Бернулли,.пригодных.для.решения.задач.
Во.II.части,.посвященной.математической.статистике,.вводятся.основные.понятия.выборочного.метода,.повышенное.внимание.
уделено.заданию.выборки.в.виде.случайного.вектора.или.его.реализации..Строятся.выборочные.характеристики.генеральных.совокупностей,. даются. точечные. и. интервальные. оценки. их. параметров..
Описываются. этапы. проверки. статистических. гипотез,. которые.
затем.иллюстрируются.гипотезами.о.средних.значениях,.дисперсии.и.доле.признака..Приводится.критерий.Пирсона.для.проверки.
гипотезы.о.законе.распределения.случайной.величины..Оценка.зависимости.между.переменными.(случайными.и.детерминированными). проводится. на. основе. дисперсионного,. корреляционного.
и.регрессионного.анализа.

Предисловие

III.часть.пособия.является.по.существу.введением.в.математическое. программирование. и. содержит. примеры. задач. линейного.
программирования.и.методы.их.решения..Графический.метод.решения.задач.линейного.программирования.с.двумя.переменными.
и. сводящихся. к. ним. задач. служит. интерпретацией. идеи. общего.
симплекс­метода..На.основе.симплекс­метода.и.соответствующих.
ему.таблиц.сначала.проводится.разбиение.переменных.на.базисные.и.свободные,.а.затем.находится.оптимальное.значение.целевой.функции..Анализ.решения.проводится.на.основе.теории.двойственности..Отдельно.выделяется.метод.потенциалов.для.решения.
транспортной.задачи..Приводятся.другие.типы.задач.математического.программирования.
С. учетом. требований. учебной. программы. в. пособии. даются.
решения.задач.линейного.программирования.с.применением.компьютерного.пакета.прикладных.программ.Excel.
Авторы.выражают.благодарность.и.признательность.заведующему.кафедрой.высшей.математики.Белорусского.государственного.
экономического.университета.Михаилу.Пахомовичу.Дымкову,.коллективу.кафедры.высшей.математики.и.информатики.Белорусского.
государственного.университета.и.ее.заведующему.Валерию.Александровичу.Еровенко..Их.скрупулезное.прочтение.и.замечания.по.содержанию.рукописи.значительно.улучшили.изложение.материала.
пособия.